1、15.3 互斥事件和独立事件 第1课时 互斥事件 第15章 概率 学 习 任 务核 心 素 养 1了解互斥事件及对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件(重点、难点)2了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为 1 的结论会用相关公式进行简单概率计算(重点)1通过求事件发生的概率，培养数据分析、数学运算核心素养 2借助于互斥事件概率之间的关系，培养逻辑推理核心素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2知识点3 甲、乙两人下棋，甲不输的概率是 0.6，两人下成平局的概率是0.3 问题：甲获胜的概率是多少？知识点 1 互斥事件与对立事件的定义(1)一
2、次试验中，样本空间 1，2，3，n，随机事件 A，B，满足_，即事件 A 与 B 不可能同时发生，称 A，B 为_，如果事件 A 和事件 B 互斥，是指事件 A 和事件 B 在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件 A 和事件 B 同时发生的交(和)概率为 0，即 P(AB)0 AB互斥事件(2)一次试验中，样本空间 1，2，3，n，随机事件 A，C，满足_，即互斥事件 A，C 中必有一个发生，称 A，C 为_，记作 CA或 A C AC且AC对立事件互斥事件与对立事件有什么区别和联系？提示 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 1抽查 10 件产品，设 A至少有两件次品，则A为_
3、 至多有一件次品“至少有两件次品”的对立事件是“至多有一件次品”知识点 2 概率加法公式(1)如果事件 A，B 互斥，那么事件 AB 发生的概率，等于事件A，B 分别发生的概率的和，即 P(AB)_这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式)P(A)P(B)(2)一般地，如果事件 A1，A2，An 中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件 A1，A2，An 两两互斥那么 P(A1A2An)_，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和 P(A1)P(A2)P(An)2若事件 A，B 互斥，且有 P(A)0.1，P(B)0.3，那么P(AB)()A0.6 B0.4 C0.2 D0.03 B
4、A，B 互斥，且 P(A)0.1，P(B)0.3，P(AB)P(A)P(B)0.10.30.4 知识点 3 对立事件的一个重要公式 对立事件 A 与A必有一个发生，故 AA是必然事件，从而 P(A)P(A)P(AA)_ 由此，我们可以得到一个重要公式：P(A)_ 1 1P(A)3某射手射中 10 环的概率为 0.22，那么在一次射击训练中，该射手射击一次不够 10 环的概率为_ 0.78 令 A“射手一次射击射中 10 环”，则 P(A)0.22，P(A)1P(A)10.220.78合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 互斥事件与对立事件的判断【例 1】某小组有 3
5、 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件(1)“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”；(2)“至少有 1 名男生”与“全是男生”；(3)“至少有 1 名男生”与“全是女生”；(4)“至少有 1 名男生”与“至少有 1 名女生”解(1)因为“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件当恰有 2 名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件(2)因为“至少有 1 名男生”与“全是男生”能同时发生，所以它们不是互斥事件(3)因为“至少有 1 名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们
6、是互斥事件由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件(4)当选出的是 1 名男生、1 名女生时，“至少有 1 名男生”与“至少有 1 名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件 1要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件2考虑事件的结果间是否有交事件，可考虑利用 Venn 图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析 跟进训练1从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 110 各10 张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色
7、牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由 解(1)是互斥事件，不是对立事件 理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件 理由是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，不是
8、对立事件 理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出的牌点数为 5的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件 类型 2 概率的加法公式【例 2】某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：年最高水位/m8，10)10，12)12，14)14，16)16，18概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)10，18；(2)8，14)解 记此处河流的年最高水位在8，10)，10，12)，12，14)，14，16)，16，18范围内分
9、别为事件 A，B，C，D，E，则这 5 个事件是彼此互斥的，由互斥事件的概率加法公式可得：(1)此处河流的年最高水位在10，18的概率是 P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.90(2)此处河流的年最高水位在8，14)的概率是 P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.76 1将一个事件拆分为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式计算结果2在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏 3常用步骤：(1)确定诸事件彼此互斥；(2)诸事件中有一个发生；(3)先求诸事件分别发生的概率，再求和 跟进训练2盒子里
10、装有 6 个红球，4 个白球，从中任取 3 个球设事件 A表示“3 个球中有 1 个红球，2 个白球”，事件 B 表示“3 个球中有2 个红球，1 个白球”已知 P(A)310，P(B)12，求“3 个球中既有红球又有白球”的概率 解 本题应先判断事件“3 个球中既有红球又有白球”，则它包含事件 A(“3 个球中有 1 个红球，2 个白球”)和事件 B(“3 个球中有 2 个红球，1 个白球”)，而且事件 A 与事件 B 是互斥的，所以 P(C)P(AB)P(A)P(B)3101245 3某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第 1 声时被接的概率为 0.1，响第 2 声时被接的概率为 0.3，
11、响第 3 声时被接的概率为0.4，响第 4 声时被接的概率为 0.1，那么电话在响前 4 声内被接的概率是多少？解 记“响第 1 声时被接”为事件 A，“响第 2 声时被接”为事件 B，“响第 3 声时被接”为事件 C，“响第 4 声时被接”为事件D，“响前 4 声内被接”为事件 E，则易知 A，B，C，D 互斥，且 EABCD，所以由互斥事件的概率加法公式，得 P(E)P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.10.30.40.10.9 类型 3 求对立事件的概率【例 3】一个袋中装有 4 个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4(1)从袋中随机抽取 2 个球，求取出
12、的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取 1 个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，再从袋中随机取 1 个球，该球的编号为 n，求 nm2 的概率 1利用列举法求出基本事件的总数，进而求出概率；2是有放回抽样，所取的编号有先后次序之分，基本事件的总数为 16，利用“正难则反”思想求解.解(1)从袋子中随机取 2 个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2，1 和 3，1 和 4，2 和 3，2 和 4，3 和 4，共 6 个 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件有 1 和 2，1 和3，共 2 个 因此所求事件的概率为2613(2)先从袋中随机取 1 个球，记下
13、编号为 m，放回后，再从袋中随机取 1 个球，记下编号为 n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)(4，2)，(4，3)，(4，4)，共 16 个 满足条件 nm2 的结果为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共 3 个 所以满足条件 nm2 的事件的概率 P 316，故满足条件 n1)P(x2)P(x3)P(x4)P(x5)P(x6)16556，或 P(x1)1P(x1)1P(x1)11656(5)P(x 最大或最小)P(x6)P(x1)1616
14、13“互斥”和“对立”都是针对两个事件而言.“互斥”是指两个事件不能同时发生；“对立”是指两个互斥事件有且仅有一个发生.,对于求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求出所求事件的对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.跟进训练6掷一枚骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“小于 5 的点数出现”，则事件 A B 发生的概率为_ 23 事件 A 发生的概率为 P(A)2613，事件 B 发生的概率为 P(B)4623，所以事件 B发生的概率为 P(B)1P(B)12313，易知事件 A 与事件B互斥，故 P(AB)P(A)P(
15、B)131323 7甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率 解(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率 P1121316即甲获胜的概率是16(2)法一：设事件 A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P(A)161223 法二：设事件 A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以 P(A)11323即甲不输的概率是23当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1从 1，2，9 中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数
16、和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数 在上述事件中，为对立事件的是()A B C D C 从 1，2，9 中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对立事件 1 2 3 4 5 2某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是()A至少有 1 名男生与全是女生 B至少有 1 名男生与全是男生 C至少有 1 名男生与至少有 1 名女生 D恰有 1 名男生与恰有 2 名女生 D A 是对立事件，B、C 均不是互斥事件 1 2 3 4 5 3同时抛掷两枚骰子，没有 5 点或 6 点的概率是49，则至少有
17、一个 5 点或 6 点的概率是_ 59 由对立事件的概率公式，得所求的概率为 14959 1 2 3 4 5 4抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件 A 为“出现 1 点”，事件 B 为“出现 2 点”，已知 P(A)P(B)16，则出现 1 点或出现 2点的概率为_ 13 设事件 C 为“出现 1 点或出现 2 点”，事件 A，B 是互斥事件，由 CAB 可得 P(C)P(A)P(B)161613 5 1 2 3 4 5甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是 40%，甲不输的概率为 90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为_ 50%甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为 90
18、%40%50%回顾本节知识，自我完成以下问题：1怎样判断互斥事件与对立事件？提示(1)利用基本概念：两个互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必须有一个发生(2)利用集合的观点来判断：设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B，I 为全集 事件 A 与 B 互斥，即集合 AB；事件 A 与 B 对立，即集合 AB，且 ABI，也即 AIB 或 BIA；互斥事件 A与 B 的和 AB，可理解为集合 AB 2若事件 A，B 互斥，则 P(AB)如何计算？若事件 A，B 对立呢？提示 若 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)；若 A，B 对立，则 P(AB)P(A)P(B)1 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
