1、第四编 三角函数及三角恒等变换4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础自测1.A=小于90的角，B=第一象限的角，则AB= （填序号）.小于90的角090的角第一象限的角以上都不对答案 2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 .答案 3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是 .答案 1或44.已知角终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin= .答案 -cos25. 是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos=,则sin= .答案 例1 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.解 是第二象限的角，k360+90
2、k360+180（kZ）.（1）2k360+18022k360+360（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）k180+45 k180+90（kZ），当k=2n（nZ）时，n360+45n360+90；当k=2n+1（nZ）时，n360+225n360+270.是第一或第三象限的角.（3）k120+30k120+60（kZ），当k=3n（nZ）时，n360+30n360+60；当k=3n+1（nZ）时，n360+150n360+180；当k=3n+2（nZ）时，n360+270n360+300.是第一或第二或第四象限的角.例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长
3、等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 （1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,所以扇形的周长是2r+r.依题意，得2r+r=r,=-2=(-2)1.14257.3065.446526,扇形的面积为S=r2=（-2）r2.（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r (0r10)扇形的面积S=lr，将代入，得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时l=20-25=10,=2.
4、所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值.例3 （14分）已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解 角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P（4t,-3t） (t0),2分则x=4t,y=-3t,r=, 4分当t0时，r=5t,sin=,cos=,tan=;8分当t0时，r=-5t,sin=,cos=,tan=.12分综上可知，t0时，sin=,cos=,tan=;t0时，sin=,cos=-,tan=.14分例4 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin;(2)cos.解 （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结
5、OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+2k+，kZ .（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+2k+，kZ .1.已知是第三象限角，问是哪个象限的角？解 是第三象限角，180+k360270+k360（kZ），60+k12090+k120.当k=3m(mZ)时，可得60+m36090+m360（mZ）.故的终边在第一象限.当k=3m+1 (mZ)时，可得180+m360210+m360（mZ).故的终边在第三象限.当k=3m+2 （mZ）时，可得30
6、0+m360330+m360（mZ）.故的终边在第四象限.综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6,（1）求 的弧长；（2）求弓形OAB的面积.解 （1）=120=rad，r=6， 的弧长为l=6=4.(2)S扇形OAB=lr=46=12，SABO=r2sin=62=9，S弓形OAB=S扇形OAB-SABO=12-9.3.已知角的终边在y轴上，求sin、cos、tan的值.解 角的终边在y轴上，可在的终边上任取一点（0,t)(t0),即x=0，y=t.r=|t|.当t0时，r=t,sin=1,cos=0,tan=不存在；当t0时，r=-t，sin=
7、-1,cos=0,tan=不存在.综上可知：sin=1,cos=0,tan不存在.4.求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.解 （1）2cosx-10，cosx.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).x（kZ）.（2）3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),x（k-,k+）（kZ).一、填空题1.已知costan0,那么角是第 象限角.答案 三或四2.若0x，则sinx x2（用“”,“”或“=”填空）.答案 3.与610角终边相同的角表示为 .答案 k360+250(kZ)4.已知（）si
8、n21,则所在象限为第 象限.答案 一或三5.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第 象限.答案 二6.已知且sin+cos=a，其中a(0，1），则关于tan的值，以下四个答案中，可能正确的是 （填序号）.-33或-3或-答案 7.已知角的终边落在直线y=-3x (x0)上，则 .答案 28.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= ,其中t0,60.答案 10sin二、解答题9.已知sin=,cos=,若是第二象限角，求实数a的值.解 是第二象限
9、角，sin0,cos0,，解得0a.又sin2+cos2=1,解得a=或a=1(舍去），故实数a的值为.10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.（1）依题意，得22-17+8=0,=8或.82,舍去,=.(2)扇形的周长为40,R+2R=40，S=lR=R2=R2R.当且仅当R =2R,即R=10, =2时面积取得最大值，最大值为100.11.设为第三象限角，试判断的符号.解 为第三象限角，2k+2k+ (kZ),k+ (kZ).
10、当k-2n (nZ)时，2n+,此时在第二象限.sin0,kos0.因此 EMBED Equa|ion.3 0.当k=2n+1(nZ)时，(2n+1)+(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ)此时在第四象限.sin0,cos0,因此0,综上可知：0.12.角终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a0），角终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sincos+sincos+tantan的值.解 由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，点Q的坐标为（2a，a）.sin=,cos=,tan=,sin=,cos=,tan=,故有sincos+sincos+tantan=-1.4.2 同角三角函数
11、的基本关系与诱导公式基础自测1.（2008常州模拟）sin2(+)-cos(+)cos(-)+1的值为 .答案 22.sin210= .答案 3.已知tan=,且，则sin的值是 .答案 4.若=2,则sin(-5)sin= .答案 5.已知sin=，则sin4-cos4的值为 .答案 例1 已知f()=;(1)化简f();(2)若是第三象限角，且cos，求f()的值.解 （1）f（）=-cos. (2)cos=-sin,sin=-,cos=-,f()=.例2 （14分）已知-x0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；（2）求的值.解 （1）方法一 联立方程： 2分由得sin
12、x=-cosx,将其代入，整理得25cos2x-5cosx-12=0.4分-x0,所以sinx-cosx=-.7分方法二 sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.2分(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+= 4分又-x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0由可知：sinx-cosx=-. 7分(2)由已知条件及（1）可知,解得,9分tanx=-. 11分又= 13分=.14分例3 已知tan=2,求下列各式的值：（1）;(2) ;(3)4sin2-3sincos-
13、5cos2.解 （1）原式=.（2）.(3)sin2+cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=.1.化简.解 原式=-1.2.已知sin +cos=,(0,).求值：（1）tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos，sincos=-0.由根与系数的关系知，sin,cos是方程x2-x-=0的两根，解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos=-.(1)tan=-.(2)sin-cos=.(3)sin3+cos3=.方法二 （1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-
14、2sincos=1-2=.sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=.(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=.3.已知sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:(1);(2)sin2+cos2.解 由已知得cos(+k)0,tan(+k)=-2(kZ),即tan=-2.（1）.(2) sin2+cos2=.一、填空题1.是第四象限角，tan=，则sin= .答案 2.（2008浙江理）若cos+2sin=-,则tan= .答案 23.（2008四川理）设02,若sincos,则的取值范围是 .答案 4. 是第四象限角，cos=，则
15、sin= .5.sin2(+)-cos(+)cos(-)+1的值为 .答案 26.若sin+cos=tan ，则的取值范围是 .答案 7.如果cos=,且是第四象限的角,那么cos= .答案 8.化简:= .答案 1二、解答题9.已知cos(+)=-,且是第四象限角，计算：(1)sin(2-);(2) (nZ).解 cos(+)=-,-cos=-,cos=,又是第四象限角，sin=-.（1）sin(2-)=sin2+(-)=sin(-)=-sin=.（2）=-4.10.化简：.解 方法一 原式=.方法二 原式=解 方法一 当k为偶数时，设k=2m (mZ),则方法二 由(k+)+(k-)=2k
16、,(k-1)-+(k+1)+=2k,得sin(k-)=-sin(k+),cos(k-1)-=cos(k+1)+=-cos(k+),sin(k+1) +=-sin(k+).12.已知sin(-)-cos(+)=.求下列各式的值：（1）sin-cos;1. 在(0,)上递减；以2为周期；是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.答案 y=-sinx2.（2009东海高级中学高三调研）将函数y=sin的图象先向左平移,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y=sin3.设函数y=acosx+b（a、b为常
17、数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 .答案 54.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 （写出一个即可）.答案 5.（2008全国理）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 .答案 例1 求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为x|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1,OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为.（2
18、）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.在0，2内，满足sinx=cosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为.方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则x（在0，2内）.定义域为方法三 sinx-cosx=sin0，将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定义域为.例2 求下列函数的值域：（1）y=;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos+2c
19、osx.解 （1）y=2cos2x+2cosx=2-.于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx1,y4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.故函数值域为.（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.有y=f(t)=t+=.又t=sinx+cosx=sin，-t.故y=f(t)= (-t),从而知：f(-1)yf(2),即-1y+.即函数的值域为.（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1该函数值域为-2，2.例3 （14分）求函数y=2sin的单调区间.
20、解 方法一 y=2sin化成y=-2sin.1分y=sinu(uR)的递增、递减区间分别为（kZ), (kZ),4分函数y=-2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k+x-2k+（kZ),即2k+x2k+（kZ),8分2k-x-2k+（kZ),即2k-x2k+（kZ).12分函数y=2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为（kZ),（kZ).14分方法二 y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的.2分又u=为减函数，由2k-u2k+（kZ),-2k-x-2k+ (kZ).即（kZ）为y=2sin的递减区间.由2k+u2k+ (kZ),即2k+-x2k+ (kZ)得-2k
21、-x-2k- (kZ),即（kZ)为y=2sin的递增区间.12分综上可知：y=2sin的递增区间为（kZ）；递减区间为（kZ）. 14分 1.求f(x)=的定义域和值域.解 由函数1-cos0,得sinx,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是Z .当sinx=cos=时，ymin=0;当sinx=cos=-1时，ymax=.所以函数的值域为0，.2.已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x0，得2xk+，解得x（kZ）.所以f(x）的定义域为R Z .又f（x)= =cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，f（x）是偶函数.显
22、然-sin2x-1，0，但x,kZ.-sin2x-.所以原函数的值域为.3.（1）求函数y=sin的单调递减区间；（2）求y=3tan的周期及单调区间.解 （1）方法一 令u=,y=sinu，利用复合函数单调性，由2k-2x+2k+(kZ),得2k-2x2k+（kZ),-k-x-k+ (kZ),即k-xk+（kZ).原函数的单调递减区间为 (kZ).方法二 由已知函数y=-sin,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin的单调递增区间.由2k-2x-2k+（kZ),解得k-xk+（kZ).原函数的单调递减区间为（kZ）.（2）y=3tan =-3tan,T=4,y=3tan的周期为4.由k-k
23、+，得4k-x4k+ (kZ),y=3tan的单调增区间是(kZ）y=3tan的单调递减区间是 (kZ).一、填空题1.已知函数y=tanx在内是减函数,则的范围是 .答案 -102.（2009徐州模拟）函数f(x)=sinx-cosx (x-，0)的单调递增区间是 .答案 3.函数f(x)=tanx (0)的图象的相邻的两支截直线y=所得线段长为,则f（）的值是 .答案 04.函数y=2sin（-2x）(x0，)为增函数的区间是 .答案 5.函数f(x)=lg(sin2x+cos2x-1)的定义域是 .答案 6.给出下列命题：函数y=cos是奇函数；存在实数,使得sin+cos=;若、是第一
24、象限角且,则tantan;x=是函数y=sin的一条对称轴方程；函数y=sin的图象关于点成中心对称图形.其中命题正确的是 （填序号）.答案 7.（2008江苏，1）f(x)=cos(x-)最小正周期为，其中0，则= .答案 108.（2009东海高级中学高三调研）定义在R上的函数f(x):当sinxcosx时，f(x)=cosx;当sinxcosx时，f(x)=sinx.给出以下结论：f(x)是周期函数f(x)的最小值为-1当且仅当x=2k (kZ)时，f(x)取最大值当且仅当2k-x(2k+1)(kZ)时，f(x)0f(x)的图象上相邻最低点的距离是2.其中正确命题的序号是 .(把你认为正
25、确命题的序号都填上)答案 二、解答题9.已知x，若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围.解 由mcosx-1=cosx+m得cosx=,作出函数y=cosx的图象（如图所示），由图象可得1,解得m-3.10.设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=ab.（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知常数0，若y=f(x)在区间上是增函数，求的取值范围；（3）设集合A=，B=x|f(x)-m|2,若AB，求实数m的取值范围.解 （1）f(x)=sin24sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)=4sinx+cos2x=2sinx(1+sinx)+1
26、-2sin2x=2sinx+1,f(x)=2sinx+1.（2）f(x)=2sinx+1,0.由2k-x2k+,得f(x)的增区间是,kZ.f（x）在上是增函数，.-且,.（3）由|f(x)-m|2,得-2f(x)-m2,即f(x)-2mf(x)+2.AB，当x时，不等式f(x)-2mf(x)+2恒成立.f（x）max-2mf(x)min+2,f(x)max=f()=3,f(x)min=f()=2,m（1，4）.11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是,且当x时，f（x）=sinx.（1）求当x-，0时，f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)在-，上的函
27、数简图；（3）求当f(x)时，x的取值范围.解 （1）f(x)是偶函数，f（-x）=f（x）.而当x时，f(x)=sinx.当x时，f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又当x时，x+，f（x）的周期为，f（x）=f(+x)=sin(+x)=-sinx.当x-,0时，f(x)=-sinx.（2）如图：（3）由于f(x）的最小正周期为,因此先在-，0上来研究f(x),即-sinx,sinx-,-x-.由周期性知，当x,kZ时，f(x).12.已知a0，函数f(x)=-2asin+2a+b,当x时，-5f(x)1.（1）求常数a,b的值；(2)设g(x)=f且lg g(x)0,求g(x
28、)的单调区间.解 （1）x，2x+.sin，-2asin-2a,a.f(x)b,3a+b,又-5f(x)1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.（2）由（1）知a=2,b=-5,f（x）=-4sin-1,g(x)=f=-4sin-1=4sin-1.又由lg g(x)0得g(x)1,4sin-11,sin,2k+2x+2k+,kZ.由2k+2x+2k+(kZ),得g(x)的单调增区间为：（kZ）由2k+2x+2k+,得g(x)的单调减区间为（kZ）.4.4 函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用1.（2008天津理，3）设函数f（x）=sin，xR，则f（x）是
29、 （填序号）.最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数答案 2.（2008 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos(x0,2)的图象和直线y=的交点个数是 个.答案 23.为了得到函数y=2sin，xR的图象，只需把函数y=2sinx，xR的图象上所有的点向 平移 单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍.答案 左 34.下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是|=,kZ.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移得到y=3si
30、n2x的图象.函数y=sin(x-)在0,上是减函数.其中，真命题的编号是 .答案 5.已知函数f(x)=2sinx (0)在区间上的最小值是-2，则的最小值等于 .答案 例1 已知函数y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T=，初相=.（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍
31、（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.例2 如图为y=Asin（x+）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，则A=-，T=2=，=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.点N，-2+=0，=，所求解析式为y=-sin.方法
32、二 由图象知A=，以M为第一个零点，P为第二个零点.列方程组 解之得.所求解析式为y=sin.例3 （14分）已知函数f(x)=- cos(2x+2) (A0, 0,0),且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求;(2)计算f(1)+f(2)+f(2 008).解 （1）y=- cos(2x+2),且y=f(x)的最大值为2，A0,+=2,A=2.又其图象相邻两对称轴间的距离为2,0,=2, =.4分f(x)= -cos=1-cos.y=f(x)过(1,2)点，cos=-1. 6分=2k+,kZ.=k+,kZ.又0，=. 8分(2)=,f(x)=
33、1-cos=1+sin.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 12分又y=f(x)的周期为4，2 008=4502,f（1）+f（2）+f（2 008）=4502=2 008. 14分1.已知函数y=3sin（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解 （1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标
34、不变），得到y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此为对称轴方程.令x-=k (kZ)得x=+2k(kZ).对称中心为(kZ).2.函数
35、y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分图象如图所示，则函数表达 式为 .答案 y=-4sin3.已知函数f(x)=Asinx+Bcosx (其中A、B、是实常数，且0)的最小正周期为2,并当x=时,f(x)取得最大值2.（1）函数f(x)的表达式；（2）在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.解 （1）f(x)=Asinx+Bcosx=由T=2知=，又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（x+）.由x=时f（x）max=2，得sin=1，=.f（x）=2sin.（2）令x+=k+（kZ）得对称轴方程为x=k+，由对称轴满足k+（kZ
36、）即k且kZ，k=5.故在上f（x）只有一条对称轴.x=5+=，即对称轴方程为x=.一、填空题1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y=cos2.（2008全国理，8）为得到函数y=cos的图象，只需将函数y=sin2x的图象向 平移 个单位长度.答案 左 3.（2008湖南理，6）函数f(x)=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是 .答案 4.（2008四川理，10）设f（x）=sin（x+），其中0,则f(x)是偶函数的充要条件是 .答案 f(0)=05.函数y=3sin的周期、振幅依次是 答案 4、36.若函数f(x)=2sin()对任意x都有f=f，则
37、f= .答案 -2或27.（2008辽宁理，16）已知f(x)=sin(0),f=f,且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则= .答案 8.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 .答案 2-二、解答题9.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a-在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由.解 y=1-cos2x+acosx+a-=当0x时，0cosx1，若1,即a2,则当cosx=1时ymax=a+-=1,a=2(舍去).若01，即0a2,则当cosx=时,ymax=1,a=或a=-4(舍去).若0,即a0时,则当cosx=0时,y
38、max=1,a=0(舍去).综上所述,存在a=符合题设.10.已知函数f(x)=sin（x+）+sin（x-）-2cos2,xR(其中0).(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的aR，函数y=f(x),x(a,a+的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数y=f(x),xR的单调增区间.解 （1）f(x)= =2-1=2sin -1.由-1sin1,得-32sin-11.可知函数f(x)的值域为-3，1.（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为,又由0,得=,即得=2.于是有f(x)=2sin-1,再由2k-2x-2k+(kZ)，解
39、得k-xk+(kZ).所以y=f(x)的单调增区间为(kZ).11.（2008安徽理，17）已知函数f(x)=cos+2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间上的值域.解 （1）f（x）=cos+2sinsin=cos2x+sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin.周期T=.由=k+(kZ),得x=(kZ).函数图象的对称轴方程为x=(kZ).(2)x，.f（x）=sin在区间上单调递增，在区间上单调递减，当x=时，f(x)取得最大值
40、1,又f=-f=,当x=时，f(x)取得最小值-.函数f(x)在上的值域为.12.（2008湖北理，16）已知函数f(t)=，g(x)=cosxf(sinx)+sinxf(cosx),x.（1）将函数g(x)化简成Asin(x+)+B(A0, , 0，2)）的形式；（2）求函数g(x)的值域.解 (1)g(x)=cosx=cosx=cosx+sinx.x，|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx.g（x）=cosx+sinx=sinx+cosx-2=sin-2.（2）由x，得x+.sint在上为减函数，在上为增函数，sinsin,sinsinsin即-1sin-,-2sin-2-3,
41、故g（x）的值域为-2，-3）.4.5两角和与差的正弦、余弦和正切基础自测1.已知sin=,且，那么的值等于 .答案 2.已知tan(+)=3，tan(-)=5，则tan2= .答案 -3. 设（0，），若sin=，则cos（+）= .答案 4.（2008山东理）已知cos+sin=,则sin的值是 .答案 5.函数y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为 .答案 例1 求2sin50+sin10(1+tan10)的值.例2 已知cos()=-,sin(-)=,且，求cos的值.解 ,0-,- -.sin=,cos=cos=coscos+sinsin=.例3 (14分)若sinA=,s
42、inB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.解 A、B均为钝角且sinA=,sinB=，cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，6分cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=-=10分又A, B,12分A+B2由知，A+B=.14分例4 化简sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.解 方法一 （复角单角，从“角”入手）原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2- (4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2+cos
43、2sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2cos2=cos2-sin2cos2-cos2cos2=cos2-cos2=-cos2=-cos2=.方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=+-cos2cos2=（1+cos2cos2-cos2-cos2）+ (1+cos2cos2+cos2+cos2)- cos2cos2=.方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sinsin-coscos)2+2sin
44、sincoscos-cos2cos2=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2=cos2(+)-cos(2+2)=cos2(+)- 2cos2(+)-1=.1.不查表求sin220+cos280+sin20cos80的值.解 sin220+cos280+sin20cos80= (1-cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1-cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1-cos40+(cos120cos40-sin120sin40)+sin20(cos60cos20-sin60sin20)=1-cos40-cos40-sin40+sin40-si
45、n220=1-cos40- (1-cos40）=.2.求值：（1）已知cos =-,sin=,且,0,求cos的值；（2）已知tan=4,cos(+)=-, 、均为锐角，求cos的值.解 （1）+ =,0.,sin=,cos=,cos=cos=coscos-sinsin=-=-.(2)tan=4,且为锐角， ,即sin=4cos,又sin2+cos2=1,sin=,cos=.0,0+,sin(+)=.而=(+)-,cos=cos（+）-=cos(+)cos+sin(+)sin=+=.3.在ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.解 在ABC中，A+B+C=180,由
46、4sin2-cos2B=,得4-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60.4.化简：（1）sin+cos;(2）.解 （1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式=1.一、填空题1.已知tan(+)=,tan=,那么tan = .答案 2.sin163sin223+sin253sin313= .答案 3.已知x,cosx=,则tan2x= .答案 -4.已知cos2=（其中），则sin的值为 .答案 -5.（cos）(cos)= .答案 6.若f(x)=2tanx-，则f的值为 .答案 87.（2008上海理，6）函数f(x)=sinx+
47、sin的最大值是 .答案 28.求值：cos4+cos4+cos4+cos4= .答案 二、解答题9.已知tan=,tan=,并且,均为锐角，求+2的值.解 tan=1,tan=1,且、均为锐角，0,0.0+2.又tan2=,tan(+2)=1.+2=.10.若函数f（x）=-asincos的最大值为2，试确定常数a的值.解 f（x）=+asincos=cosx+sinx=sin（x+），其中角满足sin=.由已知，有+=4.解之得a=.11.已知sinsin=,求2sin2+tan-1的值.解 sinsin=,sincos=,即sin=,sin=,cos4=，又,4=,=,2sin2+tan
48、-1=2sin2+-1=2sin2-1+=-cos2+=-cos-=-=.12.已知tan(+)=-,tan(+)=.(1)求tan(+)的值；（2）求tan的值.解 （1）tan(+)=-,tan=-,tan(+)=,tan(+)=.(2)tan=tan(+)-=,tan=.单元检测四一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x时，f（x）=sinx，则f的值为 .答案 2.设点P是函数f(x)=29sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是 .答
49、案 3.y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值分别为 .答案 ,2- 4.（2009徐州六县一区联考）设sin=(),tan(-)=,则tan(-)的值等于 .答案 -5.将函数f(x)=sin2x-cos2x的图象向右平移(0)个单位，所得函数是奇函数，则实数的最小值为 .答案 6.定义运算a*b=,则函数f(x)=(sinx)*(cosx)的最小值为 .答案 -17.cos(+)=,sin=,，那么cos的值为 .答案 8.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数,a0，xR)在x=处取得最小值，则函数y=f是 函数.（用“奇”，“偶”，“非奇非
50、偶”填空）答案 奇9.（2008重庆理，10）函数f（x）=(0x2）的值域是 .答案 -1，010.设a=(a1,a2),b=（b1,b2），定义一种向量积：ab=（a1,a2）(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动，且满足=m+n(其中O为坐标原点)，则y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为 .答案 ,411.若cos(+)=,cos(-)=,则tantan= .答案 12.函数f（x）=sinx+2|sinx|，x0，2的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 .答案 1k31
51、3.若f（x）=asin+bsin（ab0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是 .（注：只要填满足a+b=0的一组数字即可）答案 （1，-1）14.关于函数f(x)=2sin,有下列命题：其最小正周期为；其图象由y=2sin3x向左平移个单位而得到；在上为单调递增函数，则其中真命题为 （写出你认为正确答案的序号）.答案 二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（14分）已知,且sin(+)=,cos=-.求sin.解 ，cos=-,sin=.又0,+,又sin(+)=,+,cos(+)=-=-=-,sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin=-=.16.（14分）已
52、知函数f(x)=Asin(x+)(A0, 0,|) (xR)的部分图象如图所示.（1）求f(x)的表达式；（2）设g(x)=f(x)-f,求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合.解 （1）由图象可知：A=1，函数f(x)的周期T满足：=-=，T=，T=.=2.f（x）=sin(2x+).又f（x）图象过点,f=sin=1，=2k+（kZ）.又|,故=.f（x）=sin.（2）方法一 g(x)=f(x)- f=sin-sin=sin-sin=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=2sin2x,由2x=2k-(kZ),得x=k-(kZ),Z g(x)的最小值为-2，相应的x的取值集合
53、为.方法二 g(x)=f(x)-f=sin-sin=sin-cos=2sin=2sin2x,由2x=2k-(kZ),得x=k-(kZ),g(x)的最小值为-2,相应的x的取值集合为x|x=k-,kZ.17.(2008江苏，15)（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角， ，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.（1）求tan(+)的值；（2）求+2的值.解 由条件得cos=,cos=.,为锐角,sin=,sin=.因此tan=7,tan=.(1)tan(+)=-3.(2)tan2=,tan(+2)=-1.,为锐角,0+2,+2=.18.（
54、16分）已知tan、tan是方程x2-4x-2=0的两个实根，求:cos2(+)+2sin(+)cos(+)-3sin2(+)的值.解 由已知有tan+tan=4,tantan=-2,tan(+)=,cos2(+)+2sin(+)cos(+)-3sin2(+)=-.19.（16分）把曲线C：y=sincos向右平移a (a0)个单位，得到的曲线C关于直线x=对称.（1）求a的最小值；（2）就a的最小值证明：当x时，曲线C上的任意两点的直线斜率恒大于零.（1）解 y=sin=sin=sin,曲线C方程为y=sin，它关于直线x=对称，sin=，即2+=k+(kZ),解得a=-(kZ),a0,a的
55、最小值是.（2）证明 当a=时，曲线C的方程为y=sin2x.由函数y=sin2x的图象可知：当x时，函数y=sin2x是增函数，所以当x1x2时，有y1y2,所以0，即斜率恒大于零.20.（16分）设函数f（x）=sin（2x+）（-0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=.（1）求；（2）求函数y=f（x）的单调增区间；（3）证明：直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切.（1）解 x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，sin =1，+=k+，kZ.-0，=-.（2）解 由（1）知=-，因此y=sin.由题意得2k-2x-2k+，kZ.则k+xk+，kZ所以函数y=sin的单调增区间为 ，kZ.（3）证明 |y|=|（sin（）|=|2cos（）|2，曲线y=f（x）的切线斜率的取值范围是-2，2，而直线5x-2y+c=0的斜率为2，所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin（）的图象不相切.
