1、习题课推理与证明的综合应用课后训练案巩固提升1.已知a1=1,依次写出a2,a3,an(nN+)的法则如下:如果an-2为自然数且未写过,则写an+1=an-2,否则就写an+1=an+3,则a6=()A.4B.5C.6D.7解析:根据题中法则,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.答案:C2.对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是()A.25B.250C.55D.133解析:由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33
2、+33=55,因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2016=6723,故第2016次操作后得到的数是250.答案:B3.对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中,是准偶函数的是()A.f(x)=xB.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)解析:由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图像关于x=a(a0)对称,则f(x)为准偶函数,在D中f(x)=cos(x+1)的图像关于x=k-1(kZ)对称,故选D.答案:D4.(河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试(
3、一)6月23日15时前后,江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达12级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.(1)甲轻型教授队所在方向不是C方向,也不是D方向;(2)乙轻型教授队所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙轻型教授队所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁轻型教授队所在方向不是A方向,也不是D方向.此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向.有下列判断:甲所在方向是B方向;乙所在方向是D方向;丙所在方向是D方向;丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.解析:
4、由(1)知,甲选A或B;由(2)知,乙选C或D;由(3)知,丙选C或D;由(4)知,丁选C或B;由于:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,故丙所在方向是D方向.答案:5.(北京市2017届高三入学定位考试)小明在学校组织了一次访谈,全体受访者中,有6人是学生,4人是初中生,2人是教师;5人是乒乓球爱好者,2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知,此次访谈中受访者最少有人;最多有人.解析:由题意得当乒乓球爱好者和篮球爱好者均和老师与学生重复时,人数最少,为6+2=8人,当乒乓球爱好者和篮球爱好者与老师和学生都不重复时,人数最多,为6+2+5+2=15人,故答案为8,15.答案:81
5、56.(山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第一次月考(开学考)观察下图:12343456745678910则第行的各数之和等于2 0172.解析:因为此图各行的数字排列规律是:第n行第一个数是n,该行共有(2n-1)个数,构成以1为公差的等差数列,所以第n行的各数之和为(2n-1)n+(2n-1)(2n-2)2=4n2-4n+1,令4n2-4n+1=2 0172,则2n-1=2 017,n=1 009,故答案为1 009.答案:1 0097.(北京市2017届高三入学定位考试)网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.脚的长
6、度与鞋号对照表中国鞋码实际标注(同国际码)mm220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(同欧码)34353637383940414243从上述表格中可以推算出30码的童鞋对应的脚的长度为;若一个篮球运动员的脚长为282 mm,则他该穿码的鞋.解析:观察题中表格可知,码=实际标注0.2-10,故30码的童鞋对应的脚的长度为200 mm,当脚长为282 mm时,对应的码2820.2-10=46.4,应穿47码的鞋,故答案为200 mm,47.答案:200 mm478.(广东省惠州市2017届高三第一次调研考试)给出下列不等式:1+12+131,1+12+13+1
7、732,1+12+13+1152,则按此规律可猜想第n个不等式为.解析:观察不等式左边最后一项的分母3,7,15,通项为2n+1-1,不等式右边为首项为1,公差为12的等差数列,故猜想第n个不等式为1+12+13+14+12n+1-1n+12.答案:1+12+13+14+12n+1-1n+129.设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)0,f(1)0,求证:(1)a0,且-2ba0,f(1)0,所以c0,3a+2b+c0.因为a+b+c=0,消去b得ac0,再由条件a+b+c=0,消去c得a+b0,所以-2ba-1.(2)因为抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为-b3a,3ac-b23a,又因为-2ba-1,所以13-b3a0,f(1)0,而f-b3a=-a2+c2-ac3a0时,不等式成立;当x0时,8x30,而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)x-122+340,此时不等式仍然成立.
