1、第26讲图形的平移、对称、旋转与位似第1课时图形的对称重难点1轴对称(折叠)的有关计算与证明一张矩形纸片ABCD，现将它的一个角B折叠(1)若AB6，BC10.如图1，若沿AF折叠，使点B落在AD边上的点E处，则线段FC的长为4；如图2，若沿EC折叠，使点B落在AD边上的点F处，则线段AE的长为；如图3，若沿AC折叠，使点B落在矩形ABCD外的点E处，CE交AD于点F，则线段DF的长为图1图2图3(2)若AB6，BC8.如图4，若沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则线段BE的长为3；图4图5图6如图5，若沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内的点F处，且点E恰为BC的中点，则线段CF的
2、长为；如图6，若沿EF折叠，使点B落在矩形ABCD的顶点D处，点A落在矩形ABCD外的点G处，则折痕EF的长为1图形的轴对称(折叠)变换属于全等变换，在解题时应充分运用其性质解题2折叠中求线段长一般需要构造(找寻)直角三角形，利用勾股定理计算未知线段长【变式训练1】(2022宁夏)如图，将ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A处若1250，则A为105【变式训练2】(2022黔西南)如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是cm.【变式训练3】(2022南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC2，BD2，将菱
3、形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7重难点2利用轴对称求最短路径问题(2022滨州)如图，AOB60，点P是AOB内的定点，且OP，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是(D)A. B. C6 D3【思路点拨】作点P分别关于OA，OB的对称点C，D，连接CD分别交OA，OB于M，N，如图，利用轴对称的性质，得MPMC，NPND，OPODOC，BOPBOD，AOPAOC，所以COD2AOB120，利用两点之间线段最短判断此时PMN周长最小，为CD的长作OHCD于点H，则CHDH，然后利用含30角的直角三角形三边的关系计算CD
4、即可在几何图形中求两(三)条线段之和的最小值，通常根据轴对称的性质和两点之间线段最短，将两(三)条线段的长转化为一条线段的长，然后计算这条线段的长，即两(三)条线段之和的最小值【变式训练4】(2022天津)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于APEP最小值的是(D)AAB B. DE C. BD DAF 【变式训练5】如图，在O中，AB是O的直径，AB8 cm，M是AB上一动点，CMDM的最小值为8_cm考点1轴对称图形与中心对称图形1(2022淄博)下列图形中，不是轴对称图形的是(C),A),B),C),D)2(2022长沙)
5、下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)A B C D3(2022黄石)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(C)A B C D4(2022广州)如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有(C)A1条 B3条 C5条 D无数条5(2022河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C)A B C D考点2与对称有关的作图6(2022枣庄)如图，在44的方格中，ABC的三个顶点都在格点上(1)在图1中，画出一个与ABC成中心对称的格点三角形；(2)在图2中，画出一个与ABC成轴
6、对称且与ABC有公共边的格点三角形；(3)在图3中，画出ABC绕着点C按顺时针方向旋转90后的三角形 图1图2图3考点3图形的折叠7(2022天津)如图，将一个三角形纸ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处折痕为BD，则下列结论一定正确的是(D)AADBD BAEACCEDEBDB DAECBAB8(2022内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知BDC62，则DFE的度数为(D)A31 B28 C62 D569(2022仙桃)如图，正方形ABCD中，AB6，G是BC的中点将ABG沿AG对折至AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是(C
7、)A1 B1.5 C2 D2.510(2022威海)如图，将矩形ABCD(纸片)折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕，已知167.5，275，EF1.求BC的长 解：由题意，得31802145，41802230，BEEK，KFFC.过点K作KMEF，垂足为M.设KMx，则EMx，MFx，xx1，解得x1.EK，KF2.BCBEEFFCEKEFKF3，即BC的长为3.考点4利用轴对称求最短路径11(2022新疆)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MPPN的最小值是(B)A. B1 C. D
8、212(2022泸州)如图，等腰ABC的底边BC20，面积为120，点F在边BC上，且BF3FC，EG是腰AC的垂直平分线若点D在EG上运动，则CDF周长的最小值为1813(2022菏泽)如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当ADE的周长最小时，点E的坐标是(B)A(0，) B(0，) C(0，2) D(0，)14(2022遵义)如图，在菱形ABCD中，ABC120，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B，D重合)，折痕为EF.DG2，BG6，则BE的长为2.815(2022潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，
9、使点B落在AD上，记为B，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在BC上，记为D，折痕为CG，BD2，BEBC.则矩形纸片ABCD的面积为1516(2022眉山)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(4，6)，(1，4)(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；(2)请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；(3)请在y轴上求作一点P，使PB1C的周长最小，并写出点P的坐标解：(1)(2)如图(3)作点B1关于y轴的对称点B2，连接B2C交y轴于点P，点P即为所求点P的坐标为(0，2)第2课时图形的平移、位似
10、与旋转重难点1平移的相关计算(2022株洲)如图，点O为坐标原点，OAB是等腰直角三角形，OAB90，点B的坐标为(0，2)，将该三角形沿x轴向右平移得到RtOAB，此时点B的坐标为(2，2)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4【思路点拨】 如图，由点B的坐标为(0，2)，且平移后点B的坐标为(2，2)，可知沿x轴平移的距离为2，且线段OA与平移后的线段OA的关系是平行且相等，所以线段OA在平移过程中扫过的部分是平行四边形OOA A，故可由等腰直角三角形中边的关系，求得平行四边形的高，进而求得面积解决平移相关的问题，关键要紧扣平移的性质特征：对应线段平行(或共线)且相等；对应点的连线
11、平行且相等；平移前后的图形全等【变式训练1】 如图，将边长为2个单位长度的等边ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到DEF，则四边形ABFD的周长为8个单位长度 重难点2旋转的计算与证明(2022烟台节选)在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA1，PB2，PC3.你能求出APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，求出APB的度数；思路二：将APB绕点B顺时针旋转90，得到CPB，连接PP，求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【思路点拨】 两种思路的出发点相同，
12、都是通过旋转得到全等三角形，从而构建直角三角形使问题得以解决【自主解答】图1解：选择思路一，如图1.将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，BPBP2，PBP90，APPC3.PP2，PPB45.AP2PP21(2)29AP2.APP90.APBAPPPPB 135.图2选择思路二，如图2.将APB绕点B顺时针旋转90，得到CPB，BPBP2，PCPA1，APBBPC，PBP90.PP2，PPB45.PC2PP212(2)29PC2.PPC90.APBBPC PPBPPC 135.图形的旋转变换为全等变换，在解题时应充分运用其性质，抓住以下几点： 找准旋转中的“变”与“不变”； 找准旋转前后
13、的“对应关系”；充分挖掘旋转过程中线段之间的位置和数量关系如：旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数，旋转角为60的旋转考虑有没有等边三角形，旋转角为45的旋转考虑有没有等腰直角三角形【变式训练2】如图，在ABC中，ACB90，B50，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到ABC.若点B恰好落在线段AB上，AC，AB相交于点O，则COA的度数是(B)A50 B60 C70 D80【变式训练3】如图，在RtABC中，ACB90，ABC30，AC2，ABC绕点C顺时针旋转得A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是(
14、A)A. B2 C3 D2重难点3网格作图如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，5)，B(2，1)，C(1，3)(1)若ABC经过平移后得到A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，写出顶点A1，B1的坐标；(2)若ABC和A2B2C2关于原点O成中心对称，写出A2B2C2的各顶点的坐标；(3)若ABC和A3B3C3关于x轴对称，画出A3B3C3，并写出A3B3C3各顶点的坐标；(4)若ABC和A4B4C4关于点(1，1)位似，位似比为12，画出A4B4C4，并写出A4B4C4各顶点的坐标；(5)将ABC绕着点O按顺时针方向旋转90得到A5B5C5，写出A5B5C
15、5的各顶点的坐标，并求出点C旋转的路径长【自主解答】解：(1)如图，A1B1C1为所作点C(1，3)平移后的对应点C1的坐标为(4，0)，ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到A1B1C1.点A1的坐标为(2，2)，点B1的坐标为(3，2)(2)ABC和A2B2C2关于原点O成中心对称，A2(3，5)，B2(2，1)，C2(1，3)(3)如图，A3B3C3为所作，A3(3，5)，B3(2，1)，C3(1，3)(4)如图，A4B4C4为所作，A4(3，7)，B4(1，1)，C4(1，3)(5)如图，A5B5C5为所作，A5(5，3)，B5(1，2)，C5(3，1)OC，点C旋转
16、的路径长为.1平移、对称、旋转与位似作图的一般步骤：(1)确定原图形中的关键点；(2)按要求作出原图形中各关键点的对应点；(3)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.2.点的坐标变化规律：(1)点的坐标对称规律：点A(x，y)点A(x，y)；点A(x，y)点A(x，y)；点A(x，y)点A(x，y)；点A(x，y)点A(kx，ky)或(kx，ky)(2)点的坐标平移规律(上加下减，右加左减)：(3)点的坐标旋转规律(以原点O为旋转中心，旋转角为特殊角)：点A(x，y)点A(y，x)；点A(x，y)点A(y，x)；点A(x，y)点A(x，y)考点1图形的平移1(2022温州)如图，已知一个直角
17、三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，)现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到OCB，则点B的对应点B的坐标是(C)A(1，0) B(，) C(1，) D(1，)2如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC5考点2图形的旋转3如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，RtABC经过变换得到RtODE.若点C的坐标为(0，1)，AC2，则这种变换可以是(A)AABC绕点C顺时针旋转90，再向下平移3个单位长度BABC绕点C顺时针旋转90，再向下平移1个单位长度CABC绕点C逆时针旋转90，再向下平
18、移1个单位长度DABC绕点C逆时针旋转90，再向下平移3个单位长度4(2022海南)如图，在ABC中，AB8，AC6，BAC30，将ABC绕点A逆时针旋转60得到AB1C1，连接BC1，则BC1的长为(C)A6 B8 C10 D125(2022衡阳)如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为906(2022张家界)如图，将ABC绕点A逆时针旋转150，得到ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则B的度数为157(2022北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是OCD经过若干次图形的变换(平移、轴对称、旋转)得到
19、的，写出一种由OCD得到AOB的过程：先向左平移2个单位长度，再绕原点O顺时针旋转908已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延长交DE于F.(1)求证：BCGDCE；(2)将DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形，并说明理由解：(1)证明：四边形ABCD为正方形，BCDC，BCG90.BCGDCE180，BCGDCE90.在BCG和DCE中，BCGDCE(SAS)(2)四边形EBGD是平行四边形理由：DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE，CEAE.CGCE，CGAE.四边形ABCD是正方形，BEDG，ABCD.A
20、BAECDCG，即BEDG.四边形EBGD是平行四边形考点3图形的位似9(2022潍坊)在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(B)A(2m，2n)B(2m，2n)或(2m，2n)C(m，n)D(m，n)或(m，n)10(2022兰州)如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，则考点4网格作图11(2022广西六市)如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)(1)将ABC向下平移5个单位长度后得到A1B1C1，请画出A1B1C1；(2)将ABC绕
21、原点O逆时针旋转90后得到A2B2C2，请画出A2B2C2；(3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状(无须说明理由)解：(1)如图所示，A1B1C1即为所求(2)如图所示，A2B2C2即为所求(3)三角形的形状为等腰直角三角形12(2022山西)如图，在RtABC中，ACB90，A60，AC6，将ABC绕点C逆时针方向旋转得到ABC，此时点A恰好在AB边上，则点B与点B之间的距离为(D)A12 B6 C6 D613(2022荆门)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是ABC的内心，将ABC绕原点逆时针旋转90后，I的对应点I的坐标为(A)A(2，3) B(3，2) C(3，2) D(2，3)14(例2变式)(2022淄博)如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到是三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC的面积为(A)A9 B9 C1825 D1813
