1、专题测试七平面解析几何(时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若直线2mxy60与直线(m3)xy70平行，则m的值为()A1B1C1或1 D3解析：选B.本题考查两条直线平行的判定因为两条直线平行，所以有2m(1)1(m3)0，解得m1，易知此时这两条直线与y轴的交点不同2与圆x2y26x2y90有相同的圆心且经过点(1，1)的圆的方程是()A(x3)2(y1)28B(x3)2(y1)28C(x3)2(y1)24D(x3)2(y1)24解析：选C.本题考查简单的圆系方程已知圆的标准方程为(x3)2(y1)2
2、1，故待求的圆的方程可设为(x3)2(y1)2r2，又所求的圆过点(1，1)，所以r24，故所求圆的方程为(x3)2(y1)24.3已知一抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其图象上一点P(1，m)到焦点的距离为3，则此抛物线的方程为()Ax28y By8x2Cy24x Dy28x解析：选D.本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程及其求法根据题意设抛物线的方程为y22px(p0)，抛物线上一点P(1，m)到焦点的距离为3，点P到准线的距离为3，13，解得p4，抛物线的方程为y28x.4已知椭圆1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|()A2 B4C8 D.解析：
3、选B.设椭圆的另一个焦点为F2，连接MF2，则|MF1|MF2|10，由题意可知ON为MF1F2的中位线，所以|ON|MF2|4.5若e是椭圆1的离心率，且e，则实数k的取值范围是()A(0,3) B.C(0,3) D(0,2)解析：选C.当k4时，e，即1，解得0k3；当k4时，e，即1，解得k.6已知椭圆1和双曲线x21有公共焦点F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值等于()A3 B2C3 D2解析：选A.易知焦点坐标为(0，2)，由此得m24，故m6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，两式平方相减得4|PF1|PF2|12，所以
4、|PF1|PF2|3.7.已知M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径长的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) BC(2，) D2，)解析：选C.由题意知圆心到抛物线的准线的距离为4，且|FM|4，根据抛物线的定义知|FM|y02，由y024，得y02，故y0的取值范围是(2，)8已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C.依题意设椭圆G的方程为1(ab0)，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，2a12，a
5、6.椭圆的离心率为，解得b29，椭圆G的方程为1.故选C.9已知椭圆1(ab0)的离心率为，若直线ykx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为()A1 BC D解析：选D.因为，即ca，c2a2a2b2，所以b2a2.易知直线与椭圆的一个交点的坐标为(b，kb)，则1，即k21，k2，所以k.10已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1，) D(1,1)解析：选C.由题设条件易知ABF2为等腰三角形，若ABF2是钝角三角形，必有AF2B为钝角，
6、即AF2F145，又易知|AF1|，所以2c，即b22ac，所以c2a22ac，解得e1.11我们把焦点相同，离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对相关曲线，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，若F1PF260，则这一对相关曲线中椭圆的离心率e()A. B.C. D.解析：选A.设|F1P|m，|F2P|n，|F1F2|2c，不妨令mn，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos 60，即4c2m2n2mn，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，由椭圆及双曲线的定义，得mn2a1，mn2a2，所以ma1a2，na1a2，代入化简得，4c23aa，由椭圆和双曲线
7、的离心率互为倒数知1，所以a2，代入整理得，3c44c2aa0，两边同除以a得，3e44e210，解得e2或e21(舍去)，所以椭圆的离心率e.12设抛物线x22py(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线交于点C，则()A.0 B.0C.0 D.0解析：选A.易知点F的坐标为，设直线AB的方程为ykx，与抛物线方程联立得，整理得x22pkxp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2p2.由x22py(p0)可得y，所以y，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，所以kACkBC1，所以ACBC，所以0.二、填空题(本大题共4小题
8、，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上)13已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，线段PQ是经过F1且垂直于x轴的直线被双曲线所截得的弦，若PF2Q90，则双曲线的离心率是_解析：由题意知|PF2|QF2|，PF2Q90，故|PF1|F1F2|，又易知|PF1|，即2c，又b2c2a2，即e22e10，e1或e1(舍去)答案：114已知双曲线C1与抛物线C2：y28x有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M，若双曲线C1的焦距为实轴长的2倍，则|MF|_.解析：易知F(2,0)，设双曲线C1的方程为1(a0，b0)，由题意知c2,2c4a，则a1，b2c2a23，所以双曲线C
9、1的方程为x21，与抛物线C2的方程y28x联立，解得x3或x(舍去)，所以点M的横坐标xM3，结合抛物线的定义可得|MF|xM25.答案：515已知P为双曲线1的右支上一点，M，N分别是圆O1：(x5)2y24和圆O2：(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值为_解析：由题意知点O1，O2分别是双曲线1的左右焦点，由双曲线的定义知|PO1|PO2|6，又圆O1的半径长为2，圆O2的半径长为1，易知|PM|PN|(|PO1|2)(|PO2|1)|PO1|PO2|33.答案：316如图所示，已知椭圆C1：y21，双曲线C2：1(a0，b0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于
10、A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为_解析：由题意知，|OA|，设OA所在的渐近线的方程为ykx(k0)，A(x0，kx0)(x00)，则x0，即A，进而AB的一个三等分点的坐标为，由该点在椭圆C1上，得1，即1，解得k2，即2，于是ca，所以C2的离心率e.答案：三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，坐标原点到直线l：ybx2的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线ykx2(k0)与椭圆相交于C，D两点，是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过点E(1,0)？若存在，求出k的值，若不存在，
11、请说明理由解：(1)依据点到直线的距离公式得，b21，椭圆的离心率e，2，解得a23，所求椭圆的方程是y21.(2)由(1)及题意得，化简得(13k2)x212kx90，易知36k2360，k1或k1.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.易知(x11，y1)，(x21，y2)，又以CD为直径的圆过点E，ECED，0，(x11)(x21)y1y20，又y1kx12，y2kx22，(1k2)x1x2(2k1)(x1x2)50，(1k2)(2k1)50，解得k1，当k时，以CD为直径的圆过点E.18(本小题满分10分)已知抛物线y22px(p0)上的点T(3，t)到焦点F的
12、距离为4.(1)求t，p的值；(2)设抛物线的准线与x轴的交点为M，是否存在过点M的直线l交抛物线于A，B两点(点B在点A的右侧)，使得直线AF与直线OB垂直？若存在，求出AFB的面积，若不存在，请说明理由解：(1)由题意及抛物线的定义得34，则p2，所以抛物线的方程为y24x，又点T在抛物线上，故t243，解得t2.(2)由(1)易得M(1,0)，F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmy1(m0)，将其代入y24x得y24my40，所以，由16m2160得m1或m1.又直线AF与直线OB垂直，所以kAFkOB1，即1，所以1，故y2，又y4my240，解得m，满足0，所以满足条件的直线l的方程为5x3y50.此时|AB|y1y2|.又点F到直线l的距离d，所以AFB的面积S|AB|d.
