1、第3讲函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013温州二模)若函数f(x)是奇函数，则a的值为_解析由f(1)f(1)，得，(1a)2(1a)2解得a0.答案02(2014温岭中学模拟)f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log2(1x)，则f(3)_.解析f(3)f(3)log242.答案23(2013重庆卷改编)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)_.解析f(x)ax3bsin x4，f(x)a(x)3bsin(x)4，即f(x)ax3bsin x4，得f(x)f(x)8，又lg(log210)
2、lglg(lg 2)1lg(lg 2)，f(lg(log210)f(lg(lg 2)5，又由式知f(lg(lg 2)f(lg(lg 2)8，5f(lg(lg 2)8，f(lg(lg 2)3.答案34函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为_解析f(x)的图象如图当x(1,0)时，由xf(x)0，得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0，得x；当x(1,3)时，由xf(x)0，得x(1,3)x(1,0)(1,3)答案(1,0)(1,3)5(2014武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax
3、2(a0且a1)，若g(2)a，则f(2)_.解析依题意知f(x)g(x)g(x)f(x)axax2，联立f(x)g(x)axax2，解得g(x)2，f(x)axax，故a2，f(2)22224.答案6(2013青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)对任意xR成立，当x(1,0)时f(x)2x，则f_.解析因为f(x2)f(x)，故fff1.答案17设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时
4、，f(x)是减函数解得1m.答案8(2013临沂模拟)下列函数yx3；y|x|1；yx21；y2x中既是偶函数，又在区间(0，)上单调递增的函数是_解析因为是奇函数，所以不成立在(0，)上单调递减，不成立，为非奇非偶函数，不成立，所以填.答案二、解答题9f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x0时， x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)2x23x1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)10设f(x)是定义域为R的周期函数，且最小正周期为2
5、，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)当x0,1时，x1,0，则f(x)f(x)x；进而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2013昆明模拟)已知偶函数f(x)对xR都有f(x2)f(x)，且当x1,0时f(x)2x，则f(2 013)_.解析由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，所以函数的周期是4，故f(2 013)f(
6、45031)f(1)f(1)21.答案2(2014郑州模拟)已知函数f(x1)是偶函数，当1x1x2时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为_解析f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，yf(x)关于x1对称又1x1x2，f(x2)f(x1)(x2x1)0，知yf(x)在1，)是增函数，又ff，且23，f(2)ff(3)，即bac.答案bac3设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函
7、数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确，不正确答案二、解答题4已知函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 014,2 014上根的个数，并证明你的结论解(1)若yf(x)为偶函数，则f(x)f2(x2
8、)f2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，这与f(x)在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数，则f(0)f(0)，f(0)0，这与f(x)在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)由f(4x)f(14x)f(x)f(x10)，从而知函数yf(x)的周期T10.由f(3)f(1)0，得f(11)f(13)f(7)f(9)0.故f(x)在0,10和10,0上均有两个解，从而可知函数yf(x)在0,2 014上有404个解，在2 014,0上有402个解，所以函数yf(x)在2 014,2 014上共有806个解.
