1、1 知识网络宏观掌控2 热点透视专题突破 热点一直线的倾斜角与斜率例 1OAB 的三个顶点是 O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)如果直线 l：ykxb 将三角形 OAB 的面积分成相等的两部分，且 k1.求 k 和 b应满足的关系分析：设 l 和 AB 交于 P，和 x 轴交于 Q 点，求出这两个点的坐标，利用三角形面积之间的关系，化简可得 k 和 b 应满足的关系解析：设 l 和 AB 交于 P，和 x 轴交于 Q 点，则 Qbk，0，由ykxbxy1，有(1k)ykb，yPkb1k，依题意：121bk kb1k 1212，且 0bk1，2(kb)2k(1k)，且 0bk.又 k1，故
2、 k 和 b 应满足的关系为 k1，且1b，且 k2(4b1)k2b20.点评：本题考查求两直线的交点坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，属于基础题.热点二 求直线的方程例 2 一条直线被两条直线 l1：4xy60 和 l2：3x5y60截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线 l 的方程分析：一是设出过原点的直线方程，解出交点，利用中点坐标公式；二是利用点的对称性求解解析：方法一：当直线的斜率存在时，设 l 的方程为 ykx，且 l与 已 知 两 直 线 的 交 点 分 别 为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则y1kx1，y2kx2，4x1y160，3x25y260，由此解得x1 6
3、4k，x2635k.O 是 P1P2 的中点，x1x20，即635k 64k0，解得 k16.当斜率不存在时，直线 l 是 y 轴，它和两已知直线的交点分别是(0，6)和0，65，显然不满足中点是原点的条件，所求的方程为 y16x.方法二：设过原点的直线 l 交已知两直线于 P1、P2，且 O 为 P1P2的中点，P1 与 P2 关于原点对称，若设 P1(x0，y0)，则 P2(x0，y0)4x0y060 3x05y060 得 x06y00.点 P1(x0，y0)，P2(x0，y0)都满足方程 x6y0.过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点，所求直线 l 的方程即为 x6y0.点评：直线方
4、程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式yy0k(xx0)斜截式ykxb不表示垂直于 x 轴的直线两点式yy1y2y1 xx1x2x1不表示垂直于坐标轴的直线截距式xayb1不表示过原点和垂直于坐标轴的直线一般式AxByC0(A2B20)求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线若不做特殊说明，求出的直线方程要化成一般式.热点三平行与垂直的性质和判定例 3已知直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，分别求
5、m 的值，使得：(1)l1 与 l2 相交；(2)l1l2；(3)l1l2.分析：已知两条直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直或相交)的条件列方程求解解析：(1)当 m0 时，l1 与 l2 相交当 m0 时，若 l1 与 l2 相交，则1mm23，解得 m1 且 m3，所以当 l1 与 l2 相交时，m1 且 m3.(2)若 l1l2，则 1(m2)3m0，解得 m12.所以当 m12时，l1l2.(3)由1mm23，得 m1 或 m3.当 m1 时，l1l2.当 m3 时，l1 与 l2 重合所以当 m1 时，l1l2.点评：利用直线的方程判定两条直线
6、的平行与垂直关系是这部分内容常涉及的题型求解时，可以利用斜率之间的关系判定若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可以用如下方法：直线 l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20，(1)当 l1l2 时，可令 A1B2A2B10，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)当 l1l2 时，可利用 A1A2B1B20 直接求参数的值.热点四距离问题例 4 已知正方形中心为点 M(1,0)，一条边所在直线的方程是 x3y50，求其他三边所在直线的方程分析：已知正方形的中心坐标和一条边所在直线的方程，由正方形的性质中心到各边的距离相等，用待定系数法列方程求解解 析：正
7、 方 形 中 心 到 直 线 x 3y 5 0 的 距 离 d|11305|1232 610设与直线 x3y50 平行的直线方程为 x3yC10.由正方形的性质，得|1C1|1232 610，解得 C15(舍去)或 C17.所以与直线 x3y50 相对的边所在的直线方程为 x3y70.设与直线 x3y50 垂直的边所在的直线方程为 3xyC20.由题意，得|1301C2|3212 610，解得 C29 或 C23.所以另两边所在直线的方程为 3xy90 和 3xy30.点评：三种距离：(1)两 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间 的 距 离 公 式|P1P2|x1x22y1y22.(2
8、)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离为 d|Ax0By0C|A2B2.(3)两平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20(C1C2)之间的距离为 d|C1C2|A2B2.注：求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中 x，y 的对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可转化成点到直线的距离求解当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式.热点五直线系方程的问题例 5求通过两条直线 x3y100 和 3xy0 的交点，且距原点为 1 的直线方程解析：方法一：过两条直线交点的直线系方程为 x3y10(3xy)
9、0，即(13)x(3)y100.原点到直线的距离为 1，即|1303010|132321，解得 29，3.代入方程中，得所求直线方程为 x1 或 4x3y50.方法二：由方程组x3y100，3xy0，解得两条直线的交点为A(1,3)当斜率存在时，设所求直线方程为 y3k(x1)，即 kxy3k0.原点到直线的距离为 1，即|k003k|k212 1，|3k|k212，k43.直线方程为 y343(x1)，即 4x3y50.当直线斜率不存在时，直线方程为 x1 也符合题意故所求直线方程为 x1 或 4x3y50.点评：具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体
10、现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有：(1)过已知点 P(x0，y0)的直线系 yy0k(xx0)(k 为参数)(2)斜率为 k 的平行直线系方程 ykxb(b 为参数)(3)与已知直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxBy0(为参数)(4)与已知直线 AxByC0 垂直的直线系方程为 BxAy0(为参数)(5)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程：l1：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数)(但不包含直线 A2xB2yC20)热点六斜率公式结构的应用例 6 若已知函数 f(x)log2(x1)，且 0 x1x2x3，则
11、fx1x1，fx2x2，fx3x3 的大小关系为_分析：该题若用常规解法不容易解决，若仔细分析可发现fx1x1 fx10 x10，由此可想到利用斜率解决解析：作出函数 f(x)log2(x1)的图象，如图所示由图象可知，曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着 x 的增大而减小，由 0 x1x2x3，得fx10 x10 fx20 x20 fx30 x30，即fx1x1 fx2x2 fx3x3.点评：fx1x1 fx2x2 fx3x3【专题突破】1两直线 2x3yk0 和 xky120 的交点在直线 yx上，那么 k 的值是()A4 B3C3 或4 D4 或4解析：由两条直线相交，得 k32.联立2
12、x3yk0，xky120，得xk2362k3，yk242k3，即两直线的交点为k2362k3，k242k3.又该交点在直线 yx 上，所以k242k3k2362k3，解得 k3 或 k4，故选 C.答案：C2直线 l 与直线 y1、直线 x5 分别交于 P，Q 两点，线段 PQ的中点为 M(1，2)，则直线 l 的斜率为()A.43 B.34C43D34解析：直线 l 与直线 y1、直线 x5 分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点为 M(1，2)，根据中点坐标公式，可以推导出 P(3,1)，Q(5，5)，直线 l 的斜率为 515334，故选 D.答案：D 3设 P，Q 分别为直线 3x
13、4y120 与 6x8y60 上任意一点，则|PQ|的最小值为()A3 B4C5 D6解析：直线 3x4y120 与 6x8y60 平行，|PQ|的最小值就是两条平行线之间的距离在直线 3x4y120 上任取一点，如点 A(0,3)，则它到直线 6x8y60 的距离为 d|60836|62823，即这两条平行直线之间的距离为 3，故选 A.答案：A4设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A 5，2 5 B 10，2 5C 10，4 5 D2 5，4 5解析：由动直线 xmy0 知定点 A 的坐标为(0
14、,0)，由动直线 mxym30 知定点 B 的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点 P在以 AB 为直径的圆上运动故当点 P 与点 A 或点 B 重合时，|PA|PB|取得最小值，(|PA|PB|)min|AB|10.当点 P 与点 A 或点 B 不重合时，在 Rt PAB 中，有|PA|2|PB|2|AB|2 10.因 为|PA|2|PB|22|PA|PB|，所以 2(|PA|2|PB|2)(|PA|PB|)2，当且仅当|PA|PB|时取等号，所以|PA|PB|2|PA|2|PB|2 2 102 5，所以10|PA|PB|2 5，所以|PA|PB|的取值范围是 10，2 5答案：B 5求函数 y3x1x2(x0)的值域解析：y3x1x2 3x1x2，可看成点 A(2,1)与函数 y3x 上动点 M(x,3x)连线的斜率，如图由函数 y3x(x0)的图象易知 kAM12.又3x1x2 3xx23xx 3，函数的值域为12，3.
