1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评四十九利用空间向量讨论平行与垂直(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,1,1),则 ()A.l B.l C.l或lD.l与斜交【解析】选C.因为a=(1,0,2),n=(-2,1,1),所以an=0,即an,所以l或l.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 ()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,E
2、FACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.3.已知平面内有一点M(1,-1,2),平面的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面内的是()A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)
3、【解析】选A. 逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以n=6-12+6=0,所以n,所以点P在平面内,同理可验证其他三个点不在平面内.4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则: A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D1;A1M平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.=+=+,=+=+,所以,所以A1MD1P,由线面平行的判定定理可知,A1M平面DCC1D1,A1M平面D1PQB1.正确.5.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.
4、E是BB1上一点,若D1FDE,则有()世纪金榜导学号A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=EBD.E与B重合【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则=(0,1,-2),=(2,2,z),因为=02+12-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若A0,2,B1,-1,C-2,1,是平面内的三点,设平面的法向量a=(x,y,z),则xyz=_.【解析】 =1,-3,-,=-2,-1,-,a=0,a=0,xyz=yy-y
5、=23(-4).答案: 23(-4)7.设平面与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面与向量b=(-2, 4, -8)垂直,则平面与位置关系是_.【解析】因为2a=b,所以ab.因为平面与向量a垂直,所以平面与向量b也垂直.而平面与向量b垂直,所以.答案:平行8.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF的夹角为,则cos 的最大值为_.世纪金榜导学号【解析】如图,建立空间直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2)(0m2),则=(2,1,
6、0),=(1,-m,-2),cos =,令t=2-m(0t2),cos =.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM平面BDE.(2)AM平面BDF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设ACBD=N,连接NE.则N,0,E(0,0,1),A(,0),M,1,所以=-,-,1,=-,-,1.所以=且NE与AM不共线.所以NEAM.又因为NE平面BDE,AM平面BDE,所以AM平面BDE.(2)由(1)知=-,-,1,因为D(,0,0),F(,1),所以=(0,1)所以=0,所
7、以AMDF.同理AMBF.又DFBF=F,所以AM平面BDF.10.在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.世纪金榜导学号(1)求证:EFCD.(2)在平面PAD内求一点G,使GF平面PCB,并证明你的结论.【解析】(1)如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、Ea,0、P(0,0,a)、F,.=-,0,=(0,a,0).因为=0,所以,即EFCD.(2)设G(x,0,z),则=x-,-,z-,若使GF平面PC
8、B,则由=x-,-,z-(a,0,0)=ax-=0,得x=;由=x-,-,z-(0,-a,a)=+az-=0,得z=0.所以G点坐标为,0,0,即G点为AD的中点.(15分钟35分)1.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为()A.aB.aC.aD.a【解析】选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,.设M(x,y,z),因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=,得M,所以|=a.2.(5分)给出下列命题:直线l的方向向量为a=
9、(1,-1,2),直线m的方向向量b=,则l与m垂直;直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面的法向量n=(1,-1,-1),则l;平面,的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则;平面经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面的法向量,则u+t=1.其中真命题是_.(把你认为正确的命题的序号都填上)【解析】对于,因为a=(1,-1,2),b=(2,1,-),所以ab=12-11+2=0,所以ab,所以直线l与m垂直,正确;对于,a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),所以an=01+1(-1)+(-1)(-1)=0
10、,所以an,所以l或l,错误;对于,因为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),所以n1与n2不共线,所以不成立,错误;对于,因为点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以=(-1,1,1),=(-1,1,0),向量n=(1,u,t)是平面的法向量,所以,即,则u+t=1,正确.综上,真命题的序号是.答案:3.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足=的实数有_个.【解析】建立如图所示的坐标系,设正方体的棱
11、长为2,P点坐标为(x,y,2),则O(1,1,0),所以OP的中点坐标为,1,又知D1(0,0,2),D1Q的中点也是OP中点,所以Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,所以xQ+yQ=3,由=得所以x+y=1,即点P坐标满足x+y=1,由于P点在四边上,所以有2个符合题意的点P,即对应有2个.答案:24.(10分)如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:世纪金榜导学号(1)DE平面ABC.(2)B1F平面AEF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,令AB=AA1=4,则A
12、(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中点N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),所以=(-2,4,0),=(-2,4,0),所以=,所以DENC,又因为NC平面ABC,DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)由(1)知=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,=(-2)2+22+(-4)0=0.所以,即B1FEF,B1FAF,又因为AFFE=F,所以B1F平面AEF.5.(10分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点
13、E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF.世纪金榜导学号(1)求证:EFA1C1.(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长.【解析】(1)以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0)、A1(a,0,a)、C1(0,a,a)、E、F,所以=(-a,a,0),=,因为=-a2+a2+0=0,所以,所以A1C1EF.(2)设G(0,a,h),因为平面ADD1A1平面BCC1B1,平面ADD1A1平面AEGF=AE,平面BCC1B1平面AEGF=FG,所以FGAE,所以存在实数,
14、使得=,因为=,=,所以=,所以=1,h=a,所以C1G=CC1-CG=a-a=a,故当C1G=a时,A,E,G,F四点共面.1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BACA, A1A=BA=CA,点M,N分别是AC,AB的中点,过点C作平面,使得A1M,B1N,若B1C1=P,则的值为世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选B.因为AB,AC, AA1两两垂直,所以以A为原点,以AB,AC, AA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则=(0,1,-2),=(-1,0,-2),设=,则=+=(0,0,2)+(2,-2,0)=,因为A1M,B1N,所以存在实数x,y,使得
15、=x+y,由向量相等的充要条件得消去x,y得+=2,所以=,即=.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D夹角的大小是_,若D1EEC,则AE=_.世纪金榜导学号【解析】长方体ABCD-A1B1C1D1中以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,又AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0),设E(1,m,0),0m2,则=(1,m,-1),=(-1,0,-1),所以=-1+0+1=0,所以直线D1E与A1D夹角的大小是90,因为=(1,m,-1),=(-1,2-m,0),D1EEC,所以=-1+m(2-m)+0=0,解得m=1,所以AE=1.答案: 901关闭Word文档返回原板块
