1、浙江省2013届高三最新理科数学（精选试题17套+2008-2012五年浙江高考理科试题）分类汇编7：立体几何（1）一、选择题1 （浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图所示,在正方体中,为上一点,且,是侧面上的动点,且平面,则与平面所成角的正切值构成的集合是（）AB CD1C（第10题图）【答案】C 2 （浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）棱长为2的正方体在空间直角坐标系中移动,但保持点（）AB分别在x轴、y轴上移动,则点到原点O的最远距离为（）ABC5 D4【答案】D 3 （浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考
2、试（三）数学（理）试题 ）某三棱锥的三视图如图所示,已知该三视图中正视图和俯视图均为边长为2的正三角形,侧视图为如图所示的直角三角形,则该三棱锥的体积为（）A1B3C4D5【答案】A 4 （浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是 （）AB CD【答案】B 5 （2010年高考（浙江理）设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是（）A若,则B若,则 C若,则D若,则【答案】 答案:B 6 （浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word版） ）某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示
3、,则该四棱锥的体积等于（）ABCD 【答案】B 7 （浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设m,n是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是（）A若m/B若m/ C若m/D若m/【答案】C 8 （浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是（）AB4C2D【答案】B 9 （浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word版） ）如图,正四面体的顶点在平面内,且直线与平面所成的角为,顶点在平面上的射影为点.当顶点与点的距离最大时,直线与平面所成角的正弦值等于（）ABCD【答案】A 10（2008年高考（浙
4、江理）如图,是平面的斜线段,为斜足,若点在平面内运动,使得的面积为定值,则动点的轨迹是（）A圆B椭圆C一条直线D两条平行直线ABP【答案】B11（2012年高考（浙江理）已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着,在翻着过程中,（）A存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【答案】【答案】B 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B是正确的. 12（浙
5、江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）ABCD【答案】A 二、填空题13（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_.【答案】 14（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,则这个几何体的体积为 _. 【答案】 15（2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江理)）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 【答案】提示：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长
6、方体体积为，因此其几何体的体积为1816（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）正方体的棱长为,是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦最长时,的取值范围是_.【答案】 17（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图为正方形,则该几何体的体积为_.444正视图俯视图（第11题图）侧（左）视图【答案】32 18（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）如图,斜边长为4的直角, 且在平面上,在平面的同
7、侧,为的中点.若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形,则到平面的距离的取值范围是_.【答案】 19（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）一个组合体的三视图如图,则其体积为_【答案】 20（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为2,高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_.【答案】 三、解答题21（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word版） ）如图,在梯形中,.点在平面上的射影为点,且,二面角为.()求直线与平面所成角的大小;()若,求三棱锥的体积.
8、【答案】解:()方法1:,点在平面上的射影在线段的中垂线上,设 的中点为,连接,为二面角的 平面角, 在等腰中,又, . 在中,得 以为原点,分别以平行于,的直线为轴、轴建立空间直角坐标系,则 ,所以, 轴,故可取一个的平行向量. 设平面的法向量是, 则 即 E 取 直线与平面所成角满足 , 所以直线与平面所成角为 方法2:过点作,垂足为,连接. 过作,垂足为,连接. 平面,. ,平面. 又平面, ,又,平面. 就是与平面所成角 ,点在平面上的射影在线 段的中垂线上,设的中点为,连接, ,为二面角的平面角,. 在等腰中,又, .在中,得,. 又,在中,可得 , 所以直线与平面所成角为 ()设,
9、则,连接. 在中,又由()得, , 在中, 又, 得,即 三棱锥的体积 22（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图:在直三棱柱中,. ()若异面直线与所成的角为,求棱柱的高;()设是的中点,与平面所成的角为,当棱柱的高变化时,求的最大值.【答案】解法1:()由三棱柱是直三棱柱可知,即为高, 如图1,因为,所以是异面直线与所成的角或其补角, 连接,因为,所以. 在Rt中,由,可得 又异面直线与所成的角为,所以,即为正三角形. 于是. 在Rt中,由,得,即棱柱的高为 ()设,如图1,过点在平面内作于F,则 由平面,平面,得. 而,所以平面. 故就是与平面所成的角,
10、即 在中,由,得, 在中,由,得, 在中, 令, ()因为异面直线与所成的角,所以, 即,得,解得 ()由是的中点,得,于是. 设平面的法向量为,于是由,可得 即 可取, 于是. 而 令, 因为,当且仅当,即时,等号成立. 所以, 故当时,的最大值 23（2011年高考（浙江理）如图,在三棱中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:APBC;(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.PABCDO【答案】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识
11、,空间向量的应用,同事考查想象能力和运算求解能力.满分15分. 方法以: ()证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz 则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0) P(0,0,4)由此可得所以 ,即APBC. ()解:设 设平面BMC的法向量 平面APC的法向量 由 得 即可取 由即得可取 由,得 解得,故AM=3 综上所述,存在点M符合题意,AM=3. 方法二: ()证明:由AB=AC,D是BC的中点,得ADBC, 又PO平面ABC,得POBC. 因为POBC=0,所以BC平面PAD 故BCPA. ()解:如图,在平面P
12、AD内作BMPA于M,连CM. 由()中知APBC,得AP平面BMC. 又AP平面APC,所以平面BMC平面APC. 在RtADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB= 在RtPOD中, PB2=PO2+OD2, 在RtPDB中, PB2=PD2+BD2, 所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6. 在RtPOA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5 又 从而所以 综上所述,存在点M符合题意,AM=3. 24（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）学、科、网已知四棱锥,底面,与交于点,又,.(1)求证: 平面; (2)求二面角的余弦值. 【
13、答案】.证明:以AB为x轴, AD为y轴,AP为z轴,A为坐标原点, 建立空间直角坐标系. 则 底面 平面; (2)设的法向量为 的法向量为 , 由题可知二面角为锐角,故余弦值为 注:也可以 25（2012年高考（浙江理）如图,在四棱锥PABCD中,底面是边长为的菱形,且BAD=120,且PA平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.()证明:MN平面ABCD;() 过点A作AQPC,垂足为点Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值.【答案】【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点. ()如图连接BD. M,N分别为PB,PD的中点, 在PBD中,MNBD. 又MN平
14、面ABCD, MN平面ABCD; ()如图建系: A(0,0,0),P(0,0,),M(,0), N(,0,0),C(,3,0). 设Q(x,y,z),则. ,. 由,得:. 即:. 对于平面AMN:设其法向量为. . 则. . 同理对于平面AMN得其法向量为. 记所求二面角AMNQ的平面角大小为, 则. 所求二面角AMNQ的平面角的余弦值为. 【答案】()见解析;() . 【答案】()见解析;() . 26（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD是菱形,BAD=60,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.(I)
15、证明:平面EAC平面PBD; (II)若PD平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45,求PD:AD的值.【答案】 27（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图,中,两点分别在线段.现将沿折成直二面角.(1)求证:当时,;(2)当时,二面角的大小能否等于?若能,求出的值;若不能,请说明理由.ABCDE ABCDE【答案】 28（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）如图,在三棱锥中,直线平面,且,又点,分别是线段,的中点,且点是线段上的动点.()证明:直线平面;()若=8,且二面角的平面角的余弦值为,试求的长度.【答案】()连结QM,因为点,分别是
16、线段,的中点 所以QMPA 且MNAC,从而QM平面PAC 且MN平面PAC 又因为MNQM=M,所以平面QMN平面PAC 而QK平面QMN 所以QK平面PAC ()方法1:过M作MHAK于H,连QH,则QHM即为二面角的平面 角,设,且则,又,且 ,所以, 解得,所以的长度为 方法2:以B为原点,以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系, 则A(0,8,0),M(0,4, 0),N(4,0,0),P(0,8,8),Q(0,4,4) , 设K(a,b,0),则a+b=4, =(0,-4,4), 记,则 取则, 则, 又平面AKM的一个法向量,设二面角的平面角为 则|cos|=,解得, 所
17、以所以的长度为 29（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,已知四棱锥PABCD的底面为菱形,且ABC=60,AB=PC=2,AP=BP=. (1)求证:平面PAB平面ABCD;(2)求二面角APCD的平面角的余弦值.【答案】 30（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,已知长方形中,为的中点. 将沿折起,使得平面平面.(1)求证: (2)点是线段上的一动点,当二面角大小为时,试确定点的位置.A 【答案】取AM的中点O,AB的中点B,则两两垂直,以O为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得 , (1)由于,则,故. (2)设存在满足条件的点E,并设, 则 则点E的坐标为.(其中)易得平面ADM的法向量可以取,设平面AME的法向量为,则, 则 则,取 *由于二面角大小为,则 ,由于,故解得.故当E位于线段DB间,且时,二面角大小为
