1、广东省六校联盟2020届高三数学下学期第三次联考试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足i(i为虚数单位)的复数z（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】易得zizi，所以(1i)zi，解得z.故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2.已知集合Ay|y，Bx|ylg（x2x2），则R（AB）（ ）A. 0，）B. （，0），+）C. （0，）D. （，0，+）【答案】D【解析】【分析】求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定
2、义写出运算结果.【详解】集合Ay|yy|y00，+）；Bx|ylg（x2x2）x|x2x20x|0x（0，），AB（0，），R（AB）（，0，+）.故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.3.设aR，b0，则3ab是alog3b的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断即可.【详解】aR，b0，则3ab，利用对数函数ylog3x的图象和性质左右两侧同时取对数可得：alog3b
3、；故3ab，能推出alog3b；aR，b0，若alog3b时，利用指数函数y3x的图象和性质左右两侧同时取指数幂可得：3ab；故alog3b能推出alog3b；根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可知C正确.故选：C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，属于基础题目.4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用条件概率的计算公式即可得出【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示吹东风又下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率故选：B【点睛
4、】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键5.设等差数列的前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，若a1+ a8+ a15是定值，则下列各项中为定值的是（ ）A. S15B. S16C. S17D. S18【答案】A【解析】【分析】由题意可得，为定值，可得为定值.【详解】由等差数列的性质可得为定值，再由求和公式可得，故当为定值时，为定值.故选A.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题，注意本题中的选择项也是解题信息.6.设的内角所对的边分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求解即可得到所求结果【详解】由正弦定理得
5、，又，为锐角，故选B【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题7.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】若AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质8.已知向量，若与的夹角为，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先解，再利用整体替换详解：由题意可知：,，则故选D点睛： 向量中的三个基本量，的计算，往往通过整体替换
6、的方式来处理9.函数的图象的大致形状是A. B. C. D. 【答案】A【解析】令x=0可得，则排除C、D；当时，当时，故排除B，本题选择A选项.10.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】由，内切圆半径为，离心率，故选A11.设函数f（x）sin（x+），若f（）f（）f（），则的最小正值是（ ）A. 1B. C. 2D. 6【答案】B【解析】【分析】根据函数值的关系，求出函数的一条对称轴和一个对称中心，结合对称轴和对称中心与周期之间的关系进行求解即可.【详解】由f（）f（）f（），且并且，所以要使最
7、小，即周期最大，且，结合正弦曲线特征，可得的图象满足关于直线成轴对称，关于点（，0）成中心对称对称，且对称轴和对称中心是相邻的，即，即T，又T，得，故选：B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数的图象和性质的综合应用，属于中档题目.12.在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ABBC，AA1AB，堑堵的顶点C1到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n，则的取值范围是（ ）A. （1，）B. （，）C. （，）D. （，）【答案】D【解析】【分析】设ABBC1，AA1a，用表示
8、出，得出关于的函数，根据的范围可求出的范围.【详解】设ABBC1，则ACA1C1，设AA1a，则CC1a，A1C，C1到直线A1C的距离m，B1C1BC，BC平面A1BC，B1C1平面A1BC，B1C1平面A1BC，C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，BCAB，BCBB1，ABBB1B，BC平面ABB1A1，BCA1B，又，n，n.AA1AB，a1，0，.故选：D.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有几何体的特征，利用等积法求点到平面的距离，求式子的取值范围，属于中档题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数（为常数）在处取得极值
9、，则值为_.【答案】1.【解析】【分析】先对函数求导，根据函数在处取得极值应有，即可求解.【详解】因为，所以根据函数在处取得极值应有，即，解得，故答案为1【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，属于中档题.14.若x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则_.【答案】【解析】【分析】由题意可得，再令，可得的值，进而求得结果.【详解】x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，令x1得：a01；令x得：（）2020a0；1；故答案为：1【点睛】该题考查的是有关与二项式定理相关的问题，涉及到的知识点有利用赋值法求系数和，属于基
10、础题目.15.若函数f（x）（c0），其图象的对称中心为（，），现已知f（x），数列an的通项公式为anf（）（nN+），则此数列前2020项的和为_.【答案】【解析】【分析】由已知结论可得的对称中心为，即有，此数列前2020项的和按照正常顺序写一遍，再倒过来写，即运用数列的求和方法：倒序相加求和法，化简即可得到所求和.【详解】函数f（x）（c0），其图象的对称中心为（，），f（x），其图象的对称中心为，即，数列an的通项公式为anf（）（nN+），此数列前2020项的和为：S2020f（）+f（）+f（）+f（1），S2020f（）+f（）+f（）+ f（1），两式相加，得：2S2020f（
11、）+f（）+f（）+f（）+2f（1）022019，故答案为：2019.【点睛】该题考查的是有关函数值求和的问题，涉及到的知识点有函数图象的对称性，倒序相加法求和，属于简单题目.16.已知正方体的棱长为1，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_【答案】【解析】【详解】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上在面上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，则同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时
12、，小圆的圆心为，半径为，所以弧的长为这样的弧也有三条于是，所得的曲线长，故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（1）必考题：共60分.17.已知函数（1）若，求函数的值域；（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，求的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角，由余弦定理可求得边，由正
13、弦定理可求得，利用两角差的余弦公式可得试题解析：（1）由得，即函数的值域为（2）由得，又由，在中，由余弦定理，得，由正弦定理，得，考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理18.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，DAB90ADBC，AD侧面PAB，PAB是等边三角形，DAAB2，BC，E是线段AB的中点.（1）求证：PECD；（2）求PC与平面PDE所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明，再证明，又，推出PE平面ABCD，然后证明PECD；（2）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，推出（2，1，0），（0，0，），（1，1
14、，），设（x，y，z）为平面PDE的一个法向量，由 可以求得（1，2，0），设PC与平面PDE所成的角为，利用，最后得出PC与平面PDE所成角的正弦值为.【详解】（1）AD侧面PAB，PE平面PAB，ADEP.又PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，ABEP.ADABA，PE平面ABCD.CD平面ABCD，PECD.（2）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，1，0），P（0，0，）.（2，1，0），（0，0，），（1，1，）.设（x，y，z）为平面PDE的一个法向量.由 ，令x1，可得（1，2，0）设PC与平面PDE
15、所成的角为，得 所以PC与平面PDE所成角的正弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题目.19.已知O为坐标原点，过点M（1，0）的直线l与抛物线C：y22px（p0）交于A，B两点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作直线ll交抛物线C于两点，记OAB，OPQ的面积分别为S1，S2，证明：为定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线的方程联立消去得关于的方程，利用根于系数的关系表示，从而求得的值；（2）由题意求出弦长以及原点到直线的距离，计算OAB的面积，同理
16、求出OPQ的面积，再求的值.【详解】（1）解：设直线l的方程为：xmy+1，与抛物线C：y22px（p0）联立，消去x得：y22pmy2p0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y22pm，y1y22p；由，得x1x2+y1y2（my1+1）（my2+1）+y1y2（1+m2）y1y2+（y1+y2）m+1（1+m2）（2p）+2pm2+12p+13，解得p2，抛物线C的方程为y24x；（2）证明：由（1）知，点M（1，0）是抛物线C的焦点，所以|AB|x1+x2+pmy1+my2+2+p4m2+4，又原点到直线l的距离为d，所以OAB的面积为S14（m2+1）2，又直线l过点M，且
17、ll，所以OPQ的面积为S222；所以，即为定值.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义与性质的应用问题，直线与抛物线方程的应用问题，属于中档题目.20.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分
18、布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求:(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民若每个农民的年收人相互独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式则；.【答案】(1)17.40千元 (2)(i)千元（ii）978【解析】【分析】（1）取出每一组数据中间值，充当，利用公式进行求解即可（2）根据正态分布特征值，结
19、合附表所给内容，可判断，再计算出对应的值即可（3）由题中位农民中的年收入不少于千元，即，记个农民的年收入不少于千元的人数为，则，再根据二项分布的概率公式，结合“精准扶贫，不落一人”的特点来进行判断即可【详解】解：千元.由题意，.（i）时，满足题意即最低年收入大约为千元（ii）由，得每个农民的年收入不少于千元的事件概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，则，其中，于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率是从而由，得 而，所以，当时， 当时， 由此可知，在所走访的位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的求法，正态分布曲线的特点及其意义，二项分布及其
20、概率的求法，正确理解题意，将文字转化为数学表达式是关键21.已知函数f（x）（1+x）t1的定义域为（1，+），其中实数t满足t0且t1.直线l：yg（x）是f（x）的图象在x0处的切线.（1）求l的方程：yg（x）；（2）若f（x）g（x）恒成立，试确定t的取值范围；（3）若a1，a2（0，1），求证： .注：当为实数时，有求导公式（x）x1.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据函数的解析式求出导函数的解析式，求出切点坐标及切线的斜率（切点的导函数值），可得直线的方程；（2）构造函数，若恒成立，即在上恒成立，即在上的最小值不小于0，分类讨论后可得满足条件的的取值范围
21、；（3）分和两种情况证明结论，并构造函数，先征得是单调减函数，进而得到结论.详解】（1）f（x）（1+x）t1f（x）t（1+x）x1，f（0）t，又f（0）0，l的方程为：ytx；（2）令h（x）f（x）g（x）（1+x）ttx1，h（x）t（1+x）t1tt（1+x）t11当t0时，（1+x）t11单调递减，当x0时，h（x）0当x（1，0），h（x）0，h（x）单调递减；当x（0，+），h（x）0，h（x）单调递增.x0是h（x）的唯一极小值点，h（x）h（0）0，f（x）g（x）恒成立；当0t1时，（1+x）t11单调递减，当x0时，h（x）0当x（1，0），h（x）0，h（x）单调递
22、增；当x（0，+），h（x）0，h（x）单调递减x0是h（x）的唯一极大值点，h（x）h（0）0，不满足f（x）g（x）恒成立；当t1时，（1+x）t11单调递增，当x0时，h（x）0当x（1，0），h（x）0，h（x）单调递减；当x（0，+），h（x）0，h（x）单调递增.x0是h（x）的唯一极小值点，h（x）h（0）0，f（x）g（x）恒成立；综上，t（，0）（1，+）；证明：（3）当a1a2，不等式显然成立；当a1a2时，不妨设a1a2则令，xa1，a2下证（x）是单调减函数：易知a1a2（1，0），1+a1a2（0，1），由（2）知当t1，（1+x）t1+tx，xa1，a2（x）0，（
23、x）在a1，a2上单调递减.（a1）（a2），即.综上，成立.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求曲线在某个点处的切线方程，恒成立求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos.（1）若曲线C1方程中的参数是，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）已知点A（0，1），若曲线C1方程中的参数是t，0，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求的最大值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用公式直
24、接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出，进而得到结果；（2）把曲线参数方程代入曲线直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设交点对应的参数分别是，利用一元二次方程根与系数的关系，求得的表达式，求出最大值.【详解】（1）2cos，曲线C2的直角坐标方程为（x1）2+y21，是曲线C1：的参数，C1的普通方程为x2+（y1）2t2，C1与C2有且只有一个公共点，|t|1或|t|1，C1的普通方程为x2+（y1）2（）2或x2+（y1）2（）2（2）t是曲线C1：的参数，C1是过点A（0，1）的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，把，代入（x1）2+y21得t
25、2+2（sincos）t+10，|t1|+|t2|t1+t2|2|sin（）|2，当时，4（sincos）2440，取最大值2.【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程向直角坐标方程的转化，圆与圆的位置关系，直线参数方程中参数的几何意义，属于简单题目.23.已知函数f（x）|x1|x+a|（aN*），f（x）2恒成立.（1）求a的值；（2）若正数x，y满足.证明：【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由，结合已知可求；（2）由（1）知，从而有，然后利用基本不等式可证.【详解】（1）由f（x）|x1|x+a|x1xa|a+1|，又f（x）2恒成立，|a+1|2，3a1，aN*，a1；（2）由（1）知1，2x+yxy，.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值三角不等式求最值，利用基本不等式证明不等式，属于简单题目.
