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2021届高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业13 变化率与导数、导数的计算(含解析)苏教版.doc

1、课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1函数ycosx的导数是(B)AysinxBysinxCycosxDycosx解析:函数ycosx,y(cosx)sinx.2设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x,则a(D)A0B1C2D3解析:对函数求导得ya,因为点(0,0)在曲线上,且切线方程为y2x,所以a12,所以a3.3如果曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线yx,那么点P的坐标为(A)A(1,0)B(0,1)C(0,1)D(1,0)解析:设点P(a,b),则ba4a,由题得y4x31.因为曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线yx,所以4a313,所以a1.所以b

2、1410,所以点P的坐标为(1,0)4(2020焦作模拟)已知f(x)xlnx,则f(1)(B)A1BC2De解析:f(x)1lnx,令x1,得f(1)1f(1),解得f(1).5(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)为奇函数,则f(x)在x2处的切线斜率等于(B)A6B2C6D8解析:设x0,则x0,f(x)x22x,又f(x)为奇函数,则f(x)f(x)x22x,f(x)2x2,则f(2)2.故选B.6(2020兰州诊断)若点P是函数y图象上任意一点,直线l为点P处的切线,则直线l倾斜角的取值范围是(C)A0,B,C,)D(,解析:因为sinxcosxsin(x),由xk,kZ,知函数f

3、(x)的定义域为x|xk,kZ设直线l的倾斜角为,y.因为0sin2(x)1,所以y1,即tan1.又0,所以0,即m即可,故选B.二、填空题9(2020重庆七校联考)已知函数f(x)lnx2x24x,则函数f(x)的图象在x1处的切线方程为xy30.解析:因为f(1)ln1242,所以切点为(1,2)因为f(x)4x4,所以切线斜率kf(1)1.所以切线方程为y2x1,即xy30.10已知函数f(x)xb(x0)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y2x5,则ab8.解析:f(x)xb,f(x)1,f(1)1a2,a1.f(1)1ab7,b7,则ab178.11(2020贵州适应考试)阅读

4、材料:借助上述思路,曲线y(2x1)x1,x(,)在点(1,1)处的切线方程为4xy30.解析:根据题中材料将函数y(2x1)x1转化为lnyln(2x1)x1(x1)ln(2x1),两边同时求导数,得yln(2x1)(x1)2ln(2x1),yln(2x1)(2x1)x1,y|x1ln(2x1)(2x1)x1|x14,切线方程为y14(x1),即4xy30.12(2020南昌二模)已知f(x)4lnxx2,若曲线yf(x)在点(1,1)处的切线与曲线yx23xm相切,则m的值是.解析:因为f(x)4lnxx2,所以f(x)2x,所以f(1)2,所以曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程为y

5、12(x1),即y2x3.由得x25xm30,因为直线与曲线相切,所以254(m3)0,解得m.三、解答题13已知函数f(x)x34x2及其图象上一点M(1,1)(1)若直线l1与函数f(x)的图象相切于点M(1,1),求直线l1的方程;(2)若函数f(x)的图象的切线l2经过点M(1,1),但M不是切点,求直线l2的方程解:(1)f(x)3x24,f(1)1,所以直线l1的斜率k11,所以直线l1的方程为y1(x1),即xy0.(2)设切点坐标为(x0,f(x0),x01,则切线l2的方程为yf(x0)f(x0)(xx0)因为直线l2经过点M(1,1),所以1f(x0)f(x0)(1x0)其

6、中f(x0)x4x02,f(x0)3x4,于是1(x4x02)(3x4)(1x0),整理得2x3x10,即(x01)2(2x01)0,又x01,所以x0.所以切点为,直线l2的斜率k2f,所以直线l2的方程为y,即yx.14已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围;(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解:(1)由题意得f(x)x24x3,则f(x)(x2)211,即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是1,)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k0),则由题意并结合(1)中结论可知

7、解得1k0或k1,则1x24x30或x24x31,解得x(,2(1,3)2,)15(2020石家庄质检)将函数yex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋转角后第一次与x轴相切,则角满足的条件是(B)AesincosBsinecosCesin1Decos1解析:由题意得x轴绕坐标原点O逆时针旋转角后第一次与yex的图象相切,设切点为(x0,e x0),yex,ex0,x01,tane,sinecos,故选B.16(2020安徽淮南一模)已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)在函数f(x)x2lnx的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的

8、切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间上?若存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由解:(1)由题意可得f(1)1,且f(x)2x,f(1)211,则所求切线方程为y11(x1),即yx.(2)假设存在两点满足题意,且设切点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2,不妨设x1x2,结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得2x12x21,又函数f(x)2x在区间上单调递增,函数的值域为1,1,故12x10,所以f(x)在(0,1),(1,)上单调递增因为f(e)10,所以f(x)在(1,)有唯一零点x1,即f(x1)0.又01,f()lnx1f(x1)0,故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上,f(x)有且仅有两个零点(2)证明:因为elnx0,故点B(lnx0,)在曲线yex上由题设知f(x0)0,即lnx0,连接AB,则直线AB的斜率k.曲线yex在点B(lnx0,)处切线的斜率是,曲线ylnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率也是,所以曲线ylnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线yex的切线

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