1、2015-2016学年湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i为虚数单位，则复平面内复数z=i+i2的共轭复数的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P33函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图
2、所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A2个B1个C3个D4个4由直线x=，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）ABCD15一个物体的运动方程为s=1t+t2其中s的单位是米，t是单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒6某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481，720的人数为（）A11B12C13D147已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A =0.4x+
3、2.3B =2x2.4C =2x+9.5D =0.3x+4.48先后掷骰子两次，都落在水平桌面上，记正面朝上的点数分别为x，y设事件A：x+y为偶数； 事件B：x，y至少有一个为偶数且xy则P（B|A）=（）ABCD9已知三个正态分布密度函数（xR，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A12=3，1=23B12=3，1=23C1=23，12=3D12=3，1=2310育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A80种B90种C120种D150种11从重量分别为1，2，3，4，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总
4、重量恰为10克的方法总数为m，下列各式的展开式中x10的系数为m的选项是（）A（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x11）B（1+x）（1+2x）（1+3x）（1+11x）C（1+x）（1+2x2）（1+3x3）（1+11x11）D（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x11）12已知函数g（x）满足g（x）=g（1）ex1g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m1g（x0）成立，则m的取值范围为（）A（，2B（，3C1，+）D0，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13
5、用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步假设n=2k1（kN+）命题为真时，进而需证n=时，命题亦真14（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为15记集合A=（x，y）|x2+y216和集合B=（x，y）|x+y40，x0，y0表示的平面区域分别为1，2，若在区域1内任取一点M（x，y），则点M落在区域2的概率为16已知曲线C的极坐标方程是=cos（+）以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤17某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（）求出该班学生英语成绩的众数，平均数及中位数；（）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在50，60）的记1绩点分，在60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为，求的分布列18某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，如表是在某单位得到的数据（人数）：（1）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？赞同反对合计男
7、5611女11314合计16925（2）从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈 述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（3）若以这25人的样本数据来估计整个地区的总体数据，现从该地区（人数很多）任选5人，记赞同“男女延迟退休”的人数为X，求X的数学期望附：p（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=19已知函数f（x）=lnax（a0）（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1+ln（e为自然对数的底数）20在直角坐标系xOy中，曲线C1
8、的参数方程为（其中为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4sin（）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求AOB的面积21已知函数f（x）=|xa|（1）若f（x）m的解集为x|1x5，求实数a，m的值（2）当a=2且0t2时，解关于x的不等式f（x）+tf（x+2）22已知函数f（x）=2ax+1+lnx（）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；（）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1ax1
9、212015-2016学年湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i为虚数单位，则复平面内复数z=i+i2的共轭复数的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据复数的几何意义进行化简即可【解答】解：z=i+i2=1+i，对应的坐标为（1，1），位于第二象限，故选：B2对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率
10、分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故选：D3函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A2个B1个C3个D4个【考点】利用导数研究函数的极值【分析】如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数
11、f（x）只有在点B处取得极小值【解答】解：如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，在点B的左侧f（x）0，右侧f（x）0，且f（xB）=0函数f（x）在点B处取得极小值故选：B4由直线x=，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）ABCD1【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先根据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式【解答】解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积S=2=2（cosx）|=2（1cos）=2，故选：D5一个物体的运动方程为s=1t+t2其中s的单位是米，t是单位是
12、秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【考点】导数的几何意义【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可【解答】解：s=1t+t2，s=1+2t，把t=3代入上式可得s=1+23=5由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选C6某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481，720的人数为（）A11B12C13D14【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人从而得出从编号481720共240人中抽取的人数即可【
13、解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人所以从编号1480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481720共240人中抽取=12人故：B7已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A =0.4x+2.3B =2x2.4C =2x+9.5D =0.3x+4.4【考点】线性回归方程【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程【解答】解：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数=3， =3.5，代入A符合，B不符合，故选：A8先后掷骰子两次，都落在水平桌面上，
14、记正面朝上的点数分别为x，y设事件A：x+y为偶数； 事件B：x，y至少有一个为偶数且xy则P（B|A）=（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】根据题意，利用随机事件的概率公式，分别求出事件A的概率与事件A、B同时发生的概率，再用条件概率公式加以计算，可得P（B|A）的值【解答】解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数共有233=18个基本事件，事件A的概率为P1=而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A、B同时发生的概率为P2=因此，在事件A发生的情况下，B
15、发生的概率为P（B|A）=故选：A9已知三个正态分布密度函数（xR，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A12=3，1=23B12=3，1=23C1=23，12=3D12=3，1=23【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】正态曲线关于x=对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有越小图象越瘦长，得到正确的结果【解答】解：正态曲线关于x=对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，越小图象越瘦长，得到第二个图象的比第三个的要小，故选D10育英
16、学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A80种B90种C120种D150种【考点】排列、组合的实际应用【分析】分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果【解答】解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有=25，再分配，乘以A33，即得总数150，故选：D11从重量分别为1，2，3，4，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为10克的方法总数为m，下列各式的展开式中x10的系数为m的选项是（）A（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x11）B（1
17、+x）（1+2x）（1+3x）（1+11x）C（1+x）（1+2x2）（1+3x3）（1+11x11）D（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x11）【考点】二项式定理的应用【分析】x10是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于10 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x10各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示10克的方法【解答】解：x10是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于10 的那些项的乘积构成，有多
18、少种这样的乘积，就有多少个x10各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示10克的方法故“从重量1，2，3，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个使其总重量恰为9克的方法总数”，就是“（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x10）（1+x11）”的展开式中x10的系数”，故选：A12已知函数g（x）满足g（x）=g（1）ex1g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m1g（x0）成立，则m的取值范围为（）A（，2B（，3C1，+）D0，+）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】分别求出g（0），g（1），求出g（x）的表达
19、式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m1g（x）min=1即可，求出m的范围即可【解答】解：g（x）=g（1）ex1g（0）x+，g（x）=g（1）ex1g（0）+x，g（1）=g（1）g（0）+1，解得：g（0）=1，g（0）=g（1）e1，解得：g（1）=e，g（x）=exx+x2，g（x）=ex1+x，g（x）=ex+10，g（x）在R递增，而g（0）=0，g（x）0在（，0）恒成立，g（x）0在（0，+）恒成立，g（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，g（x）min=g（0）=1，若存在实数x0使得不等式2m1g（x0）成立，只需2m1g
20、（x）min=1即可，解得：m1，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步假设n=2k1（kN+）命题为真时，进而需证n=2k+1时，命题亦真【考点】数学归纳法【分析】首先分析题目求在用数学归纳法验证当n为正奇数时，xn+yn被x+y整除当第二步假设n=2k1时命题为真，进而需验证那一项成立？理论上是验证下一项成立，而题目中n为正奇数，故下一项为2k+1即可得到答案【解答】解：当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除用数学归纳
21、法证明时候，第二步假设n=2k1时命题为真，进而需要验证n=2k+1故答案为：2k+114（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40【考点】二项式系数的性质【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为22C53+23C52=40故答案为4015记集合A=（x，y）|x2+y216和集合B=（x，y）|x+y40，x0，y0表示的平面区域分别为
22、1，2，若在区域1内任取一点M（x，y），则点M落在区域2的概率为【考点】几何概型【分析】由题意和三角形以及圆的面积公式可得区域的面积，由概率公式可得【解答】解：由题意可得A表示圆心为原点半径为4的圆及其内部，由圆的面积公式可得1的面积S=42=16，集合B表示的平面区域为两直角边都为4的直角三角形，由三角形的面积公式可得2的面积S=44=8，点M落在区域2的概率P=，故答案为：16已知曲线C的极坐标方程是=cos（+）以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；
23、参数方程化成普通方程【分析】把曲线C的极坐标方程展开，再利用即可化为直角坐标方程，把直线l的方程化为普通方程，利用弦长公式l=2即可得出【解答】解：由曲线C的极坐标方程=cos（+），化为，即=cossin，2=cossin，x2+y2=xy化为表示圆心为C，半径r=的圆直线l的参数方程是：（t为参数）化为3x+4y+1=0圆心C到直线l的距离d=直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=2=三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：5
24、0，60），60，70），70，80），80，90），90，100（）求出该班学生英语成绩的众数，平均数及中位数；（）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在50，60）的记1绩点分，在60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为，求的分布列【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图【分析】（）由频率分布直方图能求出众数、平均数和中位数（）依题意，成绩在50，60）的学生数为2人，成绩在60，80）的学生数为10人，可取的值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解：（）由频率分布直方图可知：众数为85平均数为：55=81，该班学生英语
25、成绩的平均数为81设中位数为x，由频率分布直方图，得：50，80）内的频率为（）10=0.4，80，90）内的频率为=，中位数x=80+=83（）依题意，成绩在50，60）的学生数为30，成绩在60，80）的学生数为30=10，成绩低于80分的学生总人数为 12，可取的值为2，3，4，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，的分布列为：234P的数学期望E（）=2=18某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，如表是在某单位得到的数据（人数）：（1）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？赞同反对合计男5611女11314合计16925（2）从赞同“男女延迟退休
26、”16人中选出3人进行陈 述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（3）若以这25人的样本数据来估计整个地区的总体数据，现从该地区（人数很多）任选5人，记赞同“男女延迟退休”的人数为X，求X的数学期望附：p（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）求出基本事件的个数，利用古典概型的概率公式求解即可；（3）根据题意，XB（5，），利用公式求出X的数学期望【解答】解：
27、（1）K2=2.9322.706，由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关；（2）记题设事件为A，则所求概率为P（A）=；（3）根据题意，XB（5，），E（X）=5=19已知函数f（x）=lnax（a0）（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1+ln（e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx0，即1lnx=ln，取x=1，2，3，n，累加可得要征的结论【解答】解：（1）由题意可得
28、 f（x）=，当a0时，令f（x）=0，求得x=a，由ax0，求得x0，函数的定义域为（0，+），此时函数在（0，a）上，f（x）0，f（x）是减函数；在（a，+）上，f（x）0，f（x）是增函数，故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值当a0时，由ax0，求得x0，可得函数f（x）的定义域为（，0），此时函数（，a）上，f（x）=0，f（x）是减函数；在（a，0）上，f（x）0，f（x）是增函数，故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值（2）证明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnxf（1）=0，1lnx=ln，取x=1，2，3，n，则 1+ln+ln+ln+ln=
29、ln，故要征得不等式1+ln 成立20在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4sin（）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求AOB的面积【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）消去参数得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（）由C1方程可知曲线是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（0，2）为圆心，半径为2的
30、圆，又|AB|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线AB的距离，则AOB的面积可求【解答】解：（）消去参数得曲线C1的普通方程C1：x2+y22x=0（1）将曲线C2：=4sin化为直角坐标方程得x2+y24y=0（2）由（1）（2）得4y2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为；（）由C1：（x1）2+y2=1知曲线C1是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+（y2）2=4知曲线C2：是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆|AB|AC1|+|C1C2|+|BC2
31、|，当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，直线AB（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2O到直线AB的距离为，又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+，AOB的面积为21已知函数f（x）=|xa|（1）若f（x）m的解集为x|1x5，求实数a，m的值（2）当a=2且0t2时，解关于x的不等式f（x）+tf（x+2）【考点】其他不等式的解法【分析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集【解答】解：（1）f（x）m，|xa|m，即amxa+m，f（x）m的解集为x|1x5，解得a=2，m=3（2）当a=2
32、时，函数f（x）=|x2|，则不等式f（x）+tf（x+2）等价为|x2|+t|x|当x2时，x2+tx，即t2与条件0t2矛盾当0x2时，2x+tx，即0，成立当x0时，2x+tx，即t2恒成立综上不等式的解集为（，22已知函数f（x）=2ax+1+lnx（）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；（）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1ax121【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求得f（x）的导数，由基本不等式可得斜率的最小值，及切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（）求出f（x
33、）的导数，讨论判别式的符号，设出二次方程的两根，运用韦达定理和构造函数，x（0，1），求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证【解答】解：（）a=0，当仅当时，即x=1时，f（x）的最小值为2，斜率k的最小值为2，切点A，切线方程为，即4x2y1=0；（），当1a1时，f（x）单调递增无极值点，不符合题意；当a1或a1时，令f（x）=0，设x22ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数f（x）的极大值点，所以0x1x2，又x1x2=1，x1+x2=2a0，a1，0x11，f（x1）=0，则，=，x1（0，1），令，x（0，1），h（x）=3x+=，x（0，1），当时，h（x）0，当时，h（x）0，h（x）在上单调递增，在上单调递减，h（x）在（0，1）上单调递减h（x）h（1）=1，原题得证2016年7月31日
