1、数学试题(必做题)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置1.设复数满足（是虚数单位），则复数的实部为 2.设集合，则实数的值为 3.如图是一个算法流程图，则输出的的值是 4.为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：）如下表：使用寿命只数52344253根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100的灯泡只数是 5.电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该
2、队选中的概率是 6.已知函数（，）的图象如图所示，则的值是 7.设函数（），当且仅当时，取得最大值，则正数的值为 8.在等比数列中，公比，若，称等差数列，则的值是 9.在体积为的四面体中，平面，则长度的所有值为 10.在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数的值为 11.已知是定义在上的偶函数，且对于任意的，满足，若当时，则函数在区间上的零点个数为 12.如图，在同一平面内，点位于两平行直线，的同侧，且到，的距离分别是1,3点分别在，则的最大值是 13.设实数，满足，则的最小值是 14.若,是任意的实数，则的最大值是 二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出
3、文字说明、证明过程或演算步骤。15.在斜三角形中，（1）求的值；（2）若，求的周长16.在正方体中，分别为棱，的中点求证：（1）平面；（2）求证：平面平面17.拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30的围墙现有两种方案：方案 多边形为直角三角形（），如图1所示，其中；方案 多边形为等腰梯形（），如图2所示，其中请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案18.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为为椭圆上异于顶点的一点，点满足（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于，两点，且，直线，的斜率之积为，求实数的值19.已知函数，（为常
4、数）（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若，记，存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围20.正项数列的前项的和为，且，其中（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，令（i）求；（ii）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围江苏省海头高级中学2016届高三第二学期4月摸底考试数学试题(附加题)21.【选作题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答如果多做，按所做的前两题记分A（几何证明选讲）如图，圆是的外接圆，点是劣弧的中点，连接并延长，与以为切点的
5、切线交于点，求证：B.(矩阵与变换)在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换作用下得到点，将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标C（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）与曲线（为参数）相交于，两点，求线段的长D.（不等式选讲）已知正实数，满足，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分22.一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏
6、费的0倍，1倍，倍的奖励（），且游戏费仍退还给参加者记参加者玩1次游戏的收益为元（1）求概率的值；（2）为使收益的数学期望不小于元，求的最小值23.设（），其中（，）当除以4的余数是（）时，数列，的个数记为（1）当时，求的值；（2）求关于的表达式，并化简江苏省海头高级中学2016届高三第二学期4月摸底考试数学试题(必做题)答案一、填空题：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9.， 10. 11. 12. 13. 14.二、解答题15.解：（1），即，因为在斜三角形中，由正弦定理，得，故，所以的周长为17.证明：（1）在正方体中，分别为棱，的中点，又，故，四边形为平行四边形，从而又平面
7、，平面，平面（2）连结，在正方形中，又，分别为棱，的中点，故，在正方体中中，平面，又平面，而，平面，平面，又平面，平面平面17.解：设方案，中多边形苗圃的面积分别为，方案 设，则（当且仅当时，“”成立）方案 设，则，由得（舍去），列表极大值所以当时，建苗圃时用方案，且答：方案，苗圃的最大面积分别为，建苗圃时用方案，且18.解：（1），而，代入椭圆方程，得，又椭圆的离心率为，由，得，故椭圆的方程为（2）设，即于是代入椭圆方程，得，即，在椭圆上，直线，的斜率之积为，即，结合知将代入，得，解得19.解：（1），函数的图象在点处的切线方程为直线与函数的图象相切，由消去得，则，解得或（2）当时，因为（）
8、，所以，当时，所以在上单调递减，则，所以，故满足条件的最大整数（3）不妨设，因为函数在区间上是增函数，所以因为函数图象的对称轴为，且，所以函数在区间上是减函数，所以，所以等价于，即，所以在区间上是增函数，即在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，所以，又，所以20.解：（1）当时，解得，当时，解得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列所以（2）由题意知，即，所以，所以，所以令，所以令，因为且，所以，所以所以，所以，又因为，所以江苏省海头高级中学2016届高三第二学期4月摸底考试数学试题(附加题)答案B （矩阵与变换）解：设，依题意，由，得则，记旋转矩阵，则，即，解得所以点的坐标为C （坐标系与参数方程）解：将直线的参数方程化为普通返程，得，将曲线的参数方程化为普通方程，得（）由，得或所以，从而22.解：（1）事件“”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则（2）依题意，的可能值为，且，结合（1）知，参加游戏者的收益的数学期望为（元），为使收益的数学期望不小于0元，所以，即答：的最小值为11023.解：（1）当时，数列，中有1个1或5个1，其余为0，所以（2）依题意，数列，中有3个1，或7个1，或11个1，或个1，其余为0，所以，同理，得因为（），所以又，所以
