1、考点规范练6函数的单调性与最大(小)值一、基础巩固1.(多选)下列函数中,在区间(0,1)内单调递增的是()A.y=|x|B.y=x+3C.y=1xD.y=-x2+42.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都单调递减,则y=ax2+bx在区间(0,+)内()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增3.设函数f(x)=1,x0,0,x=0,-1,x0B.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C.f(a)f(x1)f(x2)5.已知函数y=log2(ax-1)在区间(1,2)内单调递增,则实数a的取值范围是()A.(0,1B.1,2C.1,+)D.2,+)6.函数f(x)=1x,x
2、1,-x2+2,x1的最大值为.7.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是.8.函数f(x)=1(x-1)(x-2)的定义域为;单调递减区间为.9.若f(x)=(3a-1)x+4a,x0,则有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)12.已知函数f(x)=log13(x2-ax+3a)在区间1,+)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.(-,2B.2,+)C.-12,2D.-12,213.已知函数f(x)=12-x2+2mx-m2-1的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为()A.-2B.2C.-1D.114.已知函数f(x)=2x+mx+1,x0,1,若f(x)的最小值为52,则实数m
3、的值为()A.32B.52C.3D.52或315.已知函数f(x)是定义在区间(0,+)内的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的取值范围为.16.函数f(x)=13x-log2(x+2)在区间-1,1上的最大值为.三、探究创新17.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增,且函数y=f(x)x在区间I上单调递减,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为()A.1,+)B.0,3C.0,1D.1,318.已知减函数f(x)的定义域是实数集R,m,n都是实数.如果不等式f(m)-
4、f(n)f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是()A.m-n0C.m+n0考点规范练6函数的单调性与最大(小)值1.ABy=|x|在区间(0,+)内单调递增,故选项A正确;y=x+3在区间(-,+)内单调递增,故选项B正确;y=1x在区间(0,+)内单调递减,故选项C错误;y=-x2+4在区间(0,+)内单调递减,故选项D错误.2.B因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都单调递减,所以a0,b0.所以y=ax2+bx图象的对称轴为直线x=-b2a1,0,x=1,-x2,x0,且a-10,故a1.6.2当x1时,函数f(x)=1x单调递减,即f(x)在x=1处取得最大值,为
5、f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.7.1,2由题意知,f(x)=x2-2x,x2,-x2+2x,x0,解得x2,故函数f(x)的定义域为(-,1)(2,+).又t=(x-1)(x-2)在区间(-,1)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增,所以函数f(x)在区间(-,1)内单调递增,在区间(2,+)内单调递减.故函数f(x)的单调递减区间为(2,+).9.18,13由题意知,3a-10,解得a0,故a的取值范围为18,13.10.解(1)函数f(x)在区间3,5上单调递增,证明:设任意x1,x2,满足3x1x2
6、5.因为f(x1)-f(x2)=2x1-1x1+1-2x2-1x2+1=(2x1-1)(x2+1)-(2x2-1)(x1+1)(x1+1)(x2+1)=3(x1-x2)(x1+1)(x2+1),又3x10,x2+10,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)=2x-1x+1在区间3,5上单调递增.(2)由(1)可知f(x)min=f(3)=23-13+1=54,f(x)max=f(5)=25-15+1=32.11.AD由函数y=2x2+x+1=2x+142+78在区间-14,+内单调递增知,函数y=2x2+x+1在区间(0,+)内单调递增,故A正确;函数
7、y=1x+1在区间(-,-1)和(-1,+)内均单调递减,但在(-,-1)(-1,+)内不单调递减,如-20,但1-2+10得a-b,因为f(x)在R上单调递增,所以f(a)f(-b),同理f(b)f(-a),所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),故D正确.12.D设y=f(x),令x2-ax+3a=t.y=f(x)在区间1,+)内单调递减,t=x2-ax+3a在区间1,+)内单调递增,且满足t0.a21,12-a1+3a0,解得-120,即m2时,f(x)在区间0,1上单调递减,可得当x=1时,f(x)取得最小值,且2+m2=52,解得m=3,成立;当m-20,即m0,a+30,a2
8、-aa+3,解得-3a3,故实数a的取值范围为(-3,-1)(3,+).16.3因为y=13x在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间-1,1上单调递增,所以f(x)在区间-1,1上单调递减.所以f(x)在区间-1,1上的最大值为f(-1)=3.17.D因为函数f(x)=12x2-x+32图象的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间1,+)上单调递增.又当x1时,f(x)x=12x-1+32x,令g(x)=12x-1+32x(x1),则g(x)=12-32x2=x2-32x2.由g(x)0得1x3,即函数f(x)x=12x-1+32x在区间1,3上单调递减,故“缓增区间”I为1,3.18.A设F(x)=f(x)-f(-x),因为f(x)是R上的减函数,所以f(-x)是R上的增函数,-f(-x)是R上的减函数,即F(x)是R上的减函数,则当mF(n),即f(m)-f(-m)f(n)-f(-n)成立.因此,当f(m)-f(n)f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-n0一定成立,故选A.
