1、第二节一元二次不等式及其应用一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图像一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2x|xRax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx21二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式2当0(a0)的解集为R还是.试一试1(2013浙江高考)设集合Sx|x2，Tx|x23x40，则(RS)T()A(2,1B(，4C(，1 D1，)解析：选CT
2、 x|4x1，根据补集定义，RSx|x2，所以(RS)Tx|x1，选C.2不等式ax2bx20的解集是，则ab的值是()A10 B10C14 D14解析：选D由题意知、是ax2bx20的两根则a12，b2.ab14.故选D.3不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0的解集为R，则m的取值范围是_解析：当m0时，10显然成立当m0时，由条件知得0m1，由知0m1.答案：0,1)考点一一元二次不等式的解法典例解下列不等式：(1)0x2x24；(2)x24ax5a20(a0)解(1)原不等式
3、等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(2)由x24ax5a20知(x5a)(xa)0.由于a0故分a0与a0讨论当a0时，x5a或xa；当a0时，xa或x5a.综上，a0时，解集为；a0时，解集为.类题通法1解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即的符号进行
4、分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类针对训练解下列不等式：(1)3x22x80；(2)ax2(a1)x10(a0)解：(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2 x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.考点二一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于
5、一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f(x)0(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数范围；(3)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围.角度一形如f(x)0(xR)确定参数的范围1(2013重庆高考)设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_解析：根据题意可得(8sin )248cos 20，即2sin2cos 20，2sin2(12sin2 )0，即sin .因为0，故0，.答案：0，角度二形如f(x)0(xa，b)确定参数范围
6、2对任意x1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求a的取值范围解：函数f(x)x2(a4)x42a的对称轴为x.当6时，f(x)的值恒大于零等价于f(1)1(a4)(1)42a0，解得a0，即a21，即a0，即a1，故有a1.综上可知，当a1时，对任意x1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零角度三形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围3对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围解：由f(x)x2(a4)x42a(x2)ax24x4，令g(a)(x2)ax24x4.由题意知在1,1上，g(a)的值恒大于零，解得x3.故当x3时，
7、对任意的a1,1，函数f(x)的值恒大于零类题通法恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方考点三一元二次不等式的应用典例某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a件现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比
8、，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；(2)设k2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?解(1)设该商品价格下降后为x元/件，则由题意可知年销量增加到件，故经销商的年收益y(x3)，5.5x7.5.(2)当k2a时，依题意有(x3)(83)a(120%)，化简得0，解得x6或4x5.又5.5x7.5，故6x7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.类题通法构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背
9、景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解针对训练某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解：(1)由题意得y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)20(10x)(508x)，定义域为0,2(2)由题意得20(10x)
10、(508x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.课堂练通考点1(2013广东高考)不等式|x22|2的解集是()A(1,1)B(2,2)C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)解析：选D由|x22|2得2x222，即0x24，所以2x0或0x0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc()A123 B213C312 D321解析：选Bcaxb0，x.不等式的解集为x|2x1，abca213.3(2013重庆高考)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B.C. D. 解析：选A由条件知x1，x2为方程x2
11、2ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得a.4(2014皖南八校联考)不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1,4 B(，25，)C(，14，) D2,5解析：选Ax22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.5(2013温州调研)若函数f(x)则不等式f(x)4的解集是_解析：不等式f(x)4等价于或即0x或4x0.因此，不等式f(x)4的解集是(4，)答案：(4，)6(2012天津高考)已知集合AxR|x2
12、|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.解析：因为|x2|3，即5x1，所以A(5,1)，又AB，所以m0，即x2时，不等式可化为(x2)24，所以x4；当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，所以0x2.2(2013安徽高考)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|xlg 2 解析：选D因为一元二次不等式f(x)0的解集为，所以可设f(x)a(x1)(a0可得(10x1)0，即10x，xlg 2.3(2014湖北八校联考)“0a0的解集是实数集R”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要
13、条件解析：选A当a0时，10，显然成立；当a0时，故ax22ax10的解集是实数集R等价于0a1.因此，“0a0的解集是实数集R”的充分而不必要条件4关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()A(4,5) B(3，2)(4,5)C(4,5 D3，2)(4,5解析：选D原不等式可能为(x1)(xa)0，当a1时得1xa，此时解集中的整数为2,3, 4，则4a5，当a1时得ax1，则3a2，故a3，2)(4,55(2013洛阳诊断)若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D.解析：选B由a280，知方程恒有两个不等实根，又
14、知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，f(1)0，解得a，且a1，故a的取值范围为.6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27在R上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_解析：由题意，知(xy)*(xy)(xy)1(xy)1对一切实数x恒成立，所以x2xy2y10对于xR恒成立故124(1)(y2y1)0，所以4y24y30，解得y.答案：8不等式x22x3 a22a1在R上的解集是，则实
15、数a的取值范围是_解析：原不等式即x22xa22a40，在R上解集为，44(a22a4)0，即a22a30，解得1a3.答案：(1,3)9设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m0对于一切xR恒成立(1)当a24a50时，有a5或a1.若a5，不等式化为24x30，不满足题意；若a1，不等式化为30，满足题意(2)当a24a50时，应有解得1a19.综上可知，a的取值范围是1a0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_解析：由于f(x)为R上的奇函数，所以当x0时，f(0)0；当x0，所以f(x)x24xf(x)，即f(x)x24x，所以f(x)由f(x)x，可得或解得x5或5x0，所以原不等式的解集为(5,0)(5，)答案：(5,0)(5，)
