1、江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第二学期高二数学期末适应性测试一、选择题请把答案直接填涂在答题卡相应位置上1. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）A. 54种B. 240种C. 150种D. 60种【答案】C【解析】【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解.详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分
2、三组，有两类情况，三组人数为1、1、3，此时有种；三组人数为2、2、1，此时有种.所以共有60+90=150种.故选：C2. 若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】由二项式定理知：含项为 ，由题意 ， ，解得 ；故选：C.3. 已知数列，均为等差数列，且，则的值为（ ）A. 760B. 820C. 780D. 860【答案】B【解析】【分析】数列，均为等差数列，则数列也为等差数列，结合等差数列的定义与通项进行运算求解【详解】数列，均为等差数列，设公差分别为则数列也为等差数列，数列的首项为10
3、0，公差为20，故选：B4. 已知数列通项公式为，则其前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，然后可算出答案.【详解】因为所以其前项和为故选：A5. 如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】讨论十位上的数为，十位上的数为，共个，再计算概率得到答案.【详解】当十位上的数为时，共有个；当十位上的数为时，共有个，共个.故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.6. 设
4、函数，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】时，无最大值，因此时，有最大值，利用导数求解【详解】显然时，无最大值，时，存在最大值，当时，递增，当时，递减，所以时，取得极大值也是最大值，因此要有最大值，必须满足，所以故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题解题时要注意的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大因此本题在时求得最大值，除这个最大值取得到，即以外还有必须满足，否则函数无最大值7. 现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，
5、每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为，甲队接发球赢球的概率为，在比分为2424平且甲队发球的情况下，甲队以2725赢下比赛的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可得甲第四局胜，第1局或第2局输，再利用分类加法原理及相互独立事件得乘法公式即可得解.【详解】由比分可知甲需胜3局，输1局，且甲第四局胜，第1局或第2局输，故故选：B.8. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BC的中点当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN/平面A1BD则线段MN的最小值为（ ）A. 1B. C. D.
6、 【答案】B【解析】【分析】根据正方体性质及线面、面面平行的判定找到过点平行于面的截面，进而确定的运动轨迹，结合已知即可求最小值.【详解】在正方体中分别是的中点，由正方体性质易知：，而，则，由面，面，则面，同理有面，由，面，故面面，所以面中的直线平行于面，由面，则在直线上运动，要使最小，只需，延长、交于，故只需求出底边上的高即可，由已知可得：，则为边长为的等边三角形，所以底边上的高为，即最小值为.故选：B二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9. 一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机
7、抽取卡片，每次抽取一张，随机变量表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有（ ）A. 若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为B. 口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变量，且C. 若随机变量，且，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的2倍D. 随机变量，若，则【答案】ACD【解析】【分析】A.直接列出概率，判断选项；B.利用二项分布的方差公式，判断选项；C.利用超几何分布的期望公式判断选项；D.利用二项分布概率公式计算，再利用正态分布的对称性判断.【详解】对于A，正确；对于B，错误；对于C，
8、有，则，所以黄卡是红卡数量的2倍，正确；对于D，有，得，所以，正确；故选：ACD10. 在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A. 异面直线与所成的角为B. 是平面的一个法向量C. 二面角的正切值为D. 正方体的外接球的体积为【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的余弦值及二面角的余弦值，即可判断AC，再根据线面垂直的判定定理即可说明B，根据正方体外接球的直径即可体对角线，即可求出外接球的体积；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，所以，设异面直线与所成的角为，所以，因为，所以，故A正确；在正方体，平面，平面，所以平面，又，面所以平面，所以是平面
9、的一个法向量，故B正确；设面的法向量为，则，所以，令，则，所以，显然面的一个法向量可为，设二面角为，则，因为二面角为锐二面角，所以，所以，故C错误；正方体外接球的半径，故其外接球的体积为，故D正确；故选：【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和异面直线所成的角与二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.11. 已知下列说法正确的是（ ）A. 设，则数列的前项的和为B. C. =()D.
10、 为等比数列【答案】AD【解析】【分析】对A，为项系数，即每个括号中只有一个括号取，其余都取1，则；对B，为项系数，有2个括号取，其余取1；对C，即为的系数，仅有1个括号取1，其余取，；对D，求出公式即可判断.【详解】对A，为项系数，即每个括号中只有一个括号取，其余都取1，则，故A正确；对B，为项系数，有2个括号取，其余取1，则，故B错误；对C，即为的系数，仅有1个括号取1，其余取，则，故C错误；对D，为首项，公比的等比数列，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解不同项所需和1的个数.12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则是上的减函数B. 若，则有两个
11、零点C. 若，则D. 若，则曲线上存在相异两点M，N处的切线平行【答案】AC【解析】【分析】选项A. 由得出单调性可判断；选项B. 转化为研究的根的各数，可判断；选项C. 由得出单调区间，可判断；选项D. 设，转化为分析零点个数，从而可判断.【详解】选项A. 当时，由，解得，所以是上的减函数，故选项A正确.选项B. 由可得，即设，则设，则所以在上单调递增,且所以当 时，；当时，所以在 上单调递减，在上单调递增.所以，当 时，；当时，所以当，则无零点，当时，又一个零点，故选项B不正确.选项C. 时，由，得，由，得所以在 上单调递减，在上单调递增.所以，故选项C正确.选项D. 由，若存在相异的两点
12、，在处的切线平行.所以，且即有两相异的正实数根. 即方程有两相异的正实数根设，则所以在上单调递增，则直线与函数的图像在上至多有1个交点.所以不可能有两个正实数根，即D选项不正确.故选：AC【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，函数的几何意义的应用和零点问题，解答本题的关键是分离参数由研究函数的零点个数问题，设，由其零点个数，研究选项D，属于难题.三、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上13. 公差不为零的等差数列中，数列是等比数列，且，则_【答案】16【解析】【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等比数列的性质求解.【详解】解：，且，故答案为：1614. 在平行六面体中
13、，则与夹角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】由表示出，再结合空间向量的夹角公式计算即可【详解】设，则，同理，平行六面体中，；则，设直线和所成角，则所以与夹角的余弦值为，故答案为：.15. 甲乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则_；_.【答案】 . . 【解析】【分析】时，甲乙比赛四局，则甲要赢3局或4局才能获胜，计算，可得答案.【详解】时，甲乙比赛四局甲获胜，则甲要赢3局或4局才能获胜，所以；.故答案为：；.16. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由，得到
14、，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.【详解】，当时，由得，由得，所以在上递减，在上递增，在处取得最小值，令，则，当时，取得最小值，当时，取得最大值0，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用导函数研究函数的最值，令，将转化为关于t的二次函数，根据二次函数求最值是解题的关键，考查学生分析试题能力与转化化归能力，属于较难题.四、解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列是递增的等差数列，是各项均为正数的等比数列，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前9项的和（注：表示不超过x的最大
15、整数）【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据所给的条件列方程即可求解；（2）根据高斯函数的定义，分别求出 求和即可.【小问1详解】设的公差为d，的公比为q，由 得 ，而，解得，于是得，所以数列和的通项公式分别为，；【小问2详解】由（1）知，则有，依题意，=2926，综上， .18. 已知在的展开式中，_（填写条件前的序号）条件第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；条件第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；条件.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含的项.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出二项展开式的通项，根据选择的条件求出的值，即可知道二项式系数
16、最大的项；（2）在通项公式中，令的指数为，求出，再根据通项公式可求出结果.【详解】通项公式为，若填条件，（1）依题意得，即，所以，整理得，所以或（舍），因为，所以的展开式共有项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以.（2）通项公式为，令，得，所以展开式中含的项为.若填条件，（1）依题意得，所以，所以，即，所以或（舍），因为，所以的展开式共有项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以.（2）通项公式为，令，得，所以展开式中含的项为.若填条件，（1）依题意得，则，所以，所以，因为，所以的展开式共有项，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以.（2）通项公式为，令，得，所以展开式中
17、含的项为.【点睛】关键点点睛：掌握二项展开式的通项公式和二项式系数的性质是解题关键.19. 从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.()若抽取后又放回，抽3次.()分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；()求抽到红球次数的数学期望及方差.()若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列.【答案】(1) ;见解析;(2)见解析.【解析】【详解】分析：（1）()放回事件是独立重复试验，根据独立重复试验概率公式求结果，() 抽到红球次数服从二项分布，根据二项分布期望与方差公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再根据组合数求对应概率，列表可得分布列.详
18、解：（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为所以恰2次为红色球的概率为 抽全三种颜色的概率 B(3,),则， （2）的可能取值为2，3，4，5 , ,，即分布列为：2345P点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事
19、件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20. 如图，在三棱锥中，平面平面，若O为BC的中点.（1）证明：平面；（2）求点C到平面的距离；（3）设线段上有一点M，当AM与平面所成角的正弦值为时，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）结合面面垂直的性质定理证得平面；（2）利用等体积法可求得结果；（3）建立空间直角坐标系，设
20、，利用与平面所成角的正弦值为，结合向量运算列方程，解方程求得，由此求得的长.【详解】（1），平面平面，平面平面，平面，平面.（2）设点C到平面的距离为h，由等体积法得，即，即，又，则，连接AO，知故，则故，即点C到平面的距离为（3）由已知得两两垂直，以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，令，得，设，设与平面所成角为，则，即，化简整理得：，解得：（舍），的长为.【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直，利用等体积求距离，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则两直线所成的角为(),；直线与平面所成的角为(),；二面
21、角的大小为(),21. 随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升 1至5月，其售价（元/只）如下表所示：月份x售价y（元/只）11.222.83.4（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的线性回归方程；（2）某人计划在六月购进一批防护口罩， 经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠采用到店手工“摸球促销”的方式其规则为：袋子里有颜色为红、黄、蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠方案二：线上促销优惠与
22、店铺网页上的机器人进行“石头、剪刀、布”视频比赛客户和机器人每次同时、随机、独立地选择“石头、剪刀、布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头手势相同视为平局，不分胜负客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠参考公式：，其中，参考数据：，【答案】（1）相关系数； （2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为；方案二分布列见解析；期望为；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题
23、中所给数据，计算出的值，带入参考公式计算即可.（2）根据（1）中线性回归方程，求得X可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.【小问1详解】相关系数，由于0.98接近1，说明y与x之间有较强的线性相关关系，所以【小问2详解】由（1）可知，当时，即6月预计售价为4元/只X可取的值为2.8，3.2，3.6若选优惠方案一，；2.83.23.6此时.若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出概率为，则不胜的概率为；2.83.23.6此时.，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一22. 已知函数（1）已知直线是曲线的一条切线，求k的值；（2）若函数有两个不同的零点，证
24、明：【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用切线的性质即可求解；（2）属于极值点偏移问题，构造函数，求导，根据函数单调性即可证明.【小问1详解】 ，设切点为 ，则切线斜率为切线方程为 ，即 ，因为直线是曲线的一条切线，所以 ，即 ，故 ；【小问2详解】由题可知函数 有两个不同的零点 ，即 ，记 ，则 ，当时， ，单调递增，不可能有两个零点，当时，令 ，得，当时， ，函数单调递减；当时， ，函数单调递增，因为有两个零点，所以，解得， 所以不妨设，要证，即证，因为，又在单调递增，所以即证，即证，构造函数，所以 ，所以函数在单调递减，且， 所以当时，即，即，又在单调递增，故；【点睛】对于极值点偏移问题，传统的解法是构造函数，利用所构造函数与原函数的对称性，再对所构造函数求导，利用函数的单调性即可证明.
