1、3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系(重点、难点)1.通过平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养2.借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量的定义直线l，取直线l的方向向量a，则a叫做平面的法向量思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？提
2、示不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量2空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmab(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a(a1，b1，c1)，的法向量为u(a2，b2，c2)，则lau0a1a2b1b2c1c20面面平行设，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)1若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1，2，3)B(1，3，2)C(2
3、，1，3) D(3，2，1)A(2，4，6)2(1，2，3)2若平面，的一个法向量分别为m，n，则()A BC与相交但不垂直 D或与重合Dn3m，mn，或与重合3已知(3，1，2)，平面的一个法向量为n(2，2，4)，点A不在平面内，则直线AB与平面的位置关系为()AAB BABCAB与相交但不垂直 DABD因为n2(3)(2)1420，所以n.又点A不在平面内，n为平面的一个法向量，所以AB，故选D.4若直线l的方向向量a(2，2，1)，平面的法向量(6，8，4)，则直线l与平面的位置关系是_l或la121640，a，l或l.求平面的法向量【例1】如图，已知ABCD是直角梯形，ABC90，S
4、A平面ABCD，SAABBC1，AD，试建立适当的坐标系(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量解以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)(1)SA平面ABCD，(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量(2)ADAB，ADSA，ABSAA，AD平面SAB，是平面SAB的一个法向量(3)在平面SCD中，(1，1，1)设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则n，n，所以得方程组令y1，得x2，z1，平面SCD的一
5、个法向量为n(2，1，1)1利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1)(6)得结论：得到平面的一个法向量2求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意0：提前假定法向量n(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.1正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、
6、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量解设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)(1)连接AC(图略)，因为AC平面BDD1B1，所以(2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量(2)(2，2，0)，(1，0，2)设平面BDEF的一个法向量为n(x，y，z)令x2，得y2，z1.n(2，2，1)即为平面BDEF的一个法向量利用空间向量证明线线平行【例2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1
7、的中点求证：四边形AEC1F是平行四边形解以点D为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，F，又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF，四边形AEC1F是平行四边形1两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面2直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直3两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直2长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A
8、1B上的点，且D1E2EB1，BF2FA1.求证：EFAC1.证明如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DAa，DCb，DD1c，则得下列各点的坐标：A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E，F.，(a，b，c)，.又FE与AC1不共线，直线EFAC1.利用空间向量证明线面、面面平行探究问题在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.思路探究：证明法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直
9、线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是(1，0，1)，(1，1，0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，则y1，z1，平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n.MN平面A1BD.法二：()，MN平面A1BD.法三：.即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN平面A1BD.1本例中条件不变，试证明平面A1BD平面CB1D1.证明由例题解析知，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，则(0，1，1)，(1，1，0)，设平面CB1D1的法向
10、量为m(x1，y1，z1)，则，即令y11，可得平面CB1D1的一个法向量为m(1，1，1)，又平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)所以mn，所以mn，故平面A1BD平面CB1D1.2.若本例换为：在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点，求证：AB平面DEG.证明EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，
11、F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，(0，2，2)，(2，2，0)，(2，0，2)设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得z1，x1，则n(1，1，1)，n2020，即n.AB平面DEG，AB平面DEG.1向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即au0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这
12、个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可2证明面面平行的方法设平面的法向量为，平面的法向量为v，则v.1应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示即用平面向量基本定理证明线面平行2证明面面平行的方法设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)1已知向
13、量a(2，4，5)，b(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15 Dx6，yDl1l2，ab，存在R，使ab，则有23，4x，5y，x6，y.2已知线段AB的两端点坐标为A(9，3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交C(0，5，3)，坐标平面yOz的一个法向量为n(1，0，0)，因为n0，所以n.故线段AB与坐标平面yOz平行3已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，且l，则m_8l，l的方向向量与的法向量垂直(2，m，1)2m20.解得m8.4在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点求证：PQRS.解如图，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)易求得P，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S，于是，.，.RPQ，PQRS.
