1、第52讲 直线与圆、圆与圆的位置关系【学习目标】能利用直线与圆、圆与圆位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能熟练解决与圆的切线和弦长等有关综合问题.【基础检测】1.直线 yx2 被圆 M:x2y24x4y10所截得的弦长为.【解析】M:x2y24x4y10(x2)2(y2)29,圆心到直线 yx2 距离为 22 2,所以弦长为 2 922 7.2 72.M(x0,y0)为圆 x2y2a2(a0)内异于圆心的一点,则直线 xx0yy0a2 与该圆的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.相切或相离A【解析】点 M 在圆内,故 x20y20a.故直线与圆相离.3.若直线 axby2
2、0(a0,b0)被圆 x2y24x4y10 所截得的弦长为 6,则2a3b的最小值为()A.10 B.42 6C.52 6D.4 6【解析】若直线 axby20(a0,b0)被圆 x2y24x4y10 的标准方程为(x2)2(y2)29 所截弦长为 6,即为直径,所以2a2b20,ab1,则2a3b2a3b(ab)22ba 3ab 352 6,选C.C4.圆 x2y22x6y90 与圆 x2y26x2y10 的位置关系是()A.相离B.相外切C.相交D.相内切【解析】记第一个圆为 C1:(x1)2(y3)21,记第二个圆为 C2:(x3)2(y1)29,故圆心距C1C2 42222 5,R1R
3、2 2,R1R24,所以C1C2 R1R2.A5.已 知 圆 C:x3 2 y4 2 1 和 两 点Am,0,Bm,0m0,若圆 C 上存在点 P,使得APB90,则 m 的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4【解析】若圆 C 上存在点 P,使得APB90,即存在点 P 在圆 O:x2y2m2 上,即圆 C:x3 2y4 21 与圆 O:x2y2m2 有公共点,则m15m1,解得 4m6,即 m 的最大值为 6.B【知识要点】1直线和圆的位置关系有三种:(1)直线与圆 公共点;(2)直线与圆公共点;(3)直线与圆公共点相交、相切、相离相交两个相切一个相离无2直线 l:AxByC0 与圆(
4、xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断方法有:(1)几何方法:圆心(a,b)到直线 AxByC0 的距离 d_,则d_r直线与圆相交;d_r直线与圆相切;d_r直线与圆相离|aAbBC|A2B2(2)代数方法:由AxByC0,(xa)2(yb)2r2.消元,得到的一元二次方程的判别式为,则_0直线与圆相交;_0直线与圆相切;_0直线与圆相离3圆与圆的位置关系有 _.0)与(xa2)2(yb2)2r22(r20)的圆心距为 d,则dr1r2两圆;dr1r2两圆_;|r1r2|dr1r2两圆;d|r1r2|(r1r2)两圆_;0d2,故点 O2 在圆 O1 的外部,可分为如下两种情形求解:
5、若两圆外切,得圆 O2 的半径2 22,故圆 O2 的方程为:(x2)2(y1)2128 2;若圆 O1 内切圆 O2,得圆 O2 的半径2 22,故圆 O2 的方程为:(x2)2(y1)2128 2.(2)设 AB 交 O1O2 于点 C,则 RtAO1C 中,|AC|2,|AO1|2,则|O1C|2,故 RtAO2C 中,|O2C|2,|AO2|2,故圆 O2 的方程为:(x2)2(y1)24.【点评】学习两圆的位置关系时应先重点掌握外切与内切,其他三种情形可以类比学习,处理圆的各种问题时一般优先使用数形结合的方法.三、圆的综合问题例 3 圆 C 的半径为 3,圆心在直线 2xy0 上且在
6、 x 轴下方,x 轴被圆 C 截得的弦长为 2 5.(1)求圆 C 的方程;(2)是否存在斜率为 1 的直线 l,使得以 l 被圆 C截得的弦为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)设 Cx0,y0,则 2x0y00y0111 22.2.圆 O1:x2y22x0 与圆 O2:x2y24y0的位置关系是()A.相离 B.相交C.外切 D.内切【解析】圆的方程分别化为 O1:(x1)2y21,O2:x2(y2)24,则 O1(1,0),O2(0,2),|O1O2|(10)2(02)2 5,而 r1r2123,r2r1211,r2r1|O1O2|r1r2,两
7、圆相交.B3.直线 x 3y20 与圆 x2y24 相交于 A,B两点,则弦 AB 的长度等于()A.2 5B.2 3C.3D.1【解析】圆心到直线 x 3y20 的距离 d|0 302|12(3)2 1,半 径 r 2,弦 长|AB|2 r2d22 22122 3.B4.圆 x2y24x0 在点 P(1,3)处的切线方程为()A.x 3y20 B.x 3y40C.x 3y40 D.x 3y20【解析】圆的方程为(x2)2y24,圆心坐标为(2,0),半径为 2,点 P 在圆上,设切线方程为 y 3k(x1),即 kxyk 30,|2kk 3|k212,解得 k 33.切线方程为 y 3 33
8、(x1),即 x3y20.D5.若曲线 C1:x2y22x0 与曲线 C2:y(ymxm)0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是()A.33,33B.33,0 0,33C.33,33D.,33 33,B【解析】C1:(x1)2y21,C2:y0 或 ymxmm(x1).当 m0 时,C2:y0,此时C1 与 C2 显然只有两个交点;当m0 时,要满足题意,需圆(x1)2y21 与直线 ym(x1)有两交点,当圆与直线相切时,m 33,即直线处于两切线之间时满足题意,则 33 m0 或 0m 33.综上知 33 m0 或0m0,b1.圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24.(x2)2
9、(y1)248.若直线 ykx1 与圆 x2y21 相交于 P、Q 两点,且POQ120(其中 O 为原点),则 k 的值为_.【解析】在POQ 中,因为POQ120,故圆心(0,0)到直线 kxy10 的距离为12,即1k2112,解得 k 3.39.已知点 M(3,1),直线 axy40 及圆(x1)2(y2)24.(1)求过 M 点的圆的切线方程;(2)若直线 axy40 与圆相切,求 a 的值;(3)若直线 axy40 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.【解析】(1)由题意可知 M 在圆(x1)2(y2)24 外,故当 x3 时满足与圆相切.当斜率存在
10、时设为 y1k(x3),即 kxy3k10.由|k213k|k212,得 k34,所求的切线方程为 x3 或 3x4y50.(2)由 axy40 与圆相切知|a24|1a2 2,a0 或 a43.(3)圆心到直线的距离 d|a2|1a2,又|AB|2 3,r2,由 r2d2|AB|22,可得 a34.10.已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线 xy20 对称.(1)求圆 C 的方程;(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求PQ MQ 的最小值;(3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B 两点,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互
11、补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.【解析】(1)设圆心 C(a,b),则a22 b22 20,b2a21,解得a0,b0.设圆 C 的方程为 x2y2r2,将点 P 坐标代入得r22.故圆 C 的方程为 x2y22.(2)设 Q(x,y),则 x2y22,且PQ MQ(x1,y1)(x2,y2)x2y2xy4xy2.所以PQ MQ 的最小值为4(可由线性规划或三角代换求得).(3)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA:y1k(x1),PB:y1k(x1),由y1k(x1),x2y22,得(1k2)x22k(1k)x(1k
12、)220,因为点 P 的横坐标 x1 一定是该方程的解,故可得 xAk22k11k2,同理,xBk22k11k2,所以 kAByByAxBxAk(xB1)k(xA1)xBxA 2kk(xBxA)xBxA1kOP,所以直线 AB 和 OP 一定平行.11.已知点 P(2,2),圆 C:x2y28y0,过点 P的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为M,O 为坐标原点.(1)求 M 的轨迹方程;(2)当|OP|OM|时,求 l 的方程及POM 的面积.【解析】(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.设 M(x,y),则CM(x,y4),MP(2x,2y).由题设知CM MP 0,故 x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上.又 P 在圆 N 上,从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为13,故 l 的方程为 y13x83.又|OM|OP|2 2,O 到 l 的距离为4 105,|PM|4 105,所以POM 的面积为165.