1、第14课时圆的一般方程 教学过程一、 问题情境我们前面已经学过了二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0),我们知道它表示的是一条直线,但在我们生活中显然还会有其他方程,你能举一些例子吗?(这是一个开放问题,学生肯定会先想到圆的标准方程,教师要肯定,再追问还有其他的形式吗?学生一定会列举出很多方程,会有椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程等等,教师应该进行分类,告诉学生在今后会去一一研究,今天先研究其中相对较简单的二元二次方程.)二、 数学建构(一) 生成概念问题1下列方程分别表示什么曲线?(1) x2+y2-4x+6y-3=0.(2) x2+y2-4x+6y+13=0.(3) x2
2、+y2-4x+6y+16=0.(该问题要灵活对待,如果学生在前面已经列举出很好的方程,就用学生列举的方程.学生不知道它表示什么曲线,一定会用学过的知识来解决,必定想方设法转化为学过的方程,体现化归思想.)问题2你觉得它们可能是什么曲线呢?(引导学生明确研究的方向,向圆的标准方程靠拢)问题3如果它们表示圆的话,根据我们上一节课所学的内容,它的左边应该是什么形式呢?(引导学生回忆圆的标准方程的特征)问题4你会将上面的一组方程转化为圆的标准方程的形式吗?(引导学生用配方法将上面方程进行转化)将上面方程的左边配方为:(1) (x-2)2+(y+3)2=16.(2) (x-2)2+(y+3)2=0.(3
3、) (x-2)2+(y+3)2=-3.问题5你现在能分别说出它们表示的是什么曲线吗?其中(1)表示的以(2, -3)为圆心,4为半径的圆;(2)表示的是一个点(2, -3);(3)不成立,不能表示任何曲线.问题6对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的又是什么曲线吗?(引导学生从特殊向一般过渡)把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得,+=.(1) 当D2+E2-4F0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;(2) 当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;(3) 当D2+E2-4F0)叫做圆的一般方程,其中圆心为,半径为.(二) 理解概念问题7圆的一般方程有什么特点呢?(引导学生归纳) x2
4、和y2前面的系数相等,且都不为0,没有xy这样的二次项; 圆的一般方程中有三个特定的系数D, E, F,所以只要求出这三个系数,圆的方程就确定了; 与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.三、 数学应用【例1】(教材P109例3)已知ABC顶点坐标为A(4 , 3), B(5, 2), C(1, 0),求ABC外接圆的方程.3处理建议根据已经学过的知识,圆的方程有两种形式,让学生选择用哪一种方程?让学生在下面书写,教师可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演.教师对此都给予肯定.最后再由学生归纳解题心得.规范板书解法
5、一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆过点A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有,得故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.解法二 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).因为圆过点A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有,得故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.解法三线段AC的垂直平分线方程为x+y-4=0.线段BC的垂直平分线方程为2x+y-7=0.由得即圆心为(3, 1),所以r=.故所求圆的方程为:(x-3)2+(y-1)2=5.题后反思从解题过程来看,解法一更直接,计算更简单一点.圆的方程有两种,通常在求
6、圆心坐标和半径方便时用标准方程,在已知圆三个点时通常用一般方程求解.问题8通过刚才的例1,你能归纳用待定系数法求圆的方程的步骤吗?(1) 根据已知条件,选择标准方程或一般方程.(2) 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组.(3) 解出a, b, r或D, E, F,代入标准方程或一般方程.变式已知函数y=x2-2x-3与x轴交于A, B两点,与y轴交于C点,求ABC外接圆的方程.处理建议本题和例1有相似的地方,都是已知三点的坐标求圆的方程,仍然要求学生尝试用两种方法解决本题,并比较在本题中用哪一种方法更好.解函数y=x2-2x-3与坐标轴的交点为A(-1, 0), B(3,
7、0), C(0, -3).方法一: 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆过点A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3),则有得故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-3=0.方法二: AB的垂直平分线为直线x=1, BC的垂直平分线为直线y=-x,则直线x=1与直线y=-x的交点就是圆心(1, -1), r=,所以ABC外接圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.【例2】求圆x2+y2-2x+2y+1=0关于直线x-y+3=0对称的图形的方程.4处理建议先要求学生分析方程是什么曲线?再问学生要求这样的曲线必须知道哪些条件?根据已知条件能解决吗?本题目的是让学生根据圆
8、的一般方程能熟练地写出它的圆心坐标和半径,进一步熟悉圆的一般方程与圆的标准方程之间的联系.规范板书解由圆的方程x2+y2-2x+2y+1=0得圆心坐标为O(1, -1),半径r=1.因为所求的图形也是圆,且它的圆心O(a, b)与O(1, -1)关于直线x-y+3=0对称,半径r=r=1.由得即O(-4, 4).所以圆的方程为(x+4)2+(y-4)2=1.题后反思在利用圆心横坐标为-,纵坐标为-的结论时,学生经常会将符号遗漏,而半径为的结论也会记不清,所以可以让学生不去死记硬背,而是学会用配方的方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程,再得出圆心坐标和半径.变式(2010年广东卷改编)若圆O的方
9、程为x2+y2+Dx+F=0,半径为,位于y轴右侧,且与直线x+2y=0相切,求圆O的方程.处理建议要解决本题,只需要求出其中待定的系数D和F,而已知恰好是两个条件,只要根据这两个条件列出D和F的方程组即可.本题还是让学生熟练运用“圆心为半径为”的结论.本题还有另一个用意,要学生能透过现象看本质,“圆O的方程为x2+y2+Dx+F=0”这句话的本质是圆心为(a, 0),用标准方程更方便.如果学生想不到,老师可以引导.解方法一: 由题意,圆心为,半径为,则=, =,得D=-10(正值舍去), F=20.所以圆的方程为:x2+y2-10x+20=0.方法二:由题意设圆心为(a, 0),因为与直线x
10、+2y=0相切,所以=,得a=5(负值舍去),所以圆的方程为:(x-5)2+y2=5.*【例3】(教材P110例4)某圆拱梁的示意图如图1,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.(精确到0.01m)5(图1)处理建议若能够知道该圆拱所在的圆的方程,问题就变得很简单了,所以,我们联想到建立相应的直角坐标系,将问题转化为求圆的方程.规范板书解以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系(图2),那么点A, B, P的坐标分别为A(-18, 0), B(18, 0), P(0, 6).设圆拱所在的圆的方程为x2+y2
11、+Dx+Ey+F=0.因为点A, B, P在所求的圆上,故有得所以圆拱所在的圆的方程为x2+y2+48y-324=0.将点P2的横坐标x=6代入圆方程,解得y=-24+125.39(舍去负值).答支柱A2P2的长约为5.39m.(图2)题后反思本题的关键利用图形建立直角坐标系,求出圆拱所在圆的方程,用代数的方法研究几何问题,这里体现了数形结合的思想.变式(教材P112第11题改编)河道上有一座圆拱桥,在正常水位时拱圈最高点距水面为5m,拱圈内水面宽为20m,一条船在水面以上部分高为3m,船宽为8m(如图3,船近似地看成矩形),故通行无阻,近日水位涨了1.5m,为此,必须加重船载,降低船身,才能
12、通过桥洞.试问:船身应该降低多少?(精确到0.01m, 23.68)处理建议本题主要进一步强化用代数的方法研究几何问题的思想,即解析思想.(图3)(图4)规范板书解建立直角坐标系如图4,那么点A, B, P的坐标分别为A(-10, 0), B(10, 0), P(0, 5).设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为点A, B, P在所求的圆上,故有得所以圆拱所在的圆的方程为:x2+y2+15y-100=0.将点P2的横坐标x=4代入圆方程,解得y=4.34(舍去负值).故当水位涨了1.5m后,船身应该降低3-(4.34-1.5)=0.16(m).答船身应降低0.16m,才能通
13、过桥洞.四、 课堂练习1. 下列方程各表示什么图形?若表示圆,则求出其圆心和半径:(1) x2+y2-4y=0.(2) x2+y2-2x-4y+5=0.解(1) 表示圆,圆心(0, 2),半径5;(2) 因为(-4)2+(-2)2-45=0,所以不表示圆,表示点(1, 2).2. 若圆x2+y2-2x+4my+m2=0的圆心在直线x+y+2=0上,求该圆的半径.解圆心坐标为(1, -2m),因为圆心在直线x+y+2=0上,所以1-2m+2=0,得m=,所以半径=.3. 若直线x+y=0将圆C:x2+y2+2x+2ay+a2=0的面积两等分,求圆C的半径.提示“直线x+y=0将圆C:x2+y2+
14、2x+2ay+a2=0的面积两等分”即圆心在直线上,故可以求出a的值,再利用半径公式求出半径.答案为1.4. 求经过点A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1)的圆的方程.提示设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆经过点A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1),将三个坐标代入圆的方程,列出方程组,解出其中的待定系数即可.答案为x2+y2-3x-7y-18=0.五、 课堂小结1. 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形.2. 利用配方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程.3. 在确定圆的方程时,应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点,灵活选用圆方程的形式,利用待定系数法等方法求解.在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想.
