1、第2讲矩阵与变换考试要求1.矩阵的概念，A级要求；2.一阶矩阵与平面向量，B级要求；3.常见的平面变换，A级要求；4.矩阵的复合与矩阵的乘法，B级要求；5.二阶逆矩阵，B级要求；6.二阶矩阵的特征值与特征向量，B级要求；7.二阶矩阵的简单应用，B级要求知 识 梳 理1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：性质：两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)CA(BC)，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地，两个矩阵只有当前一个
2、矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算2几种常见的变换：(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)投影变换；(5)旋转变换；(6)切变变换3矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A1，A1B.(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A(detAadbc0)，它的逆矩阵为A1.(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵A可逆，那么该方程组有唯一解1，其中A1.4二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的
3、概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，而称为A的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征多项式与特征方程设是二阶矩阵A的一个特征值，它的一个特征向量为X，则A，即满足二元一次方程组故(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式0.记f()为矩阵A的特征多项式；方程0，即f()0称为矩阵A的特征方程(3)特征值与特征向量的计算如果是二阶矩阵A的特征值，则是特征方程f()2(ad)adbc0的一个根解这个关于的二元一次方程，得1、2，将1、2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解记X1，X2.则AX11X1、AX22X2，因此1、
4、2是矩阵A的特征值，X1，X2为矩阵A的分别属于特征值1、2的一个特征向量诊 断 自 测1(2016江苏卷)已知矩阵A，矩阵B的逆矩阵B1，求矩阵AB.解B(B1)1.AB.2(2015江苏卷)已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值解由已知，得A2，即，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.3(2017徐州调研)已知曲线C：y22x，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程解设ANM，则A，设P(x，y)是曲线C上任一点，在两次变换下，曲线C2
5、上对应的点为P(x，y)，则，即所以又点P(x，y)在曲线C：y22x上，所以22y，即yx2.考点一矩阵与变换【例1】 (2017扬州质检)在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C2：y21，求曲线C1的方程解设P(x，y)是曲线C1上任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变换下变为点P(x，y)，则有，即又因为点P(x，y)在曲线C2：y21上，故(y)21，从而21.所以曲线C1的方程是x2y24.规律方法理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键【训练1】 (2017镇江期末)已知矩阵M，N，试求曲线ys
6、in x在矩阵MN变换下的函数解析式解MN，即在矩阵MN变换下，xx，y2y，代入ysin x得，ysin 2x，即曲线ysin x在矩阵MN变换下的函数解析式为y2sin 2x.考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 (2017南京、盐城模拟)已知点P(3,1)在矩阵A变换下得到点P(5，1)试求矩阵A和它的逆矩阵A1.解依题意得，所以解得所以A.因为det(A)1(1)021，所以A1.规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩阵时要重视(AB)1B1A1性质的应用【训练2】 (2017南通调研)已知矩阵M的逆矩阵M1，求实数m，n.解由MM1，所以解得
7、考点三求矩阵的特征值与特征向量【例3】 (2017泰州模拟)求A的特征值与属于每个特征值的一个特征向量解由f()2450，解得11，25.由11得4x2y0，取1；由25得xy0，取2.所以A的特征值为11，25，相应的特征向量分别为1，2.规律方法已知A，求特征值和特征向量，其步骤为：(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量.【训练3】 (2017南京模拟)已知二阶矩阵A.(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)设向量，求A5.解(1)矩阵A的特征多项式f()(3)(2)令f()0，得3或2.当3时，3，解得y0，
8、所以矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.当2时，2，得5x5y0，取x1，则y1.所以矩阵A的属于特征值2的一个特征向量为.(2)由(1)可知向量是矩阵A的特征值2的一个特征向量，所以A55.思想方法1在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆2对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换3关于特征值与特征向量的讨论与矩阵的变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解有密切联系易错防范1两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算2矩
9、阵的特征值与特征向量(1)不是每个矩阵都有特征值与特征向量(2)属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线(3)设是矩阵A属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零数k，k也是矩阵A属于特征值的一个特征向量(建议用时：70分钟)1(2017苏北四市调研)设矩阵M的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2y21，求曲线C的方程解由题意得矩阵M的特征多项式f()(a)(1)，因为矩阵M有一个特征值为2，f(2)0，所以a2.所以M，即代入方程x2y21，得(2x)2(2xy)21，即曲线C的方程为8x24xyy21.2(2014江苏卷)已知矩阵A，B，向量，x，y为实数若AB，求xy的值解由已知
10、，得A，B.因为AB，所以，故解得所以xy.3(2017南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)已知矩阵A的一个特征值3所对应的一个特征向量e，求矩阵A的逆矩阵A1.解由题意得Aee，即3，a13，a2，A，|A|30，A1.4(2013江苏卷)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B.5(2017扬州质检)已知矩阵A，B，若矩阵AB1对应的变换把直线l变为直线l：xy20，求直线l的方程解因为B，所以B1，所以AB1.设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB1对应的变换下为点(x，y)，则，所以代入l，得(
11、x2y)2y20，化简后得x2.故直线l的方程为x2.6(2017盐城模拟)已知矩阵M的两个特征向量1，2，若，求M2.解设矩阵M的特征向量1对应的特征值为1，特征向量2对应的特征值为2，则由可解得mn0，12，21.又2122，所以M2M2(122)12242.7(2017苏、锡、常、镇四市调研)已知二阶矩阵M有特征值3及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(9,15)，求矩阵M.解设M，则3，故，故联立以上两方程组，解得a1，b4，c3，d6，故M.8(2017南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)已知a，b是实数，如果矩阵A所对应的变换T把点(2,3)变成点(3,4)(1)求a，b的值；(2)若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.解(1)由题意得，即63a3,2b64，所以a1，b5.(2)由(1)得A.由矩阵的逆矩阵公式得B，所以B2.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
