1、第二章 函数的概念与基本初等函数 第六节 指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型.知 识梳 理 诊 断 1根式(1)根式的概念 若_，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*.式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数xnaa 的 n 次方根的表示：xnax_(当n为奇数且nN*时)，x_(当n为偶数且nN*时).n an a(2)根式的性质(n a)na(nN*)n an_，n为奇数，_a
2、，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)；负分数指数幂：amn_(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于_，0 的负分数指数幂_没有意义01amn1n amn am(2)有理数指数幂的性质aras_(a0，r，sQ)；(ar)s_(a0，r，sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)arsarsarbr3指数函数的图象与性质 yaxa10a0 时，_；x0 时，_；x10y10y1增函数减函数(0，1)1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)(4(4)44.()(2)2a2b2ab.()(3)函数 y(1a)x 在 R 上是减函数()(4)若 am0 且 a1)，则
3、 m1)的值域是(0，)()答案(1)(2)(3)(4)(5)2下列等式 3 6a3 2a；3 2 6(2)2；3 4 2 4(3)42中一定成立的有()A0个B1个C2个D3个解析 3 6a33 6a；6(2)26 223 2；4(3)424 34234 2.故没有成立的等式，选A.答案 A3函数y42x的定义域是()A(0，2 B(，2 C(2，)D1，)解析 由42x0，得x2，所以函数定义域为(，2，选B.答案 B4下列函数中值域为(0，)的是()Ay5xBy(13)1xCy12x1Dy12x解析 函数y5x的值域为(，0)，故A选项不适合；函数y 131x 的值域为(0，)，故B选项
4、适合；函数y12x1的值域为0，)，故C选项不适合；函数y12x的值域为0，1)，故D选项不适合 答案 B5设y140.9，y280.48，y3(12)1.5，则()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2解析 y140.921.8，y280.4821.44，y3 121.5 21.5，因为函数y2x在R上是增函数，所以21.821.521.44，即y1y3y2，故选D.答案 D6已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)_解析 由f(a)3，得2a2a3，所以f(2a)22a22a(2aaa)223227.答案 7考 点题 型 突 破 考点一 指数幂的化简与求值自练型(
5、1)下列结果错误的是()A.32 23(1 2)34(1 2)4 21B1.5 13(76)080.254 2(3 23)6(23)23110C.a35 b235 b34 a3a4 aD.3 1 36 42 33 2(2)化简 4 16x8y4(x0，y0，且a12a123，则a2a21aa11 的值为_解析(1)A 中，原式(21)2(1 2)|1 2|(21)(1 2)(21)21；B 中，原式(23)131234214(213312)6(23)132427110；C 中，原式a32 312(b315 210)a54a4 a；D 中，原式6(31)2(42 3)6(42 3)(42 3)6
6、 16123 2.(2)4 16x8y4(16x8y4)14 24(x)8(y)4142414(x)814(y)4142(x)2(y)2x2y.(3)原式(6)a2313b13136a.(4)将a12a123两边平方得aa129即aa17.将aa17两边平方有a2a2249，得a2a247，a2a21aa11 47171 6.答案(1)D(2)D(3)6a(4)6 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽
7、可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一考点二 指数函数的图象及应用互动型(1)(2016河北邯郸质检)已知函数ykxa的图象如图所示，则函数yaxk的图象可能是()(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析(1)由函数ykxa的图象可得k0，0a1，所以1k0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？解析(1)曲线y|2x1|与直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0，1)(2)因为函数y|2x1|的单调递减区间
8、为(，0，所以k0，即k的取值范围为(，0(3)y|ax1|的图象是由yax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的 当a1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0a1时，要使两个图象有两个交点，则02a1，得到0a0，g(x)，x0且a1)对应的图象如图所示，那么g(x)的解析式为g(x)()A(12)xB(12)xC2xD2x解析 函数f(x)的图象过点(1，12)，所以a 12.当x0时，g(x)f(x)(12)x2x.答案 D2已知实数a，b满足等式(12)a(13)b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个
9、B2个C3个D4个解析 在坐标系中画出y(12)x和y(13)x的图象，直线yc与两个函数图象的交点的横坐标分别为xa和xb，当0cb0；当c1时，ab0；当c1时，ab0.所以不能成立的有.故选B.答案 B考点三 指数函数的性质及应用共研型角度1：比较指数式的大小(2016全国卷)已知a243，b425，c2513，则()AbacBabcCbcaDca425b，c2513523423a，所以bac.答案 A角度2：解简单的指数方程或不等式(1)(2016福州模拟)已知实数a1，函数f(x)4x，x0，2ax，x0的解集为_解析(1)当a1时，代入不成立(2)f(x)为偶函数，当x0时，f(x
10、)f(x)2x4.f(x)2x4，x0，2x4，x0时，有x20，2x240 或x20，解得x4或x4或x4或x0，3a4a1，解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y(13)g(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0.(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.与指数函数性质有关问题的解题策略,考查方向答题策略比较指数幂大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1).简单的指数不等式的求解问题利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.与指数函数有关的复合函数问题(
11、1)要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质.(2)要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.1角度1(2016浙江杭州调研)设 12(12)b(12)a1，那么()AaaabbaBaabaabCabaabaDabbaaa解析 由于y(12)x是减函数，12(12)b(12)a1.所以0ab1.当0a1时，yax为减函数，所以abaa，排除A、B；因为yxa在第一象限内为增函数，所以aaba，故选C.答案 C2角度2(2016广州模拟)关于x的方程2xa2a在(，1上有解，则实数a的取值范围是
12、()A2，1)(0，1 B2，1(0，1C2，1)(0，2 D2，10，2解析 方程2xa2a在(，1上有解，y2x(0，2(x(，1)，00，a2a2.解得2a1或00在x(，1时恒成立，即a12x4x在x(，1时恒成立令f(x)12x4x(12)2x(12)x(12)x12214.x(，1，(12)x12，)令t(12)x，g(t)(t12)214，t12，)g(t)在12，)上为减函数，g(t)g(12)(1212)21434，即g(t)(，34 ag(t)恒成立，a(34，)答案(34，)课 堂归 纳 小 结 方法技巧1.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再
13、进行比较.2.比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；当底数、指数都不同时，找中介值.3.指数函数yax(a0，a1)的单调性和底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论.4.与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题.易错点睛1.指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等.2.形如a2xbaxc0或a2xbaxc0形式，常
14、借助换元法转化为二次方程或不等式求解，但应注意换元后“新元”的范围.名 师微 课 导 学 课题9：忽略对底数的讨论致误名师导学：底数a的取值范围(a1或0a0，a1)在区间 32，0上有最大值3和最小值52，试求a、b的值错解 令tx22x(x1)21 x32，0，t1，0 由a0b3，得b2；由a1b52，得a2.正解 令tx22x(x1)21，x32，0，t1，0(1)若a1，函数f(x)at在1，0上为增函数，at1a，1，则bax22xb1a，b1，依题意得b1a52，b13，解得a2，b2，(2)若0a1和0a0时，指数函数f(x)(a1)x2 B1a1 DaR解析 x0时，(a1)x1恒成立，0a11，1a0且a1，函数ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，则a的值为_解析 令tax(a0且a1)，则原函数化为y(t1)22(t0)当0a0，所以a13.当a1时，x1，1，tax1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数 所以f(t)maxf(a)(a1)2214，所以(a1)216，即a5或a3，又因为a0，所以a3.综上得a13或a3.答案 13或3请做：课后跟踪训练（九）
