1、课时作业(五十四)一、选择题1(09辽宁)如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60纬线长和赤道线长的比值为()A0.8B0.75C0.5 D0.25答案C解析设地球半径为R，北纬60纬线圈半径为r，rRcos60R，周长比值(2)(2R)120.5.2四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD2，AB，在外接球球面上两点A、B间的球面距离是()A. B.C. D.答案C解析设四面体ABCD的外接球球心是O，则有OAOBCD1，又AB，cosAOB，AOB，因此在外接球面上两点A、B间的球面距离是，选C.3如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点，AB2，BC4，ABC60，O为球心，则直线O
2、A与截面ABC所成的角是()AarcsinBarccosCarcsinDarccos答案D解析本题考查球的性质设球的半径为R，O为截面圆的圆心，则OO平面ABC.连结AO，则OAO即为所求由题可知.4R248R2.在ABC中，B60，AB2，BC4，易证ABC为直角三角形且CAB90，则BC过O点AOBC2.cosOAOOAOarccos.故选D.4表面积为2的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为()A. B.C. D.答案A解析考查立体几何图形的表面积、体积问题若令球的半径为r时，通过图形的几何特征易得，正八面体的边长为r，所以正八面体的表面积为82r2sin602.从而球的体
3、积为r3.故选A.5表面积为100的球面上有A、B、C三点，如果AB4，ACB60，则球心O到平面ABC的距离为()A1 B2C3 D4答案C解析设球的半径为R，所以4R2100，R5，设过A、B、C三点的截面圆的半径为r，由正弦定理得，r4，则球心O到平面ABC的距离d3.选择C.6已知A、B、C是球面上三个点，满足ACB90，AC1，BC，若球心O到平面ABC的距离为，则球O的表面积是()A2 B3C4 D5答案D解析本题主要考查球的截面性质2：球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有关系r；以及球的表面积公式的应用由题知，AB，即r，R，再由球的表面积公式，得S4R25.7(201
4、0全国卷，理)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若ABCD2，则四面体ABCD的体积的最大值为()A. B.C2 D.答案B解析设球心为O，如图，过O、C、D三点作球的截面，交AB于点M，由条件知，OAB、OCD均为边长为2的等边三角形，设M到CD的距离为h，A到面MCD的距离为h1，B到面MCD的距离为h2，则VABCDVAMCDVBMCDSMCD(h1h2)CDh(h1h2)，因此，当AB面MCD时，VABCD22(11)最大，故选B.二、填空题8(2010全国卷，理)已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB4.若OMON3，则两圆圆心的距离
5、MN_.答案3解析如图，设圆M与圆N的半径分别为r1，r2由题知r1r2，设AB的中点为C，MON，易求得MCNC，在平面四边形OMCN中，由余弦定理有MN2OM2ON22OMONcos ，MN2CM2CN22CMCNcos ，由得3232233cos ()2()22cos ，解得cos ，所以MN23232232cos 18189，故MN3.9(2010江西卷，文)长方体ABCDA1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，ABAA11，BC，则A，B两点间的球面距离为_答案解析设球的半径为R，由题知球的直径等于长方体的体对角线长，即2R2，所以R1，设O为球的球心，ABO是边长为1的正三角形，故
6、A、B两点间的球面距离为1.10已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为_答案2411半径为R的球的内接正四棱柱的侧面积的最大值为_答案4R2解析设内接正四棱柱的底面边长为x，高为h.则2x2h24R2又S侧4xhxh4R2.12(2010辽宁卷，文)已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，则球O的表面积等于_答案4解析如图，以SA，AB，BC为棱长构造长方体，得体对角线长为2R，所以R1，S4R24.三、解答题13如图所示，四棱锥ABCDE中，AD底面BCDE，ACBC、AEBE.(1)求证：ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上；(2)若CBE90，CE，AD1，求B、D两点间的球面距离解析(1)AD底面BCDE，ADBC、ADBE.又ACBC，AEBE，BCCD，BEED.B、C、D、E四点共圆，即BD为此圆的直径取BD的中点M，AB的中点N，连结MN，则MNAD.MN底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AMBMCMDMEM，五点共球且直径为AB.(2)若CBE90，则底面四边形BCDE是一个矩形，连结DN.CE，AD1，BD，MN.RBN1，BNM，BND.B、D两点间的球面距离是l|R.
