1、4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式【考试要求】1.理解同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan .2.掌握诱导公式，并会简单应用【知识梳理】1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀奇变偶不变，符号看象限【常用结论】同角三角函数的基本关系式的常见变形sin21cos2(1cos )(1cos )；cos21sin2(1sin )(1sin )；(
2、sin cos )212sin cos .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()(4)若sin，则cos .()【教材题改编】1已知是第二象限角，sin ，则cos 的值为 答案解析sin ，是第二象限角，cos .2已知5，那么tan 的值为 答案解析由5，知cos 0，等式左边分子、分母同时除以cos ，可得5，解得tan .3化简sin()cos(2)的结果为 答案sin2解析原式(sin )cos sin2.题型一同角三角函数基本关系例1(1)已
3、知cos ，则13sin 5tan .答案0解析cos 0，cos 0，所以sin cos ，联立解得所以tan .【教师备选】1(2022平顶山联考)已知5，则cos2sin 2等于()A. BC3 D3答案A解析由5，得5，可得tan 2，则cos2sin 2cos2sin cos .2若(0，)，sin()cos ，则sin cos 的值为()A. BC. D答案C解析由诱导公式得sin()cos sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ，则2sin cos 0，所以cos 0，因为(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .思维升华(1)应
4、用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(2)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.跟踪训练1(1)(2021新高考全国)若tan 2，则等于()A B C. D.答案C解析方法一因为tan 2，所以角的终边在第二或第四象限，所以或所以sin (sin cos )sin2sin cos .方法二(弦化切法)因为tan 2，所以sin (sin cos ).(2)已知是三角形的内角，且tan ，则sin cos 的值为 答案解析由tan
5、 ，得sin cos ，将其代入sin2cos21，得cos21，所以cos2，易知cos 0且a1)的图象过定点P，且角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于()A. BC. D答案B解析易知函数f(x)ax22(a0且a1)的图象过定点P(2,3)，故tan ，则.2若sin x3sin，则cos xcos等于()A. BC. D答案A解析易知sin x3sin3cos x，所以tan x3，所以cos xcossin xcos x.思维升华(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数任意
6、正角的三角函数02内的角的三角函数锐角三角函数跟踪训练2(1)已知cos(75)，求cos(105)sin(15) .答案0解析因为(105)(75)180，(15)(75)90，所以cos(105)cos180(75)cos(75)，sin(15)sin90(75)cos(75).所以cos(105)sin(15)0.(2)(2022盐城南阳中学月考)设tan(5)2，则 .答案3解析由已知tan(5)tan 2，3.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3已知f().(1)化简f()；(2)若，求f()的值；(3)若cos，求f()的值解(1)f()cos .(2)若，则f()
7、coscos.(3)由cos，可得sin ，因为，所以cos ，所以f()cos .【备选】设f()(12sin 0)(1)化简f()；(2)若，求f()的值解(1)f().(2)当时，f()f.思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形(2)注意角的范围对三角函数符号的影响跟踪训练3(1)(2022聊城模拟)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A. B. C. D.答案C解析由已知得消去sin ，得tan 3，sin 3cos ，代入sin2cos21，化简得sin2，则s
8、in (为锐角)(2)已知x0，sin(x)cos x，则 .答案解析由已知，得sin xcos x，两边平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x，由x0知，sin x0，又sin xcos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.课时精练1cos等于()A BC. D.答案C解析coscoscoscos.2若cos 165a，则tan 195等于()A. B.C D答案C解析若cos 165a，则cos 15cos(180165)cos 165a，sin 15，所以tan 195tan(1
9、8015)tan 15.3若cos，则sin等于()A BC. D.答案D解析因为，所以，所以sincos.4(2022天津西青区模拟)已知sin cos ，则tan 等于()A2 B. C2 D答案A解析由已知得12sin cos 2，sin cos ，tan 2.5在ABC中，下列结论不正确的是()Asin(AB)sin CBsincosCtan(AB)tan CDcos(AB)cos C答案D解析在ABC中，有ABC，则sin(AB)sin(C)sin C，A正确sinsincos，B正确tan(AB)tan(C)tan C，C正确cos(AB)cos(C)cos C，D错误6已知(0，
10、)，且sin cos ，给出下列结论：；sin cos ；cos ；cos sin .其中所有正确结论的序号是()A BC D答案A解析sin cos ，等式两边平方得(sin cos )212sin cos ，解得sin cos ，故正确；(0，)，sin cos 0，cos 0，故正确，错误；cos sin 0，且(cos sin )212sin cos 12，解得cos sin ，故正确7cos 1cos 2cos 3cos 177cos 178cos 179 .答案0解析因为cos(180)cos ，于是得cos 1cos 2cos 3cos 89cos 90cos 91cos 177
11、cos 178cos 179cos 1cos 2cos 3cos 89cos 90cos 89cos 3cos 2cos 1cos 900.8设f()，则f .答案解析f()，又coscoscos，f.9(1)已知cos 是方程3x2x20的根，且是第三象限角，求的值解方程3x2x20的根为x11，x2，由题知cos ，sin ，tan .原式tan2.(2)已知sin xcos x(0x)，求cos x2sin x的值解sin xcos x(0x)，cos x0，即sin xcos x0，把sin xcos x，两边平方得12sin xcos x，即2sin xcos x，(sin xcos
12、 x)212sin xcos x，即sin xcos x，联立解得sin x，cos x，cos x2sin x.10(2022衡水模拟)已知角的终边经过点P(3m，6m)(m0)(1)求的值；(2)若是第二象限角，求sin2sin()cos cos的值解(1)m0，cos 0，即.又角的终边经过点P(3m，6m)(m0)，tan 2，故.(2)是第二象限角，m0且a1)的图象过定点Q，且角的终边也过点Q，则3sin22sin cos .答案解析由题意可知点Q(4,2)，所以tan ，所以3sin22sin cos .15已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递增，若af，bf，cf，则()Aabc BcabCbac Dcba答案B解析根据题意，sin sinsin， coscoscos，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则afff，bfff，又由，则有0cossin1ab.16已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根分别是sin 和cos ，(0,2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值解(1)原式sin cos .由已知得sin cos ，所以.(2)由已知得sin cos ，因为12sin cos (sin cos )2，所以1m2，解得m.(3)联立解得或因为(0,2)，所以或.
