1、2.1合情推理与演绎推理21.1合情推理归纳推理提出问题如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，OAn的长度构成数列an，问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值提示：由图知：a1OA11，a2OA2，a3OA3，a4OA42.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列an的通项公式an吗？提示：能猜想出an(nN*)问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，你能猜想出什么结论？提示：所有三角
2、形的内角和都是180.问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由个别事实推出一般结论导入新知1归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理化解疑难归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.类比推理提出问题问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体
3、中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的.问题3：以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征问题4：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理导入新知1类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理2类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理化解疑难对类比推理的定义的理解(1)类比推
4、理是两类对象特征之间的推理(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现数、式中的归纳推理例1已知数列an的前n项和为Sn，a1，且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；当n4时，2S3，所以S4.猜想：Sn，nN*.类题通法归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括
5、两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)活学活用将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，求第n行(n3)从左向右数第3个数解：前(n1)行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.图形中的归纳推理例2(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26B31C32 D36(2)把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个
6、三角形数是_解析(1)选B法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.故选B.(2)第七个三角形数为123456728.答案(1)B(2)28类题通法解决图形中归纳推理的方法解决与图形
7、有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化活学活用如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n个图形中的顶点个数为()A(n1)(n2)B(n2)(n3)Cn2 Dn解析：选B第一个图形共有1234个顶点，第二个图形共有2045个顶点，第三个图形共有3056个顶点，第四个图形共有4267个顶点，故第n个图形共有(n2)(n3)个顶点.类比推理例3设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差
8、数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积的商成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，成等比数列答案类题通法类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相
9、似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)活学活用已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1(a0，b0)写出类似的性质，并加以证明解：类似的性质为：已知M，N是双曲线1(a0，b0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(m，
10、n)点M(m，n)在已知双曲线1上，1，得n2m2b2，同理y2x2b2.y2n2(x2m2)则kPMkPN(定值)kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值典例三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第
11、三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四
12、面体内切球的球心多维探究1解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形点线边长面积线线角三角形平行四边形圆空间图形线面面积体积二面角四面体六面体球2常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握：(1)三角形类比到三棱锥：例：在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则_”解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为
13、“直角三棱锥的侧面积、底面积”答案：SSSS(2)平行四边形类比到平行六面体：例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“_”解析：“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”答案：平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和(3)圆类比到球：例：半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可以用语言叙述为：_.解析：通过给出的
14、两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现4R2，从而使问题解决答案：4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数(4)平面解析几何类比到空间解析几何：例：类比平面内一点P(x0，y0)到直线AxByC0(A2B20)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面AxByCzD0(A2B2C20)的距离公式为d_.解析：类比平面内点到直线的距离公式d，易知答案应填.答案：随堂即时演练1根据给出的等式猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110B1 111 111
15、C1 111 112 D1 111 113解析：选B由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.2平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行解析：选D利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比3在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：184观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述
16、规律，第五个等式为_解析：观察等式，发现等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为132333435363(123456)2212.答案：1323334353632125.如图，已知O是ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A，B，C，则1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：1.运用类比猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明解：如图，设O为四面体VBCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V，B，C，D，类似结论为1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法
17、”来证明因为(其中h，h分别为两个四面体的高)，同理，所以1.课时达标检测一、选择题1观察下列各式：7249,73343,742 041，则72 013的末两位数字为()A01 B43C07 D49解析：选C因为717,7249,73343,742 401，7516 807,76117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T4.又2 01345031，所以72 013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.2已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a
18、2a929解析：选D等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a92229.3定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A(1)，(2) B(1)，(3)C(2)，(4) D(1)，(4)解析：选C解析：由可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，A*D是(2)，A*C是(4)4古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,1
19、6，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024C1 225 D1 378解析：选C记三角形数构成的数列为an，则a11，a2312，a36123，a4101234，可得通项公式为an123n.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bnn2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.5将正整数排成下表：123 456 7 8 910 11 1213141516则在表中数字2 013出现在()A第44行第78列B第45行第78列C第44行第77列 D第45行第77列解析：选D第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n
20、1)n2.4421 936,4522 025，且1 9362 0132 025，2 013在第45行又2 0252 01312，且第45行有245189个数字，2 013在第891277列二、填空题6设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).答案：7在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程AxBy0(A，B不同时为0)表示过原点的直线类似地：在空间直角
21、坐标系O xyz中，三元一次方程AxByCz0(A，B，C不同时为0)表示_解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O xyz中，三元一次方程AxByCz0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面答案：过原点的平面8在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图所示的六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图所示的六边形，第四件首饰由28颗珠宝构成如图所示的六边形，第五件首饰由45颗珠宝构成如图所示的六边形，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加
22、一定数量的珠宝，使其构成更大的六边形，依此推断第六件首饰上应有_颗珠宝，第n件首饰上应有_颗珠宝(结果用n表示)解析：设第n件首饰上所用珠宝数为an颗，据题意可知，a11，a26，a315，a428，a545，即a2a15，a3a29，a4a313，a5a417，所以a6a521，即a666，同理anan14n3(n2，nN*)，所以an1594n32n2n.答案：662n2n三、解答题9.如图所示，在ABC中，abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，写出对空间四面体性质的猜想解：如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，AB
23、C的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想SS1cos S2cos S3cos .10如图所示为m行m1列的士兵方阵(mN*，m2)(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an9 900，问an是数列第几项？解：(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3,4,5，时的士兵人数分别为12,20,30，.故所求数列为6,12,20,30，.(2)因为a123，a234，a345，所以猜想a
24、n(n1)(n2)，nN*.(3)a101112132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列21.2演绎推理演绎推理提出问题看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 0121)是奇数，所以(22 0121)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理问题2：第二句又说的什么？提示：都说的特殊示例问题3：第三句呢？提示：由一
25、般原理对特殊示例作出判断导入新知1演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理2三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.化解疑难辨析演绎推理与合情推理(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色因此
26、，我们不仅要学会证明，而且要学会猜想把演绎推理写成三段论的形式例1将下列演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数(2)三角形的内角和为180，RtABC的内角和为180.(3)菱形对角线互相平分(4)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列解(1)一切奇数都不能被2整除(大前提)75不能被2整除(小前提)75是奇数(结论)(2)三角形的内角和为180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的内角和为180.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分(大前提)菱形是平行四边形(小前提)菱形对角线互相平分(结论)(4)数列an中，如果当n
27、2时，anan1为常数，则an为等差数列(大前提)通项公式an3n2，n2时，anan13n23(n1)23(常数)(小前提)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列(结论)类题通法三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果bc，ab，则ac.”其中，bc为大前提，提供了已知的一般性原理；ab为小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果活学活用把下列推断写成三段论的形式：(1)ysin x(xR)是周期函数(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若1和2是对顶角，则1和2相等解：(1)三角函数是周期函数，大前提ysin x(xR)是三角
28、函数，小前提ysin x(xR)是周期函数结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提1和2是对顶角，小前提1和2相等结论三段论在证明几何问题中的应用例2已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是ABD和BCD的重心，求证：MN平面ACD.证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是ABD和BCD的重心，所以P，Q分别是AD，DC的中点又因为，所以MNPQ，又MN平面ADC，PQ平面ADC，所以MN平面ACD.类题通法三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这
29、种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论活学活用已知在梯形ABCD中，如图，ABCDAD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分BCD，DB平分CBA.证明：等腰三角形两底角相等，(大前提)DAC是等腰三角形，1和2是两个底角，(小前提)12.(结论)两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)1和3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，(小前提)13.(结论)等于同一个角的两个角相等，(大前提)21，31，(小前提)23，即AC平分BCD.(结论)同理可证DB
30、平分CBA.演绎推理在代数中的应用例3已知函数f(x)ax(a1)，求证：函数f(x)在(1，)上为增函数证明设x1，x2是(1，)上的任意两实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)ax1ax2ax1ax2ax1ax2，a1，且x1x2，ax1ax2，x1x20.又x11，x21，(x11)(x21)0.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函数f(x)在(1，)上为增函数类题通法使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论(2)证明中常见的
31、错误：条件分析错误(小前提错)定理引入和应用错误(大前提错)推理过程错误等活学活用已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明.证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)ba，m0，(小前提)所以，mbma.(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mbma，(小前提)所以，mbabmaab，即b(am)a(bm)(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b(am)a(bm)，a(am)0，(小前提)所以，即.(结论)典例定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0
32、)0，求证：f(x)是偶函数证明：令xy0，则有f(0)f(0)2f(0)f(0)，因为f(0)0，所以f(0)1，令x0，则有f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)，因此，f(x)是偶函数以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：_.解析通过两次赋值先求得“f(0)1”，再证得“f(y)f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”所以这个三段论推理的小前提是“f(y)f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数”答案若对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(
33、x)，则f(x)是偶函数易错防范解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提小前提结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误成功破障所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是_我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡解析：根据中
34、的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的不符合三段论的形式答案：随堂即时演练1“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等解析：选B得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”2“因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前提)，所以ylogx是增函数(结论)”上面推理错误的原因是()A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提都错导致结论错解析：选A大前提是错误的，因为对数函数yl
35、ogax(0a1)是减函数3求函数y的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a0，小前提是有意义，结论是_解析：由三段论的形式可知，结论是log2x20.答案：log2x204用三段论证明函数f(x)x在(1，)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：_大前提_小前提_结论答案：如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1x2，则f(x1)f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数任取x1，x2(1，)，x1x2，则f(x1)f(x2)，由于1x1x2，故x1x20，x1x21，即x1x210，所以f(x1)f(x2)函数f(x)x在(1，)上为增函数5将
36、下列推理写成“三段论”的形式(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.33是有理数解：(1)向量是既有大小又有方向的量大前提零向量是向量小前提零向量也有大小和方向结论(2)每一个矩形的对角线相等大前提正方形是矩形小前提正方形的对角线相等结论(3)所有的循环小数都是有理数大前提033是循环小数小前提033是有理数结论课时达标检测一、选择题1给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，大前提整数是有理数，小前提整数是真分数结论结论显然是错误的，是因为()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选A推
37、理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误举反例，如2是有理数，但不是真分数2“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于()A演绎推理 B类比推理C合情推理 D归纳推理解析：选A是由一般到特殊的推理，故是演绎推理3下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C由三角形的性质，推测四面体的性质D在数列an中，a11，an(n2)，由此归纳出an的通项公式解析：选AB项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理4“所有9的倍数(M
38、)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数(P)”上述推理是()A小前提错误 B结论错误C正确的 D大前提错误答案：C5有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选A大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况二、填空题6已知结论“函数y2x5的图像是一条直线”，若将其恢复成完整的三段论后，大前提是_解析：大前提：一次函数的图像是一条直线小前提：函数y2x
39、5是一次函数结论：函数y2x5的图像是一条直线答案：一次函数的图像是一条直线7已知推理：“因为ABC的三边长依次为3,4,5，所以ABC是直角三角形”若将其恢复成完整的三段论，则大前提是_解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：ABC的三边长依次为3,4,5满足324252；结论：ABC是直角三角形答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8若不等式ax22ax20的解集为空集，则实数a的取值范围为_解析：a0时，有20，显然此不等式解集为.a0时需有所以0a2.综上可知实数a的取值范围是0,2答案：0,2三、解答题9如图所示，D，E，F
40、分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEFA，求证：EDAF.证明：同位角相等，两条直线平行，大前提BFD与A是同位角，且BFDA，小前提所以DFEA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEFA，且DFEA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以EDAF.结论10已知函数f(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解：(1)证明：因为x，yR时，f(xy)f(x)f(y)，所以令xy0得
41、，f(0)f(0)f(0)2f(0)，所以f(0)0.令yx，则f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)设x1，x2R且x1x2，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)，因为x0时，f(x)0，所以f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x)为减函数，所以f(x)在3,3上的最大值为f(3)，最小值为f(3)因为f(3)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6，所以函数f(x)在3,3上的最大值为6，最小值为6._2.2直接证明与间接证明22.1综合法和分析法综合法提出问题阅读下列证明过程，回答问题求证：是函数f(x)s
42、in的一个周期证明：因为f(x)sinsinsinf(x)，所以由周期函数的定义可知，是函数f(x)sin的一个周期问题1：本题的条件和结论各是什么？提示：条件：f(x)sin；结论：是f(x)的一个周期问题2：本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论导入新知1综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2综合法的框图表示(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)化解疑难综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件(2)综
43、合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.分析法提出问题阅读下列证明过程，回答问题求证：2.证明：要证原不等式成立，只需证()2(2)2，即证22，该式显然成立，因此原不等式成立问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始问题2：证明思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件导入新知1分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法2分析法的框图表示化解疑难分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已
44、知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等综合法的应用例1已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.证明a，b，c是正数，b2c22bc，a(b2c2)2abc.同理，b(c2a2)2abc，c(a2b2)2abc.a，b，c不全相等，b2c22bc，c2a22ca，a2b22ab三式中不能同时取到“”式相加得a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.类题通法综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义
45、、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程活学活用已知a0，b0，且ab1，求证：9.证明：a0，b0，ab1，41552 549.当且仅当，即a2b时“”成立.分析法的应用例2设ab0，求证： ()证明因为ab0，所以a2abb2，所以abb20.要证 ( )，只需证，只需证 .而 显然成立所以 ()成立类题通法分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所
46、以结论成立活学活用在锐角ABC中，求证：tan Atan B1.证明：要证tan Atan B1，只需证1，A、B均为锐角，cos A0，cos B0.即证sin Asin Bcos Acos B，即cos Acos Bsin Asin B0，只需证cos(AB)0.ABC为锐角三角形，90AB180，cos(AB)0，因此tan Atan B1.综合法和分析法的综合应用例3已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.证明法一：(分析法)要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3，化简，得1，即c(bc)
47、(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立法二：(综合法)因为ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60.所以c2a2acb2，两边加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.类题通法综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；已
48、知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题活学活用设a，b(0，)，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：(分析法)要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，故只需证a2abb2ab成立，即需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证法二：(综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.a0，b0，ab0，(ab)(a2abb2)ab(ab)a3b3a2bab
49、2.典例(12分)设f(x)ax2bxc(a0)，若函数yf(x1)的图像与f(x)的图像关于y轴对称求证：f为偶函数解题流程规范解答法一：要证f为偶函数，只需证明其对称轴为直线x0，(2分)活学活用已知a，b，ab1，求证：2.证明：要证2，只需证2(ab)228.因为ab1，即证2.因为a，b，所以2a10,2b10，所以2.即2成立，因此原不等式成立随堂即时演练1下面叙述正确的是()A综合法、分析法是直接证明的方法B综合法是直接证法，分析法是间接证法C综合法、分析法所用语气都是肯定的D综合法、分析法所用语气都是假定的解析：选A直接证明包括综合法和分析法2欲证不等式 成立，只需证()A()
50、2()2B()2()2C()2()2D()2()2解析：选C要证 成立，只需证 成立，只需证()2()2成立3已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.证明过程如下：a，b，c为正实数，且abc1，10，10，10，8，当且仅当abc时取等号，不等式成立这种证法是_(填综合法、分析法)解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法答案：综合法4将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立解析：用分析法证明ab的步骤为：要证ab成立，只需证a2b22ab，也就是证a2b22ab0，即证(ab
51、)20.由于(ab)20显然成立，所以原不等式成立答案：a2b22ab0(ab)20(ab)205已知a0，b0，求证： .(要求用两种方法证明)证明：法一：(综合法)因为a0，b0，所以(ab)0，所以.法二：(分析法)要证 ，只需证abab，即证(ab)()0，因为a0，b0，所以ab与符号相同，不等式(ab)()0成立，所以原不等式成立课时达标检测一、选择题1在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的过程：“cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2”中应用了()A分析法B综合法C分析法和综合法综合使用D间接证法解析：选
52、B符合综合法的证明思路2下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)解析：选A本题就是找哪一个函数在(0，)上是减函数，A项中，f(x)0，f(x)在(0，)上为减函数3设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4C1 D.解析：选B是3a与3b的等比中项3a3b33ab3ab1，因为a0，b0，所以ab，所以4.4已知f(x)ax1,0a1，若x1，x2R，且x1x2，则()A.fB.fC.fD.f解析：选D因为x1x2，所以 a1f，所以f.5A
53、，B为ABC的内角，AB是sin Asin B的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C若AB，则ab，又，sin Asin B；若sin Asin B，则由正弦定理得ab，AB.二、填空题6命题“函数f(x)xxln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)xxln x取导得f(x)ln x，当x(0,1)时，f(x)ln x0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法解析：该证明过程符合综合法的特点答案：综合法7如果abab，则实数a，b应满足的条件是_解析：ababaabba()b()(ab)()0()()20
54、，故只需ab且a，b都不小于零即可答案：a0，b0且ab8已知sin cos 且，则cos 2_.解析：因为sin cos ，所以1sin 2，所以sin 2.因为，所以2.所以cos 2.答案：三、解答题9设x0，y0，证明不等式(x2y2)(x3y3).证明：法一：(分析法)证明原不等式成立，即证(x2y2)3(x3y3)2，即证x6y63x2y2(x2y2)x6y62x3y3，即证3x2y2(x2y2)2x3y3，因为x0，y0，所以只需证x2y2xy.又因为x0，y0，所以x2y22xyxy.所以(x2y2)(x3y3).法二：(综合法)因为x0，y0，所以(x2y2)3x6y63x2
55、y2(x2y2)x6y66x3y3x6y62x3y3(x3y3)2，所以(x2y2)(x3y3).10设f(x)ln x1，证明：(1)当x1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x).证明：(1)记g(x)ln x1(x1)，则当x1时，g(x)0.又g(1)0，故g(x)0，即f(x)(x1)(2)记h(x)f(x)，则h(x).令p(x)(x5)3216x，则当1x3时，p(x)3(x5)22160，因此p(x)在(1,3)内单调递减，又p(1)0，则p(x)0，故h(x)0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)0，则h(x)0，故当1x3时，f(x).22.2反 证 法
56、反证法提出问题著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？提示：运用了反证法的思想问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确导入新知1反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法
57、叫做反证法2反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等化解疑难1反证法实质用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：2反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“pq”与“綈q綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q綈p”为真命题来说明命题“pq”为真命题，证明过程不出现矛盾用反证法证明否定性命题例1设函数f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f
58、(x)0无整数根证明假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0(nZ)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，ab为偶数，则an2bnc为奇数，即n(anb)为奇数n，anb均为奇数，又ab为偶数，ana为奇数，即a(n1)为奇数，n1为奇数，这与n为奇数矛盾f(x)0无整数根类题通法1用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明2反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程这个过程包括下面三个步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反
59、面为真；(2)归谬由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立即反证法的证明过程可以概括为：反设归谬存真活学活用设a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.证明：假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾故假设不成立，所以a2b2c2d2abcd1.用反证法证明唯一性命题例2已知：一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直证明根据点A和
60、平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何
61、中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有平面的一条垂线类题通法用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面活学活用用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以假设错误，原命题成立.
62、用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题例3已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.类题通法常见“结论词”与“反设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1)个至少有(n1)个原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词
63、都是一定是p或qp且q反设词不都是不一定是p且qp或q活学活用已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数求证：函数yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明：假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.因为函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0矛盾，假设不成立，故原命题正确典例(12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点用反证法证明：直线ME与B
64、N是两条异面直线解题流程假设ME与BN共面由AB平面DCEF得BMEN由BMEF得ENEF得出矛盾，问题得证规范解答假设ME与BN共面，则AB平面MBEN，名师批注活学活用设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220，证明l1与l2相交证明：假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分别为两直线的斜率，则有k1k2，代入k1k220，消去k1，得k20，k2无实数解，这与已知k2为实数矛盾，所以k1k2，即l1与l2相交随堂即时演练1应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设；已知条件；定义
65、、公理、定理等；原结论ABC D解析：选C除原结论不能作为推理条件外其余均可2用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除 Da，b有1个不能被5整除解析：选B用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确3下列命题适合用反证法证明的是_已知函数f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负实数根；若x，yR，x0，y0，且xy2，求证：和中至少有一个小于2；关于x的方程axb(a0)的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交解析
66、：是“否定”型命题；是“至少”型命题；是“唯一”型命题，且题中条件较少；中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明答案：4已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析：空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或相交答案：b与c平行或相交5若下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围解：若三个方程均无实根，则a1.设A，则RA，故所求实数a的取值范围是.课时达标检测一、选择题1用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大
67、于60”时，假设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至少有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”2用反证法证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”3用反证法证明命题“如果ab，那么”时
68、，假设的内容应是()A.成立 B.成立C.或成立 D.且成立解析：选C“大于”的否定为“小于或等于”4(1)已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2，(2)已知a，bR，|a|b|1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1，以下结论正确的是()A(1)与(2)的假设都错误B(1)与(2)的假设都正确C(1)的假设正确；(2)的假设错误D(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：选D(1)的假设应为pq2；(2)的假设正确5已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数)，且ab，
69、那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A0个 B1个C2个 D无穷多个解析：选A假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，不存在n使anbn.二、填空题6ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APBAPC，求证：BAPCAP，用反证法证明时的假设为_解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAPCAP的对立面是BAPCAP或BAPCAP.答案：BAPCAP或BAPCAP7用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设
70、ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为.答案：8完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则_均为奇数因7个奇数之和为奇数，故有(a11)(a22)(a77)为_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.与矛盾，故p为偶数解析：由假设p为奇数可知(a11)，(a22)，(a77)均为奇数，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0为奇数，这与0为偶数矛盾答案：a11，
71、a22，a77奇数0三、解答题9设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面，点A1，A2，B1，B2都在平面内，于是A1A2，B1B2，即a，b，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误因此A1B1与A2B2也是异面直线10已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根证明：假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根推理与证明一、选择题(本大
72、题共10小题，每小题5分，共50分)1观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2解析：选A观察分子中26537110(2)8.2下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数ABC D解析：选B按三段论的模式，排列顺序正确的是.3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心 D各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体
73、的面正三角形的中心4已知a(0，)，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()A2n Bn2C22(n1) Dnn解析：选D将四个答案分别用n1,2,3检验即可，故选D.5下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(x)yf(xy)”的是()A指数函数B对数函数C一次函数 D余弦函数解析：选A当函数f(x)ax(a0，a1)时，对任意的x0，y0，有f(x)y(ax)yaxyf(xy)，即指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(x)yf(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求6用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的
74、根数为()A6n2B8n2C6n2 D8n2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.7将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：()abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc.则正确的结论有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，错误；由abac(a0)得a(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误8观察下列事实：|x
75、|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80C86 D92解析：选B通过观察可以发现|x|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|y|n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为80.9观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199解析：选C记anbnf(n)，则f(3
76、)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.10数列an满足a1，an11，则a2 013等于()A. B.1C2 D3解析：选Ca1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 013a33670a32.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11已知
77、圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为_解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1类似的性质为：过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为1.答案：经过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为112已知 2 ， 3 ， 4 ，若 6 (a，b均为实数)，请推测a_，b_.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测中
78、：a6，b62135，即a6，b35.答案：63513若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数(小前提)，所以(sin Asin Bsin C)sin(结论)，即sin Asin Bsin C3sin.因此，sin Asin Bsin C的最大值是.答案：14观察下图：12343 4 5674 5 678910则第_行的各数之和等于2 0132.解析：观察
79、知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n1项的等差数列，其各项和为Sn(2n1)n(2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2，令(2n1)22 0132，得2n12 013，解得n1 007.答案：1 007三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)15(本小题满分12分)(本小题满分12分)观察sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin
80、cos(30)sin(302)sin(30)1sin(230)cos 60cos 2sin 60sin 2cos 2sin(230)sin(230)sin(230)sin(230)，即sin2cos2(30)sin cos(30).16(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，成等差数列(1)比较与的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角解：(1).证明如下：要证，只需证.a，b，c0，只需证b2ac.，成等差数列，2，b2ac.又a，b，c均不相等，b2ac.故所得大小关系正确(2)证明：法一：假设角B是钝角，则co
81、s B0.由余弦定理得，cos B0，这与cos B0矛盾，故假设不成立所以角B不可能是钝角法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即ba，bc，所以0，0，则，这与矛盾，故假设不成立所以角B不可能是钝角17(本小题满分12分)(本小题满分12分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义(2)若an是等积数列，且首项a12，公积为6，试写出an的通项公式及前n项和公式解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积(2)由于an是等积数列，且首项a12，
82、公积为6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此an的通项公式为an其前n项和公式Sn18(本小题满分14分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1a11.Sn为数列bn的前n项和，且满足1(n2)(1)证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；(2)上面数表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当a81时，求上表中第k(k3)行所有项的和解：(1)由已知，当n2时，1，又Snb1b2bn，所以1，即1，所以，又S1b1a11.所以数列是首项为1，公差为的等差数列由上可知1(n1)，即Sn.所以当n2时，bnSnSn1.因此bn(2)设数表中从第三行起，每行的公比都为q，且q0.因为121278，所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故a81在表中第13行第三列，因此a81b13q2.又b13，所以q2.记表中第k(k3)行所有项的和为S，则S(12k)(k3)
