1、利用基本不等式的转化求最值【例1】已知x0,y0,且2x8yxy0,求xy的最小值及此时x、y的值8228018282()()10+8210+2=18822821126.12618.xyxyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因为 ,所以 ,所以 当且仅当,即 时,等号成立又,所以,故当,时,的最【小值是解析】本题是一个二元条件最值问题,看似平淡,但思想方法深刻、解法灵活多样,本解法是其中之一对于xy与xy在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式“”将它们联系起来进行放缩,以此来求取值范围是非常有效的2xyxy【变式练习 1】设 x0,y0,x2y221,则 x
2、 1y2的最大值为 3 24 .【解法 1】因为 x0,y0,x2y221所以 x 1y2 x21y22x21y22 2x21y222 2x2y221223 24,当且仅当 x 32,y 22(即 x21y22)时,x 1y2取得最大值3 24.【解法 2】令xcosy 2sin(02)则 x 1y2cos 12sin22cos212sin212122cos212sin2223 24,当 2cos212sin2,即 6时,x 32,y 22 时,x 1y2取得最大值3 24.注意基本不等式的适用条件【例 2】函数 ym21m21的值域为_【解析】ym21m21(m21)1m211211,所以值
3、域为1,)本题是利用基本不等式求最值问题注意”一正、二定、三相等”三个要素缺一不可不正时添负号,不定时配凑,不等时可以拆分或者利用导数求单调性来解决【变式练习 2】(1)求函数 yx 1x1(x1)的值域;(2)求函数 ysin2x 4sin2x的最小值【解析】(1)当 x1 时,y(x1)1x11213,当 x2 时取等号,当 x1 时,y(1x)11x1211,当 x0 时取等号所以函数的值域为(,13,)(2)令 sin2xt,(0t1),则有 yt4t,可求得 y 在(0,2上是减函数,所以 yt4t在 00,y0,且 4xy1.(1)求1x1y的最小值;(2)求 log2xlog2y
4、 的最大值【解析】(1)因为1x1y(1x1y)(4xy)yx4xy 52yx4xy 59,当且仅当yx4xy,即 x16,y13时取等号所以1x1y的最小值为 9.(2)log2xlog2ylog2(xy)log2(144xy)log214(4xy2)2log2 1164,当且仅当 4xy,即 x18,y12时取等号所以 log2xlog2y 的最大值为4.本节内容是不等式的基础知识,主要从三个方面考查:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值,或积的最大值,或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题;二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等);三是将一个实际问题构造成函数模型,利用基本不等式来解决