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北京市东城区2015-2016学年高一下学期期末数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1不等式x2+2x3的解集是()Ax|1x3Bx|3x1Cx|x3或x1Dx|x1或x32为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了三国演义、水浒传、红楼梦和西游记若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期领到三国演义和水浒传的概率为()ABCD3已知ab0,则()Aa2abBabb2Ca2b2Da2b24某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是()A =10x+200B =10

2、x+200C =10x200D =10x2005已知非零向量,不共线,且=,则向量=()A +B +C D 6阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为()A1B0C1D37已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()Aa1d0,dS30Ba1d0,dS30Ca1d0,dS30Da1d0,dS308九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,

3、每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算,则每天增加量为()A尺B尺C尺D尺二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)9某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取_名学生10如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为_11若非零向量,满足|=|,(2+)=0,则与的夹角为_12设ABC的内角A,B,C所对的边分别为

4、a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则A的度数为_13设x0,y0且+=1,则xy的最大值为_14已知平面向量,和在同一平面内且两两不共线,关于非零向量的分解有如下四个命题:给定向量,总存在向量,使=+;给定向量和,总存在实数和,使=+;给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使=+;给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使=+则所有正确的命题序号是_三、解答题:本大题共6小题,共52分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15在平面直角坐标系xOy中,点A(1,2),B(3,2),D(3,1),以线段AB,AD为邻边作平行四边形ABCD求(I)点C的坐标;(II)平行四边形A

5、BCD的面积16已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和17在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下:甲公司某员工A:32 33 33 35 36 39 33 41乙公司某员工B:42 36

6、36 34 37 44 42 36(I)根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图,并通过茎叶图,对员工A和员工B投递快递件数作比较,写出一个统计结论:统计结论:_(II)请根据甲公司员工A和乙公司员工B分别随机抽取的8天投递快递件数,试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率19已知关于x的不等式(ax1)(x2)2的解集为A,且3A(I)求实数a的取值范围;(II)求集合A20对于项数为m的有穷数列an,记bk=maxa1,a2,ak(k=1,2,m),即bk为a1,a2,ak中的最大值,并称数列bk是an的控制数列如1,3,2,5,5的控制数列是1

7、,3,3,5,5(I)若各项均为正整数的数列an的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有符合条件的数列an;(II)设m=100,若an=|2n4|,bn是an的控制数列,求(b1a1)+(b2a2)+(b100a100)的值;(III)设bn是an的控制数列,满足ak+bmk+1=C(C为常数,k=1,2,m)求证:bk=ak(k=1,2,m)2015-2016学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1不等式x2+2x3的解集是()Ax|1x3Bx|3x1Cx|x3或x1Dx

8、|x1或x3【考点】一元二次不等式的解法【分析】把不等式化为(x+3)(x1)0,求出解集即可【解答】解:不等式x2+2x3,x2+2x30,即(x+3)(x1)0,解得3x1,所以该不等式的解集是x|3x1故选:B2为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了三国演义、水浒传、红楼梦和西游记若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期领到三国演义和水浒传的概率为()ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】确定基本事件的个数,即可求出相应的概率【解答】解:每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,共有C42=6种方法,该校高一(1)班本学期领到三国演

9、义和水浒传,有1种方法,所求概率为,故选:D3已知ab0,则()Aa2abBabb2Ca2b2Da2b2【考点】不等式的基本性质【分析】利用排除法,当a=2,b=1,则A,B,C不成立,根据基本不等式的性质即可判断D【解答】解:ab0,当a=2,b=1,则A,B,C不成立,根据基本性质可得a2b2,故选:D4某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是()A =10x+200B =10x+200C =10x200D =10x200【考点】回归分析【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念,根据某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,故回归系数应为负,再结合实

10、际进行分析,即可得到答案【解答】解:由x与y负相关,可排除B、D两项,而C项中的=10x2000不符合题意故选A5已知非零向量,不共线,且=,则向量=()A +B +C D 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示【分析】直接利用向量的运算法则化简求解即可【解答】解:非零向量,不共线,且=,=,可得:向量=+故选:A6阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为()A1B0C1D3【考点】条件语句;循环语句【分析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用,属于容易题【解答】解:第一次运行程序时i=1,s=3;第二次运行程序时,i=2,s=2;第三次运行程序时,i=3,s=1;第四次运行

11、程序时,i=4,s=0,此时执行i=i+1后i=5,推出循环输出s=0,故选B7已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()Aa1d0,dS30Ba1d0,dS30Ca1d0,dS30Da1d0,dS30【考点】等差数列的前n项和【分析】a3,a4,a8成等比数列,可得=a3a8,化为:3a1+5d=0,可得a1与d异号,进而判断出结论【解答】解:a3,a4,a8成等比数列,=a3a8,=(a1+2d)(a1+7d),d0,化为:3a1+5d=0,可得a1与d异号,a1d0,dS3=d(3a1+3d)=2d20,故选:A8九章算术是我国古代内容极为丰富

12、的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算,则每天增加量为()A尺B尺C尺D尺【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解:由题意可得:每天织布的量组成了等差数列an,a1=5(尺),S30=940+30=390(尺),设公差为d(尺),则305+=390,解得d=故选:C二、填空题(本大题共6

13、小题,每小题4分,共24分)9某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取40名学生【考点】分层抽样方法【分析】根据全校的人数和A,B两个专业的人数,得到C专业的人数,根据总体个数和要抽取的样本容量,得到每个个体被抽到的概率,用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率,得到结果【解答】解:C专业的学生有1200380420=400,由分层抽样原理,应抽取名故答案为:4010如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部

14、分,据此估计阴影部分的面积为0.18【考点】几何概型【分析】根据几何槪型的概率意义,即可得到结论【解答】解:正方形的面积S=1,设阴影部分的面积为S,随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,几何槪型的概率公式进行估计得,即S=0.18,故答案为:0.1811若非零向量,满足|=|,(2+)=0,则与的夹角为120【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据两个向量的数量积的值,整理出两个向量之间的关系,得到两个向量的数量积2倍等于向量的模长的平方,写出求夹角的公式,得到结果【解答】解:设与的夹角为,非零向量,满足|=|,(2+)=2+|2=2|cos+|2=0,cos=0180=120,故答

15、案为:12012设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则A的度数为90【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A【解答】解:bcosC+ccosB=asinA,sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A,sinA0,sinA=1,由于A为三角形内角,可得A=90,故答案为:9013设x0,y0且+=1,则xy的最大值为3【考点】基本不等式【分析】直接根据x,y为正实数,且满足+=1利用基本不等式即可得到答案【解答】解:x0,y01=+,即xy3

16、当且仅当x=,y=2时取等号xy的最大值为 3故答案为:314已知平面向量,和在同一平面内且两两不共线,关于非零向量的分解有如下四个命题:给定向量,总存在向量,使=+;给定向量和,总存在实数和,使=+;给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使=+;给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使=+则所有正确的命题序号是【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据向量加法的三角形法则,可判断;根据平面向量的基本定理可判断;举出反例=1,|2,可判断【解答】解:平面向量,和在同一平面内且两两不共线,给定向量,总存在向量=,使=+,故正确;由向量,和在同一平面内且两两不共线,故给定向量和,总存在实数

17、和,使=+,故正确;给定单位向量和正数,不一定存在单位向量和实数,使=+,故错误;当=1,|2时,不总存在单位向量和单位向量,使=+,故错误故答案为:三、解答题:本大题共6小题,共52分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15在平面直角坐标系xOy中,点A(1,2),B(3,2),D(3,1),以线段AB,AD为邻边作平行四边形ABCD求(I)点C的坐标;(II)平行四边形ABCD的面积【考点】平面向量数量积的运算【分析】()根据向量的坐标即可求出C的坐标,()根据向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系,以及平行四边形的面积即可求出【解答】解:(I),点C的坐标为(1,3)(II),SAB

18、CD=|sin=1216已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和【考点】数列的求和;数列递推式【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公式;(2)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和【解答】解:(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=3an=a1+(n1)d=3n(n=1,2,)数列an的通项公式为:an=3n;设等比数列bnan的公比为q,由题意得:q3=8,解得q=2bnan=(b1

19、a1)qn1=2n1从而bn=3n+2n1(n=1,2,)数列bn的通项公式为:bn=3n+2n1;(2)由(1)知bn=3n+2n1(n=1,2,)数列3n的前n项和为n(n+1),数列2n1的前n项和为=2n1数列bn的前n项和为n(n+1)+2n117在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值【考点】正弦定理;余弦定理【分析】(1)由bsinA=acosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,化简整理即可得出(2)由sinC=2sinA,可得c=2a,由余弦定理可得:

20、b2=a2+c22accosB,代入计算即可得出【解答】解:(1)bsinA=acosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,sinA0,sinB=cosB,B(0,),可知:cosB0,否则矛盾tanB=,B=(2)sinC=2sinA,c=2a,由余弦定理可得:b2=a2+c22accosB,9=a2+c2ac,把c=2a代入上式化为:a2=3,解得a=,18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下:甲公司某员工A:32 33 33 35

21、36 39 33 41乙公司某员工B:42 36 36 34 37 44 42 36(I)根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图,并通过茎叶图,对员工A和员工B投递快递件数作比较,写出一个统计结论:统计结论:通过茎叶图可以看出,乙公司某员工B投递快递件数的平均值高于甲公司某员工A投递快递件数的平均值(II)请根据甲公司员工A和乙公司员工B分别随机抽取的8天投递快递件数,试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图【分析】(I)根据条件,可得某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图,从而得出统计结论;(I

22、I)确定基本事件的个数,可估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率【解答】解:(I)某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图如下:统计结论:通过茎叶图可以看出,乙公司某员工B投递快递件数的平均值高于甲公司某员工A投递快递件数的平均值(其它正确的结论照样给分)(II)设事件Ai为“甲公司某员工A在抽取的8天中,第i天投递的快递件数”,事件Bi为“乙公司某员工B在抽取的8天中,第i天投递的快递件数”,i=1,2,8设事件C为“甲公司某员工A比乙公司某员工B投递的快递件数多”由题意知C=A4B4A5B4A6B2A6B3A6B4A6B5A6B8A8B2A8B3A8B4A8B5UA8B8因此因此

23、可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为19已知关于x的不等式(ax1)(x2)2的解集为A,且3A(I)求实数a的取值范围;(II)求集合A【考点】一元二次不等式的解法【分析】(I)根据题意,把x=3代入(ax1)(x2)2中,求出a的取值范围;(II)根据(ax1)(x2)2,讨论a的取值,求出对应不等式的解集【解答】解:(I)3A,当x=3时,有(ax1)(x2)2,即3a12;解得a1,即a的取值范围是a|a1;(II)(ax1)(x2)2,(ax1)(x2)20,ax2(2a+1)x0,当a=0时,集合A=x|x0;当时,集合;当时,原不等式的解集A为空集;当时,集合

24、;当0a1时,集合20对于项数为m的有穷数列an,记bk=maxa1,a2,ak(k=1,2,m),即bk为a1,a2,ak中的最大值,并称数列bk是an的控制数列如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5(I)若各项均为正整数的数列an的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有符合条件的数列an;(II)设m=100,若an=|2n4|,bn是an的控制数列,求(b1a1)+(b2a2)+(b100a100)的值;(III)设bn是an的控制数列,满足ak+bmk+1=C(C为常数,k=1,2,m)求证:bk=ak(k=1,2,m)【考点】数列的应用【分析】()根据控制数列的定义,进行

25、列举即可得到数列an;()确定b1=a1=2,a2=0,b2=2,n3时,总有bn=an,从而求(b1a1)+(b2a2)+(b100a100)的值;()依题意可得bk+1bk,根据ak+bmk+1=C,ak+1+bmk=C,证明ak+1ak=bmk+1bmk0,即证得结论【解答】解:(I)若各项均为正整数的数列an的控制数列为2,3,4,5,5,则数列an可能为:2,3,4,5,1;2,3,4,5,2;2,3,4,5,3;2,3,4,5,4;2,3,4,5,5(II)an=|2n4|,bn是an的控制数列,b1=a1=2,a2=0,b2=2当n3时,bn=an,(b1a1)+(b2a2)+(b100a100)=2证明:(III)因为bk=maxa1,a2,ak,bk+1=maxa1,a2,ak,ak+1,所以bk+1bk因为ak+bmk+1=C,ak+1+bmk=C,所以ak+1ak=bmk+1bmk0,即ak+1ak因此,bk=ak2016年9月19日

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