1、3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型三维目标1知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题2过程与方法(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力3情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣二、重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题重难点突破：主要利用
2、信息技术从图、表两方面对知识讲解首先对具体函数y2x，yx2，ylog2x的增长的差异性进行比较在比较函数y2x，yx2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法然后将结论推广到一般的指数函数yax(a1)、对数函数ylogax(a1)、幂函数yxn(n0)在区间(0，)的增长的差异性，即存在一个x0，当xx0时，axxnlogax，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增
3、长”的特点整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力课前自主导学课标解读1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢(重点)2理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及三种函数模型的性质的比较(易混点)3会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题(难点)知识三类函数增长速度的比较1当x(2,4)时，函数yx2与y2x哪一个增长得更快一些？【提示】yx2.2当x(4，)时，函数yx2与y2x哪一个增长得更快一些？【提示】y2x.3是否存在一个x0，使xx0时恒有2xx2log2x成立？【提示】存在1三种函数模型的性质 函数性质yax(
4、a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnx0时，ln(x1)x210，b1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度
5、越来越快，常称之为“指数爆炸”(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，x0，a1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)axb(a，b，c，为常数，a0，1)表达的函数模型，其增长情况由a和的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.2
6、7.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为()Ay1，y2，y3By2，y1，y3Cy3，y2，y1Dy1，y3，y2【解析】通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.【答案】C根据函数增长差异确定图象并比较大小函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x
7、12,9x210.x16x2.从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2012)g(2012)又g(2012)g(6)，f(2012)g(2012)g(6)f(6)1解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的2体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映本例中若x1a，a1，x2b，b1，且a，b1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，指出a、b的值，并说明理由【解】a1，b9.理由如下：令(x)f(x)g(x)2xx3，则x1，x2为函数(x)的零点，由于(x)在1,1
8、3上为连续函数，(1)10，(2)40，(9)29930，所以函数(x)f(x)g(x)的两个零点x11,2，x29,10，因此a1，b9.类型3根据函数增长差异选择函数模型某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【思路探究】【自主解答】借助工具作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(如图所示)观察图
9、象可知，在区间5,60上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求不同的函数增长模型描述增长速度的差异：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；
10、B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为()AB，A，CBA，C，BCA，B，CDC，A，B【解析】A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为，所以100元一年到期的本息和为1002105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100103.09(元)，收益为3.09元【答案】B思想方法技巧数形结合思想在函数中的应用(12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间
11、的关系如图322所示(实线部分)(注：图中MNCD)图322(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？【思路点拨】两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题【规范解答】由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500，168)，MNCD.1分设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)fB(x)3分(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分(2)因为fB(n1)fB
12、(n)(n1)18n180.3(n500)，6分所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分(3)由图可知，当0x60时，有fA(x)500时，fA(x)fB(x).9分当60x500时，168x80，解得x.当60xfA(x)；当x500时，fA(x)fB(x).11分即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠.12分思维启迪1对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答2对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键课堂小结1直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线ykxb(k0)、指数函
13、数yax(a1)、对数函数ylogbx(b1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变2函数模型选取的择优意识解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型3要注意化归思想和数形结合思想的运用当堂测试1下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()Ay1ByxCy3xDylog3x【解析】结合函数y1，yx，y3x及ylog3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y3x.【答案】C2某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若
14、要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用()A一次函数B二次函数C指数型函数D对数型函数【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】D3四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x051015202530y151305051 1302 0053 1304 505y2594.4781 785.233 7336.371051.21072.28108y35305580105130155y452.310 71.429 51.140 71.046 11.015 11.005关于x呈指数型函数变化的变量是_【解析】
15、指数型函数呈“爆炸式”增长从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化故填y2.【答案】y24函数f(x)lgx，g(x)0.3x1的图象如图323所示图323(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；(2)比较函数增长差异以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较【解】(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为
16、f(x)lgx.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x).课后知能检测一、选择题1四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()Af1(x)x2Bf2(x)4xCf3(x)log2xDf4(x)2x【解析】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)2x，故选D.【答案】D2某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图324所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入
17、是()图324A310元B300元C290D280元【解析】由射线线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y500x300(x0)，当x0时，y300.【答案】B3一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时24时)体温的变化情况的是()【解析】观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”故选C.【答案】C4若x(0,1)，则下列结论正确的是()
18、A2xxlgxB2xlgxxCx2xlgxDlgxx2x【解析】如图所示，由图可知当x(0,1)时，2xxlgx.【答案】A5(2014郑州高一检测)某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()Ay0.2xByx22xCyDy0.2log16x【解析】取x1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可【答案】C二、填空题6函数y2x与函数yx2的图象共有_个交点【解析】如图所示，函数y2x与函数yx2的图象共有3个交点【答案】37若a1，n0，那么当x足够大时，ax，x
19、n，logax的大小关系是_【解析】由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logaxxnax.【答案】logaxxnax8在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图325所示现给出下列说法：图325前5min温度增加的速度越来越快；前5min温度增加的速度越来越慢；5min以后温度保持匀速增加；5min以后温度保持不变其中正确的说法是_(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量t，则y相应的增量y越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则正确【答案】三、解答题9(2014大连高一检测)画出函数f(
20、x)与函数g(x)x22的图象，并比较两者在0，)上的大小关系【解】函数f(x)与g(x)的图象如下根据图象易得：当0xg(x)；当x4时，f(x)g(x)；当x4时，f(x)g(x)10为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图326(1)、图(2)所示 图(1) 图(2)图326(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜【解】(1)由图象可设y1k1x29，y2k2x，把点B
21、(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1，k2.y1x29(x0)，y2x(x0)(2)令y1y2，即x29x，则x96.当x96时，y1y2，两种卡收费一致；当xy2，即便民卡便宜；当x96时，y1y2，即如意卡便宜11某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【解】设工厂生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1(5025)x20.5x30 00024x30 000，y2(5025)x140.5x18x.(1)当x3 000时，y142 000，y254 000，y1y2，应选择方案一处理污水.
