1、第52讲 直线与圆、圆与圆的位置关系【学习目标】能利用直线与圆、圆与圆位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关综合问题.【基础检测】1.直线 yx2 被圆 M：x2y24x4y10所截得的弦长为.【解析】M：x2y24x4y10(x2)2(y2)29，圆心到直线 yx2 距离为 22 2，所以弦长为 2 922 7.2 72.M(x0，y0)为圆 x2y2a2(a0)内异于圆心的一点，则直线 xx0yy0a2 与该圆的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.相切或相离A【解析】点 M 在圆内，故 x20y20a.故直线与圆相离.3.若直线 axby2
2、0(a0，b0)被圆 x2y24x4y10 所截得的弦长为 6，则2a3b的最小值为()A.10 B.42 6C.52 6D.4 6【解析】若直线 axby20(a0，b0)被圆 x2y24x4y10 的标准方程为(x2)2(y2)29 所截弦长为 6，即为直径，所以2a2b20，ab1，则2a3b2a3b(ab)22ba 3ab 352 6，选C.C4.圆 x2y22x6y90 与圆 x2y26x2y10 的位置关系是()A.相离B.相外切C.相交D.相内切【解析】记第一个圆为 C1：(x1)2(y3)21，记第二个圆为 C2：(x3)2(y1)29，故圆心距C1C2 42222 5，R1R
3、2 2，R1R24，所以C1C2 R1R2.A5.已 知 圆 C：x3 2 y4 2 1 和 两 点Am，0，Bm，0m0，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4【解析】若圆 C 上存在点 P，使得APB90，即存在点 P 在圆 O：x2y2m2 上，即圆 C：x3 2y4 21 与圆 O：x2y2m2 有公共点，则m15m1，解得 4m6，即 m 的最大值为 6.B【知识要点】1直线和圆的位置关系有三种：(1)直线与圆 公共点；(2)直线与圆公共点；(3)直线与圆公共点相交、相切、相离相交两个相切一个相离无2直线 l：AxByC0 与圆(
4、xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断方法有：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线 AxByC0 的距离 d_，则d_r直线与圆相交；d_r直线与圆相切；d_r直线与圆相离|aAbBC|A2B2(2)代数方法：由AxByC0，（xa）2（yb）2r2.消元，得到的一元二次方程的判别式为，则_0直线与圆相交；_0直线与圆相切；_0直线与圆相离3圆与圆的位置关系有 _.0)与(xa2)2(yb2)2r22(r20)的圆心距为 d，则dr1r2两圆；dr1r2两圆_；|r1r2|dr1r2两圆；d|r1r2|(r1r2)两圆_；0d2，故点 O2 在圆 O1 的外部，可分为如下两种情形求解：
5、若两圆外切，得圆 O2 的半径2 22，故圆 O2 的方程为：(x2)2(y1)2128 2；若圆 O1 内切圆 O2，得圆 O2 的半径2 22，故圆 O2 的方程为：(x2)2(y1)2128 2.(2)设 AB 交 O1O2 于点 C，则 RtAO1C 中，|AC|2，|AO1|2，则|O1C|2，故 RtAO2C 中，|O2C|2，|AO2|2，故圆 O2 的方程为：(x2)2(y1)24.【点评】学习两圆的位置关系时应先重点掌握外切与内切，其他三种情形可以类比学习，处理圆的各种问题时一般优先使用数形结合的方法.三、圆的综合问题例 3 圆 C 的半径为 3，圆心在直线 2xy0 上且在
6、 x 轴下方，x 轴被圆 C 截得的弦长为 2 5.(1)求圆 C 的方程；(2)是否存在斜率为 1 的直线 l，使得以 l 被圆 C截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)设 Cx0，y0，则 2x0y00y0111 22.2.圆 O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y24y0的位置关系是()A.相离 B.相交C.外切 D.内切【解析】圆的方程分别化为 O1：(x1)2y21，O2：x2(y2)24，则 O1(1，0)，O2(0，2)，|O1O2|（10）2（02）2 5，而 r1r2123，r2r1211，r2r1|O1O2|r1r2，两
7、圆相交.B3.直线 x 3y20 与圆 x2y24 相交于 A，B两点，则弦 AB 的长度等于()A.2 5B.2 3C.3D.1【解析】圆心到直线 x 3y20 的距离 d|0 302|12（3）2 1，半 径 r 2，弦 长|AB|2 r2d22 22122 3.B4.圆 x2y24x0 在点 P(1，3)处的切线方程为()A.x 3y20 B.x 3y40C.x 3y40 D.x 3y20【解析】圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2，0)，半径为 2，点 P 在圆上，设切线方程为 y 3k(x1)，即 kxyk 30，|2kk 3|k212，解得 k 33.切线方程为 y 3 33
8、(x1)，即 x3y20.D5.若曲线 C1：x2y22x0 与曲线 C2：y(ymxm)0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是()A.33，33B.33，0 0，33C.33，33D.，33 33，B【解析】C1：(x1)2y21，C2：y0 或 ymxmm(x1).当 m0 时，C2：y0，此时C1 与 C2 显然只有两个交点；当m0 时，要满足题意，需圆(x1)2y21 与直线 ym(x1)有两交点，当圆与直线相切时，m 33，即直线处于两切线之间时满足题意，则 33 m0 或 0m 33.综上知 33 m0 或0m0，b1.圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24.(x2)2
9、(y1)248.若直线 ykx1 与圆 x2y21 相交于 P、Q 两点，且POQ120(其中 O 为原点)，则 k 的值为_.【解析】在POQ 中，因为POQ120，故圆心(0，0)到直线 kxy10 的距离为12，即1k2112，解得 k 3.39.已知点 M(3，1)，直线 axy40 及圆(x1)2(y2)24.(1)求过 M 点的圆的切线方程；(2)若直线 axy40 与圆相切，求 a 的值；(3)若直线 axy40 与圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，求 a 的值.【解析】(1)由题意可知 M 在圆(x1)2(y2)24 外，故当 x3 时满足与圆相切.当斜率存在
10、时设为 y1k(x3)，即 kxy3k10.由|k213k|k212，得 k34，所求的切线方程为 x3 或 3x4y50.(2)由 axy40 与圆相切知|a24|1a2 2，a0 或 a43.(3)圆心到直线的距离 d|a2|1a2，又|AB|2 3，r2，由 r2d2|AB|22，可得 a34.10.已知圆 C 过点 P(1，1)，且与圆 M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线 xy20 对称.(1)求圆 C 的方程；(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求PQ MQ 的最小值；(3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B 两点，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互
11、补，O 为坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由.【解析】(1)设圆心 C(a，b)，则a22 b22 20，b2a21，解得a0，b0.设圆 C 的方程为 x2y2r2，将点 P 坐标代入得r22.故圆 C 的方程为 x2y22.(2)设 Q(x，y)，则 x2y22，且PQ MQ(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.所以PQ MQ 的最小值为4(可由线性规划或三角代换求得).(3)由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设 PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)，由y1k（x1），x2y22，得(1k2)x22k(1k)x(1k
12、)220，因为点 P 的横坐标 x1 一定是该方程的解，故可得 xAk22k11k2，同理，xBk22k11k2，所以 kAByByAxBxAk（xB1）k（xA1）xBxA 2kk（xBxA）xBxA1kOP，所以直线 AB 和 OP 一定平行.11.已知点 P(2，2)，圆 C：x2y28y0，过点 P的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为M，O 为坐标原点.(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积.【解析】(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4.设 M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x，2y).由题设知CM MP 0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上.又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为13，故 l 的方程为 y13x83.又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为4 105，|PM|4 105，所以POM 的面积为165.