1、课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1函数ycosx的导数是(B)AysinxBysinxCycosxDycosx解析：函数ycosx，y(cosx)sinx.2设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a(D)A0B1C2D3解析：对函数求导得ya，因为点(0,0)在曲线上，且切线方程为y2x，所以a12，所以a3.3如果曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线yx，那么点P的坐标为(A)A(1,0)B(0，1)C(0,1)D(1,0)解析：设点P(a，b)，则ba4a，由题得y4x31.因为曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线yx，所以4a313，所以a1.所以b
2、1410，所以点P的坐标为(1,0)4(2020焦作模拟)已知f(x)xlnx，则f(1)(B)A1BC2De解析：f(x)1lnx，令x1，得f(1)1f(1)，解得f(1).5(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)为奇函数，则f(x)在x2处的切线斜率等于(B)A6B2C6D8解析：设x0，则x0，f(x)x22x，又f(x)为奇函数，则f(x)f(x)x22x，f(x)2x2，则f(2)2.故选B.6(2020兰州诊断)若点P是函数y图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是(C)A0，B，C，)D(，解析：因为sinxcosxsin(x)，由xk，kZ，知函数f
3、(x)的定义域为x|xk，kZ设直线l的倾斜角为，y.因为0sin2(x)1，所以y1，即tan1.又0，所以0，即m即可，故选B.二、填空题9(2020重庆七校联考)已知函数f(x)lnx2x24x，则函数f(x)的图象在x1处的切线方程为xy30.解析：因为f(1)ln1242，所以切点为(1，2)因为f(x)4x4，所以切线斜率kf(1)1.所以切线方程为y2x1，即xy30.10已知函数f(x)xb(x0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y2x5，则ab8.解析：f(x)xb，f(x)1，f(1)1a2，a1.f(1)1ab7，b7，则ab178.11(2020贵州适应考试)阅读
4、材料：借助上述思路，曲线y(2x1)x1，x(，)在点(1,1)处的切线方程为4xy30.解析：根据题中材料将函数y(2x1)x1转化为lnyln(2x1)x1(x1)ln(2x1)，两边同时求导数，得yln(2x1)(x1)2ln(2x1)，yln(2x1)(2x1)x1，y|x1ln(2x1)(2x1)x1|x14，切线方程为y14(x1)，即4xy30.12(2020南昌二模)已知f(x)4lnxx2，若曲线yf(x)在点(1，1)处的切线与曲线yx23xm相切，则m的值是.解析：因为f(x)4lnxx2，所以f(x)2x，所以f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1，1)处的切线方程为y
5、12(x1)，即y2x3.由得x25xm30，因为直线与曲线相切，所以254(m3)0，解得m.三、解答题13已知函数f(x)x34x2及其图象上一点M(1，1)(1)若直线l1与函数f(x)的图象相切于点M(1，1)，求直线l1的方程；(2)若函数f(x)的图象的切线l2经过点M(1，1)，但M不是切点，求直线l2的方程解：(1)f(x)3x24，f(1)1，所以直线l1的斜率k11，所以直线l1的方程为y1(x1)，即xy0.(2)设切点坐标为(x0，f(x0)，x01，则切线l2的方程为yf(x0)f(x0)(xx0)因为直线l2经过点M(1，1)，所以1f(x0)f(x0)(1x0)其
6、中f(x0)x4x02，f(x0)3x4，于是1(x4x02)(3x4)(1x0)，整理得2x3x10，即(x01)2(2x01)0，又x01，所以x0.所以切点为，直线l2的斜率k2f，所以直线l2的方程为y，即yx.14已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围；(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k0)，则由题意并结合(1)中结论可知
7、解得1k0或k1，则1x24x30或x24x31，解得x(，2(1,3)2，)15(2020石家庄质检)将函数yex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋转角后第一次与x轴相切，则角满足的条件是(B)AesincosBsinecosCesin1Decos1解析：由题意得x轴绕坐标原点O逆时针旋转角后第一次与yex的图象相切，设切点为(x0，e x0)，yex，ex0，x01，tane，sinecos，故选B.16(2020安徽淮南一模)已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)在函数f(x)x2lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的
8、切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)由题意可得f(1)1，且f(x)2x，f(1)211，则所求切线方程为y11(x1)，即yx.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2，不妨设x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得2x12x21，又函数f(x)2x在区间上单调递增，函数的值域为1，1，故12x10，所以f(x)在(0,1)，(1，)上单调递增因为f(e)10，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1，即f(x1)0.又01，f()lnx1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点(2)证明：因为elnx0，故点B(lnx0，)在曲线yex上由题设知f(x0)0，即lnx0，连接AB，则直线AB的斜率k.曲线yex在点B(lnx0，)处切线的斜率是，曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处切线的斜率也是，所以曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线yex的切线
