1、单元质检卷十一计数原理(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第21页一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.从6个盒子中选出3个来装东西,则甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有() A.16种B.18种C.22种D.37种答案A解析从6个盒子中选出3个来装东西,有C63种选法,甲、乙都未被选中的情况有C43种,所以甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有C63-C43=20-4=16种,故选A.2.(2019吉林白山模拟,7)(x4+1x2+2x)5的展开式中含x5项的系数为()A.160B.210C.120D.252答案D解析(x4+1x2+2x)5=(x2+1x)10,
2、Tr+1=C10r(x2)10-r1xr=C10rx20-3r,当r=5时,T6=C105x5=252x5.故选D.3.(2019辽宁沈阳模拟,9)若矩阵a1a2a3a4b1b2b3b4满足下列条件:每行中的四个数均为集合1,2,3,4中不同元素;四列中有且只有两列的上下两数是相同的,则满足条件的矩阵的个数为()A.48B.72C.144D.264答案C解析第一步,排列第一行,有A44=24种排列方法;第二步,由题意知有且只有两列的上下两数是相同的,选择1,2,3,4中的两个数作为与上列相同的数字,有C42=6种取法,而对于剩余两数,为使不与上列数字相同,有且只有一种排法,因此,满足题中条件的
3、矩阵的个数共有246=144个.故选C.4.(2019重庆巴蜀中学模拟,7)(1+x-x2)(x+12x)6展开式中x2项的系数为()A.52B.154C.54D.254答案C解析(x+12x)6的通项公式为Tr+1=C6rx6-r12xr=2-rC6rx6-2r,故(x+12x)6的二项展开式中的常数项为18C63=208=52,一次项系数为0,二次项的系数为14C62=154,(1+x-x2)x+12x6展开式中x2的系数为154-52=54.故选C.5.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)联考,7)2019年4月25日27日,北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛,组委会要从6个国内
4、媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.198B.268C.306D.378答案A解析分两种情况,若选两个国内媒体一个国外媒体,有C62C31A22=90种不同提问方式;若选两个外国媒体一个国内媒体,有C61C32A33=108种不同提问方式,所以共有90+108=198种提问方式.故选A.6.某校毕业典礼由6个节目组成,为考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A.120种B.156种C.
5、188种D.240种答案A解析根据题意,由于节目甲必须排在前三位,分3种情况讨论:甲排在第一位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有A33=6种安排方法,则此时有426=48种编排方法;甲排在第二位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有A33=6种安排方法,则此时有326=36种编排方法;甲排在第三位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有A
6、33=6种安排方法,则此时有326=36种编排方法.则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种.故选A.7.(1+2x)3(1-3x)5的展开式中x的系数是()A.-4B.-2C.2D.4答案C解析(1+2x)3的展开式中常数项是1,含x的项是C32(2x)2=12x;1-3x5的展开式中常数项是1,含x的项是C53(-3x)3=-10x,故(1+2x)3(1-3x)5的展开式中含x项的系数为1(-10)+112=2.8.(2019福建模拟,8)已知(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,若a1+a2+a3+a4+a5=242,则a0-a1+a2-a3+
7、a4-a5=()A.1B.-1C.-81D.81答案B解析令x=0,得a0=1;令x=1,得(1+m)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243,所以1+m=3,即m=2;令x=-1,得(1-2)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1.故选B.9.(2019河南南阳模拟,6)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有()A.6种B.24种C.30种D.36种答案C解析根据题意,由于4科的专题讲座每科一节课,每节至少有一科,必有两科在同一节,先从4个专题讲座中任选2个看作整体
8、,然后与其他2个讲座全排列,共C42A33=36种情况,再从中排除数学、理综安排在同一节的情形,将数学、理综看成一个整体,然后与其他2个讲座全排列,共A33=6种情况,故总的方法种数为36-6=30(种).故选C.10.(2019河北枣强中学模拟,8)在(3x-2x)n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,(1+2x)n(1+y4)4的展开式中x2y2的系数是()A.58B.62C.52D.42答案D解析(3x-2x)n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,n=8,(1+2x)8(1+y4)4的展开式中x2y2的系数是C8222C42142=42.故选D.11.(2019四川成都七
9、中三诊,9)已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念,且甲乙两人均在丙领导人的同侧,则不同的排法共有()A.240种B.360种C.480种D.600种答案C解析用分类讨论的方法解决.如图中的6个位置,123456当领导丙在位置1时,不同的排法有A55=120种;当领导丙在位置2时,不同的排法有C31A44=72种;当领导丙在位置3时,不同的排法有A22A33+A32A33=48种;当领导丙在位置4时,不同的排法有A22A33+A32A33=48种;当领导丙在位置5时,不同的排法有C31A44=72种;当领导丙在位置1时,不同的排法有A55=120种.由分类加法计数原理可得不同的排法共有48
10、0种.故选C.12.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择骑共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则他们坐车不同的搭配方式有()A.12种B.11种C.10种D.9种答案B解析解法一:不对号入座的递推公式为a1=0,a2=1,an=(n-1)(an-1+an-2)(n3),据此可得:a3=2,a4=9,a5=44,即五个人不对号入座的方法为44种,由排列组合的对称性可知,若甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则坐车不同的搭配方式有444=11种.故选B.解法二:设五位妈妈分别为ABCDE,五个小孩分别为abcde,
11、对五个小孩进行排列后坐五位妈妈的车,由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,故排列的第五个位置一定是a,对其余的四个小孩进行排列:bcde,bced,bdce,bdec,becd,bedc;cbde,cbed,cdbe,cdeb,cebd,cedb;dbce,dbec,dcbe,dceb,debc,decb;ebcd,ebdc,ecbd,ecdb,edbc,edcb.共有24种排列方法,其中满足题意的排列方法为bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,共有11种.故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(201
12、9云南保山模拟,14)已知(1+2x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,则多项式(x2+1)(x+1x)n展开式中的常数项为.答案35解析由(1+2x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以n=6.多项式(x+1x)6的通项公式Tr+1=C6rx6-rx-r=C6rx6-2r,其中r=0,1,2,6.考虑(x+1x)6展开式中的常数项和含x-2的项:令6-2r=-2,则r=4;令6-2r=0,则r=3,故常数项为C64+C63=15+20=35.故答案为35.14.(2019河北武邑中学模拟,14)将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为.答案204解析根据题意,分3种
13、情况讨论:个位数字为0,在前面5个数位中任选2个,安排2个数字4,有C52=10种情况,将剩下的3个数字全排列,安排在其他的数位,有A33=6种情况,则此时有106=60个偶数,个位数字为2,0不能在首位,有4种情况,在剩下的4个数位中任选2个,安排2个数字4,有C42=6种情况,将剩下的2个数字全排列,安排在其他的数位,有A22=2种情况,则此时有462=48个偶数,个位数字为4,0不能在首位,有4种情况,将剩下的4个数字全排列,安排在其他的数位,有A44=24种情况,则此时有424=96个偶数.则有60+48+96=204个偶数.15.(2019河南新乡三模,14)已知a0,则当(a3-x
14、)(1+ax)9的展开式的常数项(即不含x的项)取得最小值时,a=.答案3解析(a3-x)(1+ax)9的展开式的常数项为a3-xC91ax=a3-9a,设f(x)=x3-9x(x0),f(x)=3x2-9,当0x3时,f(x)3时,f(x)0,故f(x)min=f(3).故答案为3.16.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播1个商业广告与2个不同的公益宣传广告,且要求2个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有种.答案120解析由题意知,要在该时间段只保留其中的2个商业广告,有A52=20种情况,增播1个商业广告,利用插空法有3种情况,再在2个空中插入2个不同的公益宣传广告,共有2种情况.根据分步乘法计数原理知,共有2032=120种播放顺序.故答案为120种.
