1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2讲椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程核心提炼1圆锥曲线的定义、标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后定量”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值典型例题 (1)(2019杭州市高考二模)设倾斜角为的直线l经过抛物线：y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方若m，则cos 的值为()A.B.C. D
2、.(2)椭圆y21上到点C(1，0)的距离最小的点P的坐标为_(3)(2019高考浙江卷)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_【解析】(1)设抛物线y22px(p0)的准线为l：x.如图所示，分别过点A，B作AMl，BNl，垂足分别为M，N.在三角形ABC中，BAC等于直线AB的倾斜角，由m，|AF|m|BF|，|AB|AF|BF|(m1)|BF|，根据抛物线的定义得：|AM|AF|m|BF|，|BN|BF|，所以|AC|AM|MC|m|BF|BF|(m1)|BF|，在直角三角形ABC中，cos cos
3、BAC，故选A.(2)设点P(x，y)，则|PC|2(x1)2y2(x1)2x22x2.因为2x2，所以当x时，|PC|min，此时点P的坐标为或.(3)通解：依题意，设点P(m，n)(n0)，由题意知F(2，0)，所以线段FP的中点M在圆x2y24上，所以4，又点P(m，n)在椭圆1上，所以1，所以4m236m630，所以m或m(舍去)，n，所以kPF.优解：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|OF|2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1.在PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|4，由椭圆的定义知|PF|PF1|6，所以|PF|2，因为M为PF的中点，所以|MF|1.在等腰三角形
4、OMF中，过O作OHMF于点H，所以|OH|，所以kPFtanHFO.【答案】(1)A(2)或(3) (1)圆锥曲线定义的应用已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0
5、) 对点训练1已知F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点在椭圆上，且点(1，0)到直线PF2的距离为，其中点P(1，4)，则椭圆的标准方程为()Ax21 B.y21Cx21 D.y21解析：选D.设F2的坐标为(c，0)(c0)，则kPF2，故直线PF2的方程为y(xc)，即xy0，点(1，0)到直线PF2的距离d，即4，解得c1或c3(舍去)，所以a2b21.又点在椭圆E上， 所以1，由可得所以椭圆的标准方程为y21.故选D.2(2019嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线1(a0，b0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为_，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右
6、焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为_解析：因为右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，所以b2cc，平方得b2c2c2a2，即a2c2，则c2a，则离心率e2，因为双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，所以2a4，则a2，从而b2.答案：24圆锥曲线的几何性质核心提炼1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e ；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e .2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系典型例题 (1)(2019高考浙江卷)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()A.B1C
7、.D2(2)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B. C2 D2【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为xy0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足ab，所以ca，所以双曲线的离心率e.故选C.(2)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以2cb1，bc1，而2a222(当且仅当bc1时取等号)，故选D.【答案】(1)C(2)D圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，
8、c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等注求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到对点训练1(2019绍兴诸暨高考二模)设双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF2F12PF1F260，则此双曲线的离心率等于()A22 B.C.1 D22解析：选C.设双曲线的焦距长为2c，因为点P为双曲线上一点，且PF1F230，PF2F160，所以P在右支上，F2PF190，即PF1PF
9、2，|PF1|2csin 60c，|PF2|2ccos 60c，所以由双曲线的定义可得|PF1|PF2|(1)c2a，所以e1.故选C.2(2019宁波高考模拟)如图，F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1BF1，且AF1O，则C1与C2的离心率之和为()A2 B4C2 D2解析：选A.F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1BF1，且AF1O，可得A，B，代入椭圆方程可得1，可得1，可得e48e240，解得e1.代入双曲线方程可得：1，可得：1，可得：e48e240，解得e1
10、，则C1与C2的离心率之和为2.故选A.直线与圆锥曲线核心提炼1直线与圆锥曲线位置关系与“”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y)得到方程Ax2BxC0.若A0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点若A0，则：当0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)2直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|y1y2|，其中|x1x2|.考向1位置关系的判断典型例题 在直角坐标
11、系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由【解】(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点考向2弦长问题
12、典型例题 已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14C12 D10【解析】抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，所以|AB|DE|444k2848816，当且仅当k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的
13、最小值为16，故选A.【答案】A考向3分点(中点)问题典型例题 已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且经过点P(2，)(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l经过M(0，1)，且与C交于A，B两点，求l的方程【解】(1)依题意知，2c4，则椭圆C的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，2a|PF1|PF2|6，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1.(2)当l的斜率不存在时，l与x轴垂直，则l的方程为x0，A，B为椭圆短轴上的两点，不符合题意当l的斜率存在时，设l的方程为ykx1，由得(9k25)x218kx360.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由得，(x1，y11
14、)(x2，y21)，则x1x2，所以x2，x，所以()2，解得k，故直线l的方程为yx1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解 对点训练1(2018高考浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2 ，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)24
15、4，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案：52(2019温州十五校联合体联考)过点M(0，1)且斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)的两渐近线交于点A，B，且2，则直线l的方程为_；如果双曲线的焦距为2，则b的值为_解析：直线l的方程为yx1，两渐近线的方程为yx.其交点坐标分别为，.由2，得xB2xA.若，得a3b，由a2b210b210得b1，若，得a3b(舍去)答案：yx11专题强化训练1(2018高考浙江卷)双曲线y21的焦点坐标是()A(，0)，(，0)B(2，0)，(2，0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0，2)解析：选B.由题可知双曲线的焦点在x
16、轴上，因为c2a2b2314，所以c2，故焦点坐标为(2，0)，(2，0)故选B.2已知圆M：(x1)2y2，椭圆C：y21，若直线l与椭圆交于A，B两点，与圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有()A2条B3条C4条D6条解析：选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时，P在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由y1，y1，两式相减，整理得：，则kAB，kMP，kMPkAB1，kMPkAB1，解得x0，由b0)和圆x2y2(c)2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为()A(，) B
17、(0，)C(，) D(，)解析：选A.由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则e0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若AOF的面积为4，则a的值为()A2 B3 C4 D5解析：选C.因为e ，所以，设|AF|m，|OA|2m，由面积关系得m2m4，所以m2，由勾股定理，得c2，又，所以a4，故选C.6(2019宁波市诺丁汉大学附中高三期末考试)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若AMB120，则该双曲线的离心率为()A. B. C3 D2解析：选D.依题意
18、，作图如图所示：因为OAFA，AMO60，OMOA，所以AMO为等边三角形，所以OAOMa，在直角三角形OAF中，OFc，所以该双曲线的离心率e2，故选D.7(2019杭州高三模拟)已知双曲线C：1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若PAQ且5，则双曲线C的离心率为()A. B2 C. D3解析：选A.由图知APQ是等边三角形，设PQ中点是H，圆的半径为r，则AHPQ，AHr，PQr，因为5，所以OPr，PHr，即OHrrr，所以tan HOA，即，从而得e，故选A.8.如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C
19、，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.D.解析：选A.由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x1.因为点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，所以 .9(2019温州高考模拟)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|8|OF|(O为坐标原点)，则_解析：由题意，|
20、AF|4p，设|BF|x，由抛物线的定义，可得，解得xp，所以7，故答案为7.答案：710(2019浙江名校协作体高三期末考试)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，(，R)，则双曲线的离心率e的值是_解析：由题意可知，双曲线的渐近线为yx，右焦点为F(c，0)，则点A，B，P的坐标分别为，所以，的坐标为，又，则，即，又，解得，所以ee.答案：11.(2019台州市高考一模)如图，过抛物线y24x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若4，则|_解析：分别过A，B作准线的垂线，垂
21、足分别为A1，B1，则DFp2，由抛物线的定义可知FBBB1，AFAA1，因为4，所以，所以FBBB1.所以FC4FB6，所以cos DFC，所以cos A1AC，解得AF3，所以ABAFBF3.答案：12设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2x轴时，|PF1|PF2|有最大值8；当P为直角时，|PF1|PF2|有最小值2.因为F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范围为(2，8)答案：(2，8)13.(2019浙江新高考冲刺卷)
22、如图，过双曲线1(a，b0)左焦点F1的直线交双曲线左支于A，B两点，C是双曲线右支上一点，且A，C在x轴的异侧，若满足|OA|OF1|OC|，|CF1|2|BF1|，则双曲线的离心率为_解析：取双曲线的右焦点F2，连接CF2，延长交双曲线于D，连接AF2，DF1，由|OA|OF1|OC|OF2|c，可得四边形F1AF2C为矩形，设|CF1|2|BF1|2m，由对称性可得|DF2|m，|AF1|，即有|CF2|，由双曲线的定义可得2a|CF1|CF2|2m，在直角三角形DCF1中，|DC|m，|CF1|2m，|DF1|2am，可得(2am)2(2m)2(m)2，由可得3m4a，即m，代入可得，
23、2a，化简可得c2a2，即有e.故答案为.答案：14椭圆1(ab0)的右焦点F(c，0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_解析：设椭圆的另一个焦点为F1(c，0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线yx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ，又O为线段F1F的中点，所以F1QOM，所以F1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由椭圆的定义得|QF|QF1|2a，整理得bc，所以ac，故e.答案：15.(2019温州模拟)已知直线l：yx3与椭圆C：mx2ny21(
24、nm0)有且只有一个公共点P(2，1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：yxb交C于A，B两点，且PAPB，求b的值解：(1)联立直线l：yx3与椭圆C：mx2ny21(nm0)，可得(mn)x26nx9n10，由题意可得36n24(mn)(9n1)0，即为9mnmn，又P在椭圆上，可得4mn1，解方程可得m，n，即有椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线ybx和椭圆方程，可得3x24bx2b260，判别式16b212(2b26)0，x1x2，x1x2，y1y22b(x1x2)，y1y2(bx1)(bx2)b2b(x1x2)x1x2，由PAPB，即为(x12
25、)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4y1y2(y1y2)1250，解得b3或，代入判别式，则b成立故b为.16.(2019浙江金华十校高考模拟)已知椭圆M：1(ab0)的右焦点F的坐标为(1，0)，P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PFQF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，|PF|.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若SABOSBCF35，求直线PQ的方程解：(1)当Q运动到椭圆的右顶点时，PFx轴，所以|PF|，又c1，a2b2c2，所以a，b1.椭圆M的标准方程为y21.(2)设直线PQ的方程
26、为ykxb，显然k0，联立椭圆方程得：(2k21)x24kbx2(b21)0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得：由0(x11)(x21)y1y20得：3b214kb0，点C，所以线段PQ的中垂线AB方程为：y，令y0可得：A；令x0可得B，则A为BC中点，故22，由式得：k，则xA，2，得b23.所以b，k或b，k.经检验，满足条件，故直线PQ的方程为：yx，yx.17.(2019绍兴市高三教学质量调测)已知点A(2，0)，B(0，1)在椭圆C：1(ab0)上(1)求椭圆C的方程；(2)P是线段AB上的点，直线yxm(m0)交椭圆C于M，N两点若MNP是斜边长为的直角三
27、角形，求直线MN的方程解：(1)因为点A(2，0)，B(0，1)在椭圆C：1上，所以a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x2mxm210，则2m20，x1x22m，x1x22m22，|MN|x1x2|.当MN为斜边时， ，解得m0，满足0，此时以MN为直径的圆方程为x2y2.点A(2，0)，B(0，1)分别在圆外和圆内， 即在线段AB上存在点P，此时直线MN的方程yx，满足题意当MN为直角边时，两平行直线AB与MN的距离d|m1|，所以d2|MN|2|m1|2(105m2)10，即21m28m40，解得m或m(舍)，又0，所以m.过点A作直
28、线MN：yx的垂线，可得垂足坐标为，垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，所以直线MN的方程yx，符合题意综上所述，直线MN的方程为yx或yx.18(2019杭州市高考数学二模)设抛物线：y22px(p0)上的点M(x0，4)到焦点F的距离|MF|x0.(1)求抛物线的方程；(2)过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l与抛物线相交于C，D两点，若0，求直线l的方程解：(1)因为|MF|x0x0，所以x02p.即M(2p，4)把M(2p，4)代入抛物线方程得4p216，解得p2.所以抛物线的方程为y24x.(2)易知直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为yk(x1)，联立方程组，消元得：k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2.设AB的中点为P，所以|AB|x1x2p.所以直线l的方程为y，即xky3.联立方程组，消元得：y24ky40.设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y3y44k，y3y44.所以x3x4，所以CD的中点Q.所以|CD|，|PQ|，因为0，所以ACAD.所以|AQ|CD|.因为ABCD，所以|AP|2|PQ|2|AQ|2，即|AB|2|PQ|2|CD|2，所以，解得k1，所以直线l的方程为xy10或xy10.- 21 - 版权所有高考资源网
