1、第四节 函数y=Asin(x+)的图象及三角函数 模型的简单应用【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象的步骤:00缩短 伸长 1|sin(x)A；(2)用“五点法”作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象的一般步骤:列表:x+02x_ _ _ y=Asin(x+)_-A0 2 32 22320 A 0 描点画图:在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(x+)在一个周期内的图象.(3)简谐振动y=Asin(x+)中的有关物理量:y=Asin(x+)(A0，0)，x0，+)表示
2、一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A _ 2T1fT2 x+2.必备结论 教材提炼 记一记 正、余弦函数的图象在一个周期0,2内的五个关键点分别是：(0，0)，(,1),(,0),(,-1),(2,0);(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).232 232 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法：由函数y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到y=Asin(x+)的图象的方法，“五点法”作函数y=Asin(x+)的图象的方法.(2)数学思想：数形结合，转化化归.(3)记忆口诀：左加右减，上加下减.横向伸长，周期变大，x的系数变小.横向缩短，周期变小，x的系数变
3、大.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)把y=sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图象对应的函数解析式为y=sin x.()(2)正弦函数y=sin x的图象在0，2上的五个关键点是(0，0)，(,1)，(，0)，(,-1),(2,0).()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()1212232(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的.()【解析】(1)错误.横坐标缩短，周期变小，变大，故本题变换后，所得图象的解析式为y=sin 2x.(2)正确.由正弦函数y=sin
4、 x的图象 易知本结论正确.(3)错误.“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为 .故当1时平 移的长度不相等.(4)正确.振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的，其中 答案：(1)(2)(3)(4)|MmA.22.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修4P55T2改编)为了得到函数y=2sin(x-)的图象，只要把函数y=2sin(x+)的图象上所有的点()A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度 C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度【解析】选C.根据函数图象的平移法则可知C正确.366622(2)(必修4P58T4改编)电流i(单位
5、：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i=5sin(100t+),t0,+).则电流i变化的初相、周期分别是_.【解析】由初相和周期的定义，得电流i变化的初相是 ,周期 答案：3321T.100501,3 503.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014四川高考)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点()A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度【解析】选A.只需把y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度,便得到函数y=sin(x+1)的图象,选A.(2)(2015
6、柳州模拟)若函数y=sin(x+)(0)的部分图象如图，则=()A.5 B.4 C.3 D.2【解析】选B.由图象可知，即 ,故=4.00Txx244，2T2(3)(2013新课标全国卷)函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移 个单位后，与函数y=sin(2x+)的图象重合，则=_.【解析】函数y=cos(2x+)的图象向右平移 个单位，得到y=sin(2x+)的图象，即y=sin(2x+)的图象向左平移 个单位得到函数y=cos(2x+)的图象.y=sin(2x+)的图象向左平移 个单位，23233232得到y=sin2(x+)+=sin(2x+)=-sin(2x+)=cos(+2x+
7、)=cos(2x+),因为-,所以=.答案：323323565656考点1 函数y=Asin(x+)的图象及变换【典例1】(1)(2014重庆高考)将函数f(x)=sin(x+)(0,-0,6ysin2(x)sin(2 x)sin x,63 21,2k,kZ,3 ,22 可求得=,=，所以f(x)=所以 答案：61sin(x),2612f()sin()sin.6266422212(2)列表：0 2 x 0 3 0-3 0 232 252 1 x2413sin(x)2432 72 92 描点、连线，如图所示：先把y=sin x的图象上所有点向右平移 个单位，得到y=sin(x-)的图象；再把y=
8、sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象，最后将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到 y=3sin(x-)的图象.444412412412【互动探究】在本例(2)中，条件不变，作出函数在0,4上的图象.【解析】因为0 x4，作出函数在0,4上的图象,所以 列表如下：17x.42440 x 0 4 0 3 0-3 2322321 x2413sin(x)2447452723 223 22描点，作出函数图象如图【规律方法】1.在指定区间a,b上画函数y=Asin(x+)的图象的方法(1)选取关键点:先
9、求出x+的范围,然后在这个范围内选取特殊点,连同区间的两端点一起列表,此时列表一般是六个点.(2)确定凹凸趋势:令x+=0得x=x0,则点(x0,y0)两侧的变化趋势与y=sin x中(0,0)两侧的变化趋势相同,可据此找准对应点,以此把握凹凸趋势.2.两种不同变换思路中平移单位的区别 由y=sin x的图象变换到y=Asin(x+)的图象,两种变换的区别:先平移再伸缩,平移的量是|个单位;而先伸缩再平移,平移的量是 (0)个单位.提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于x加减多少值.|【变式训练】已知函数f(x)=sin(x+)(xR，0)的最小正周期为，为了
10、得到函数g(x)=cos x的图象，只要将y=f(x)的图 象()A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 48844【解析】选A.由题意得 =，=2，所以f(x)=sin(2x )，g(x)=cos 2x=sin(2x ).将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度时，y=sin2(x+)+=sin(2x )=cos 2x.2428842【加固训练】1.将函数y=sin(2x)(0)的图象向左平移 个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则的值是_【解析】函数y=sin(2x+)的图象向左平移 个单位后，得y=sin(2x+)，则 +
11、=k+,kZ.又0，故=答案：66332.662.(2015潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+).(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)画出函数y=f(x)在0,上的图象，并说明y=f(x)的图象是由y=sin 2x的图象怎样变换得到的.【解析】(1)f(x)=2sin(2x+).则f(x)的最小正周期T=.当2x+=2k+(kZ),即当x=k+(kZ)时f(x)max=2.4422428(2)列表如下：2 x 0 f(x)2 0-2 0 83858782x442329422根据列表，描点、连线，作图如下.y=f(x)的图象是由y=sin 2x的图象经过以下变换得到的：先将y=
12、sin 2x的图象向左平移 个单位，得到y=sin(2x+)的图象，再将y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到y=2sin(2x+)的图象.8444考点2 由图象求解析式【典例2】(1)(2013四川高考)函数f(x)=2sin(x+),的部分图象如图所示，则,的值分别是()(0,2 A.2,B.2,C.4,D.4,3663 )2(2)(2015铜陵模拟)已知函数f(x)=Asin(x+)+b(0,|)的图象的一部分如图所示：求f(x)的解析式；求f(x)的单调增区间.2【解题提示】(1)本题考查的是,对函数f(x)=2sin(x+)图象的影响，需要重点关
13、注的是周期与最大(小)值点.(2)由最高点和最低点的纵坐标求A和b，由周期求，由最高点的坐标求.【规范解答】(1)选A.根据图象可知 所以函数的周期为，可得=2，根据图象过 代入解析式，结合 可得=故选A.11156T21212122，5(,2)12，22 ，3，(2)由图象可知，函数的最大值M=3，最小值m=-1，则 又 所以f(x)=2sin(2x+)+1.将x=,y=3代入上式,得sin(+)=1,所以 +=+2k,kZ,即=+2k,kZ.3(1)3(1)A2,b1.22 2T2(),36 222,T 63326因为|0，A0)，由T=4得 所以 所以f(x)=又f(1)+f(2)+f(
14、3)+f(4)=1.5+1+0.5+1=4，所以S=f(1)+f(2)+f(2 014)=503f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)=5034+f(1)+f(2)=2 014.5.24，maxminf(x)f(x)1.50.51A2222，1xsin1.22 2.(2015运城模拟)已知向量a=(cos x-sin x,sin x),b=(-cos x-sin x,cos x)，设函数f(x)=ab+(xR)的图象关于直线x=对称，其中,为常数，且(,1).(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若y=f(x)的图象经过点(,0)，求函数f(x)在区间0,上的取值范围.2
15、 312435【解析】(1)因为f(x)=ab+=(cos x-sin x)(-cos x-sin x)+sin x cos x+=sin2x-cos2x+sin xcos x+=-cos 2x+sin 2x+=2sin(2x-)+,由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2-)=1,所以2-=k+(kZ)，即=(kZ).又(,1),kZ,所以k=1,故 2 32 336662k123125.6 所以f(x)=所以f(x)的最小正周期是(2)由y=f(x)的图象过点(,0),得f()=故 故f(x)=由0 x ，有 52sin(x).36 6.54452sin()0346 ，52
16、sin()2sin 2,3464 52sin(x)2.363555x,6366所以 得 故函数f(x)在0,上的取值范围为 .15sin(x)1,2365122sin(x)222.36 3512,22 考点3 三角函数图象性质的应用 知考情 三角函数的图象及性质、三角函数模型是高考的重点，与其他知识交汇考查，三角函数模型的应用是常见考题类型，常与函数的最值、方程的根、平面向量等知识相结合，常以选择、填空、解答题的形式出现.明角度 命题角度1：方程的根与函数的零点问题【典例3】(2015长沙模拟)函数f(x)=的零点的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【解题提示】在同一个坐标系中，作出函数
17、 和 的图象，观察后得交点个数.123sinxlog x2y3sinx212ylog x【规范解答】选D.函数 的周期 由 可得x=.由 ，可得x=8.在同一平面直角坐标系中，作出 函数 和 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点.y3sinx22T42，12log x3,1812log x3 y3sinx212ylog x命题角度2：三角函数模型的应用【典例4】(2014湖北高考)某实验室一天的温度(单位:)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=t0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度.(2)求实验室这一天的最大温差.103costsint,1
18、212【解题提示】化简函数关系式,代入t=8计算上午8时的温度;求出这一天温度的最大值与最小值,从而可求出最大温差.【规范解答】f(t)=(1)当t=8时,f(8)=故实验室这一天上午8时的温度为10.(2)因为0t0,0,0 )的部分图象，M，N是它与x轴的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F(0，1)是线段MD的中点，(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调递增区间.22MD MN.18【解析】(1)由已知F(0,1)是线段MD的中点，可知A=2，因为 (T为f(x)的最小正周期)，所以T=,=3,所以f(x)=2sin(3x+),设D点的坐标为(xD，2)，则由
19、已知得点M的坐标为(-xD，0)，所以xD-(-xD)=T=,则xD=,则点M的坐标为(,0)，所以sin(-)=0.因为0 ,所以=,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(3x+).2T TMD MN4 2182314142312124244(2)由2k-3x+2k+(kZ),得2k-3x2k+(kZ),得 x (kZ),所以函数f(x)的单调递增区间为 (kZ).2243442k342k3122k2k,343123.(2015中山模拟)为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经
20、营成本，减少浪费，就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,0|)，根据条件，可知这个函数的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)-f(2)
21、=400，故该函数的振幅为200;由可知，f(x)在2,8上单调递增，且f(2)=100，所以f(8)=500.根据上述分析可得，故=,且 解得 212,6AB100,AB500,A200,B300.根据分析可知，当x=2时，f(x)最小，当x=8时，f(x)最大，故sin(2 +)=-1,且sin(8 +)=1.又因为0|，故=所以入住客栈的游客人数(f(x)与月份(x)之间的关系式为f(x)=665.65200sin(x)300.66(2)由条件可知，400，化简，得 解得12k+6x12k+10,kZ.因为xN*,且1x12，故x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份
22、要准备400份以上的食物.5200sin(x)300665155sin(x)2kx2k,kZ,6626666自我纠错8 三角函数图象的平移伸缩变换问题【典例】(2015青岛模拟)把函数y=sin(3x-)的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),则所得函数的解析式为()A.y=sin(6x+)B.y=sin(6x+)C.y=sin(x+)D.y=sin()4312123433x2432【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？提示：解题过程中没能正确理解左右平移的实质，平移后误得函数解析式为y=sin(3x+)；另外对横向的伸缩变换
23、理解不到位，误得函数解析式为y=sin(6x+).1212【规避策略】正确理解函数图象的平移变换和伸缩变换(1)图象的左右平移是针对单个x而言的.(2)图象的伸缩变换，在变换中纵坐标不变，横坐标伸长，周期变大，x的系数缩小，反之，横坐标缩短，周期变小，x的系数扩大，即横坐标变为原来的倍，则x的系数相应变为原来的 1.【自我矫正】选D.把函数y=sin(3x-)的图象向左平移 个单位长度，可得y=sin3(x+)-的图象，即函数解析式为y=sin(3x+)，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=sin()的图象.即所得函数的解析式为y=sin().43343433x2433x24
