1、2015-2016学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1不等式x2+2x3的解集是（）Ax|1x3Bx|3x1Cx|x3或x1Dx|x1或x32为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了三国演义、水浒传、红楼梦和西游记若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到三国演义和水浒传的概率为（）ABCD3已知ab0，则（）Aa2abBabb2Ca2b2Da2b24某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A =10x+200B =10
2、x+200C =10x200D =10x2005已知非零向量，不共线，且=，则向量=（）A +B +C D 6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A1B0C1D37已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）Aa1d0，dS30Ba1d0，dS30Ca1d0，dS30Da1d0，dS308九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，
3、每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A尺B尺C尺D尺二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_名学生10如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_11若非零向量，满足|=|，（2+）=0，则与的夹角为_12设ABC的内角A，B，C所对的边分别为
4、a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则A的度数为_13设x0，y0且+=1，则xy的最大值为_14已知平面向量，和在同一平面内且两两不共线，关于非零向量的分解有如下四个命题：给定向量，总存在向量，使=+；给定向量和，总存在实数和，使=+；给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使=+；给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使=+则所有正确的命题序号是_三、解答题：本大题共6小题，共52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（3，2），D（3，1），以线段AB，AD为邻边作平行四边形ABCD求（I）点C的坐标；（II）平行四边形A
5、BCD的面积16已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列bn满足b1=4，b4=20，且bnan为等比数列（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下：甲公司某员工A：32 33 33 35 36 39 33 41乙公司某员工B：42 36
6、36 34 37 44 42 36（I）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图，并通过茎叶图，对员工A和员工B投递快递件数作比较，写出一个统计结论：统计结论：_（II）请根据甲公司员工A和乙公司员工B分别随机抽取的8天投递快递件数，试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率19已知关于x的不等式（ax1）（x2）2的解集为A，且3A（I）求实数a的取值范围；（II）求集合A20对于项数为m的有穷数列an，记bk=maxa1，a2，ak（k=1，2，m），即bk为a1，a2，ak中的最大值，并称数列bk是an的控制数列如1，3，2，5，5的控制数列是1
7、，3，3，5，5（I）若各项均为正整数的数列an的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有符合条件的数列an；（II）设m=100，若an=|2n4|，bn是an的控制数列，求（b1a1）+（b2a2）+（b100a100）的值；（III）设bn是an的控制数列，满足ak+bmk+1=C（C为常数，k=1，2，m）求证：bk=ak（k=1，2，m）2015-2016学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1不等式x2+2x3的解集是（）Ax|1x3Bx|3x1Cx|x3或x1Dx
8、|x1或x3【考点】一元二次不等式的解法【分析】把不等式化为（x+3）（x1）0，求出解集即可【解答】解：不等式x2+2x3，x2+2x30，即（x+3）（x1）0，解得3x1，所以该不等式的解集是x|3x1故选：B2为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了三国演义、水浒传、红楼梦和西游记若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到三国演义和水浒传的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】确定基本事件的个数，即可求出相应的概率【解答】解：每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，共有C42=6种方法，该校高一（1）班本学期领到三国演
9、义和水浒传，有1种方法，所求概率为，故选：D3已知ab0，则（）Aa2abBabb2Ca2b2Da2b2【考点】不等式的基本性质【分析】利用排除法，当a=2，b=1，则A，B，C不成立，根据基本不等式的性质即可判断D【解答】解：ab0，当a=2，b=1，则A，B，C不成立，根据基本性质可得a2b2，故选：D4某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A =10x+200B =10x+200C =10x200D =10x200【考点】回归分析【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，故回归系数应为负，再结合实
10、际进行分析，即可得到答案【解答】解：由x与y负相关，可排除B、D两项，而C项中的=10x2000不符合题意故选A5已知非零向量，不共线，且=，则向量=（）A +B +C D 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】直接利用向量的运算法则化简求解即可【解答】解：非零向量，不共线，且=，=，可得：向量=+故选：A6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A1B0C1D3【考点】条件语句；循环语句【分析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行
11、程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B7已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）Aa1d0，dS30Ba1d0，dS30Ca1d0，dS30Da1d0，dS30【考点】等差数列的前n项和【分析】a3，a4，a8成等比数列，可得=a3a8，化为：3a1+5d=0，可得a1与d异号，进而判断出结论【解答】解：a3，a4，a8成等比数列，=a3a8，=（a1+2d）（a1+7d），d0，化为：3a1+5d=0，可得a1与d异号，a1d0，dS3=d（3a1+3d）=2d20，故选：A8九章算术是我国古代内容极为丰富
12、的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A尺B尺C尺D尺【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列an，a1=5（尺），S30=940+30=390（尺），设公差为d（尺），则305+=390，解得d=故选：C二、填空题（本大题共6
13、小题，每小题4分，共24分）9某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取40名学生【考点】分层抽样方法【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果【解答】解：C专业的学生有1200380420=400，由分层抽样原理，应抽取名故答案为：4010如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部
14、分，据此估计阴影部分的面积为0.18【考点】几何概型【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.1811若非零向量，满足|=|，（2+）=0，则与的夹角为120【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据两个向量的数量积的值，整理出两个向量之间的关系，得到两个向量的数量积2倍等于向量的模长的平方，写出求夹角的公式，得到结果【解答】解：设与的夹角为，非零向量，满足|=|，（2+）=2+|2=2|cos+|2=0，cos=0180=120，故答
15、案为：12012设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则A的度数为90【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A【解答】解：bcosC+ccosB=asinA，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，sinA0，sinA=1，由于A为三角形内角，可得A=90，故答案为：9013设x0，y0且+=1，则xy的最大值为3【考点】基本不等式【分析】直接根据x，y为正实数，且满足+=1利用基本不等式即可得到答案【解答】解：x0，y01=+，即xy3
16、当且仅当x=，y=2时取等号xy的最大值为 3故答案为：314已知平面向量，和在同一平面内且两两不共线，关于非零向量的分解有如下四个命题：给定向量，总存在向量，使=+；给定向量和，总存在实数和，使=+；给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使=+；给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使=+则所有正确的命题序号是【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据向量加法的三角形法则，可判断；根据平面向量的基本定理可判断；举出反例=1，|2，可判断【解答】解：平面向量，和在同一平面内且两两不共线，给定向量，总存在向量=，使=+，故正确；由向量，和在同一平面内且两两不共线，故给定向量和，总存在实数
17、和，使=+，故正确；给定单位向量和正数，不一定存在单位向量和实数，使=+，故错误；当=1，|2时，不总存在单位向量和单位向量，使=+，故错误故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（3，2），D（3，1），以线段AB，AD为邻边作平行四边形ABCD求（I）点C的坐标；（II）平行四边形ABCD的面积【考点】平面向量数量积的运算【分析】（）根据向量的坐标即可求出C的坐标，（）根据向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系，以及平行四边形的面积即可求出【解答】解：（I），点C的坐标为（1，3）（II），SAB
18、CD=|sin=1216已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列bn满足b1=4，b4=20，且bnan为等比数列（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由题意得d=3an=a1+（n1）d=3n（n=1，2，）数列an的通项公式为：an=3n；设等比数列bnan的公比为q，由题意得：q3=8，解得q=2bnan=（b1
19、a1）qn1=2n1从而bn=3n+2n1（n=1，2，）数列bn的通项公式为：bn=3n+2n1；（2）由（1）知bn=3n+2n1（n=1，2，）数列3n的前n项和为n（n+1），数列2n1的前n项和为=2n1数列bn的前n项和为n（n+1）+2n117在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由bsinA=acosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：
20、b2=a2+c22accosB，代入计算即可得出【解答】解：（1）bsinA=acosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，sinA0，sinB=cosB，B（0，），可知：cosB0，否则矛盾tanB=，B=（2）sinC=2sinA，c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，9=a2+c2ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下：甲公司某员工A：32 33 33 35
21、36 39 33 41乙公司某员工B：42 36 36 34 37 44 42 36（I）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图，并通过茎叶图，对员工A和员工B投递快递件数作比较，写出一个统计结论：统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工B投递快递件数的平均值高于甲公司某员工A投递快递件数的平均值（II）请根据甲公司员工A和乙公司员工B分别随机抽取的8天投递快递件数，试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（I）根据条件，可得某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图，从而得出统计结论；（I
22、I）确定基本事件的个数，可估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率【解答】解：（I）某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图如下：统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工B投递快递件数的平均值高于甲公司某员工A投递快递件数的平均值（其它正确的结论照样给分）（II）设事件Ai为“甲公司某员工A在抽取的8天中，第i天投递的快递件数”，事件Bi为“乙公司某员工B在抽取的8天中，第i天投递的快递件数”，i=1，2，8设事件C为“甲公司某员工A比乙公司某员工B投递的快递件数多”由题意知C=A4B4A5B4A6B2A6B3A6B4A6B5A6B8A8B2A8B3A8B4A8B5UA8B8因此因此
23、可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为19已知关于x的不等式（ax1）（x2）2的解集为A，且3A（I）求实数a的取值范围；（II）求集合A【考点】一元二次不等式的解法【分析】（I）根据题意，把x=3代入（ax1）（x2）2中，求出a的取值范围；（II）根据（ax1）（x2）2，讨论a的取值，求出对应不等式的解集【解答】解：（I）3A，当x=3时，有（ax1）（x2）2，即3a12；解得a1，即a的取值范围是a|a1；（II）（ax1）（x2）2，（ax1）（x2）20，ax2（2a+1）x0，当a=0时，集合A=x|x0；当时，集合；当时，原不等式的解集A为空集；当时，集合
24、；当0a1时，集合20对于项数为m的有穷数列an，记bk=maxa1，a2，ak（k=1，2，m），即bk为a1，a2，ak中的最大值，并称数列bk是an的控制数列如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（I）若各项均为正整数的数列an的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有符合条件的数列an；（II）设m=100，若an=|2n4|，bn是an的控制数列，求（b1a1）+（b2a2）+（b100a100）的值；（III）设bn是an的控制数列，满足ak+bmk+1=C（C为常数，k=1，2，m）求证：bk=ak（k=1，2，m）【考点】数列的应用【分析】（）根据控制数列的定义，进行
25、列举即可得到数列an；（）确定b1=a1=2，a2=0，b2=2，n3时，总有bn=an，从而求（b1a1）+（b2a2）+（b100a100）的值；（）依题意可得bk+1bk，根据ak+bmk+1=C，ak+1+bmk=C，证明ak+1ak=bmk+1bmk0，即证得结论【解答】解：（I）若各项均为正整数的数列an的控制数列为2，3，4，5，5，则数列an可能为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4；2，3，4，5，5（II）an=|2n4|，bn是an的控制数列，b1=a1=2，a2=0，b2=2当n3时，bn=an，（b1a1）+（b2a2）+（b100a100）=2证明：（III）因为bk=maxa1，a2，ak，bk+1=maxa1，a2，ak，ak+1，所以bk+1bk因为ak+bmk+1=C，ak+1+bmk=C，所以ak+1ak=bmk+1bmk0，即ak+1ak因此，bk=ak2016年9月19日
