1、专题七解三角形本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分,考试时间120分钟第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2019山西晋城一模)在ABC中,若AB8,A120,其面积为4,则BC()A2 B4C2 D4答案C解析SABCABACsinA4,故AC2;由余弦定理得,BC2AB2AC22ABACcosA84,故BC2.故选C.2(2019长春质量监测)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bacosCc,则角A为()A60 B120C45 D135答案A解析由bacos
2、CccosA可知cosA,A60.故选A.3(2019郴州模拟)在ABC中三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2c2bca2,bca2,则角C的大小是()A.或 B.C. D.答案A解析由b2c2bca2,得b2c2a2bc,则cosA,则A,由bca2,得sinBsinCsin2A,即4sin(CA)sinC,即4sin(CA)sinC4sinsinC,即4sinC2sin2C2sinCcosC,即(1cos2C)sin2Ccos2Csin2C,则cos2Csin2C0,则cos2Csin2C,则tan2C,即2C或,即C或.故选A.4(2019漳州质量监测)ABC的内角A,B,C的
3、对边分别为a,b,c,已知3acosAbcosCccosB,bc3,则a的最小值为()A1 B. C2 D3答案B解析在ABC中,3acosAbcosCccosB,3sinAcosAsinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA,即3sinAcosAsinA,又A(0,),sinA0,cosA.bc3,两边平方可得b2c22bc9,由b2c22bc,可得92bc2bc4bc,解得bc,当且仅当bc时等号成立,a2b2c22bccosA,可得a2b2c2bc(bc)293,当且仅当bc时等号成立,a的最小值为.故选B.5(2019安徽联考)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
4、已知acsinB10sinC,ab7,且cos,则c()A4 B5 C2 D7答案B解析acsinB10sinC.由正弦定理可得abc10c,即ab10.cos,cosC221,则c5.故选B.6(2019赣州中学模拟)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a1,b.则SABC()A. B.C. D2答案C解析A,B,C依次成等差数列,B60,由余弦定理得b2a2c22accosB,得c2,由正弦定理得SABCacsinB.故选C.7(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinAbsinB4csinC,cosA,则(
5、)A6 B5 C4 D3答案A解析asinAbsinB4csinC,由正弦定理得a2b24c2,即a24c2b2.由余弦定理得cosA,6.故选A.8(2019哈尔滨三中二模)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B2A,cosAcosBcosC0,则的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由cosAcosBcosC0,可知,三角形是锐角三角形,由正弦定理可知,sinBsin2A2sinAcosA,b2acosA,tanA,ABC180,B2A,3AC180,A6030,2A90,A(30,45),tanA1,则a,所以BA,故B可以是锐角也可以是钝角,故ABC有两个解
6、;对于C,a5,b10,A30,则sinB1,B为直角,故ABC有唯一解;对于D,a12,b10,A135,则sinB,在ABC中,A135,故B为锐角,所以ABC有唯一解故选B.第卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(2019吉林市第一次调研测试)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a3b,c,且cosC,则a_.答案3解析a3b,c,且cosC,由余弦定理可得,cosC,解得b1,a3.14(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinAacosB0,则B_.答案解析bsinAacosB0,.由正弦定理
7、,得cosBsinB,tanB1.又B(0,),B.15(2019河北衡水中学一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c4,a4sinA,且C为锐角,则ABC面积的最大值为_答案44解析因为c4,又4,所以sinC,又C为锐角,所以C.因为c2a2b22abcosCa2b2ab(2)ab,所以ab8(2),当且仅当ab 时等号成立,即SABCabsinCab44,即当ab时,ABC面积的最大值为44.16(2019江苏省南通市模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,a8,b10,ABC的面积为20,则ABC的最大角的正切值是_答案或解析20810sinC,sinC,
8、0C,C或,当C时,显然C是最大角,那么有tan,当C时,由余弦定理得c20,b3.18(本小题满分12分)(2019吉林市第一次调研)在ABC中,内角A,B,C的边长分别为a,b,c,且c2.(1)若A,b3,求sinC的值;(2)若sinAcos2sinBcos23sinC,且ABC的面积SsinC,求a和b的值解(1)ABC中,c2,A,b3;由余弦定理得,a2b2c22bccosA94232cos7,解得a.由正弦定理,得sinC.(2)由sinAcos2sinBcos23sinC,降幂得sinAsinB3sinC,化简得sinAsinB(sinAcosBcosAsinB)6sinC,
9、又sinAcosBcosAsinBsin(AB)sinC,sinAsinB5sinC,即ab5c10.又SabsinCsinC,得ab25.由解得ab5.19(本小题满分12分)(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinbsinA.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c1,求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sinAsinsinBsinA.因为sinA0,所以sinsinB.由ABC180,可得sincos,故cos2sincos.因为cos0,故sin,因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐
10、角三角形,故0A90,0C90.由(1)知AC120,所以30C90,故a2,从而SABC.因此,ABC面积的取值范围是.20(本小题满分12分)(2019蚌埠二模)如图,等腰直角三角形ABC中,ACB90,AB4,点P为ABC内一点,且tanPAB,tanPBA.(1)求APB;(2)求PC.解(1)由条件及两角和的正切公式,得tan(PABPBA)1,而0PABPBA,所以PABPBA,则APB(PABPBA).(2)由(1)知,PABPBA,而在等腰直角三角形ABC中,CA2,CABCAPPAB,所以CAPPBA,则tanCAPtanPBA,进而可求得sinCAPsinPBA,cosCA
11、PcosPBA.在PAB中,由正弦定理,得PAAB4.在PAC中,由余弦定理,得PC2AC2AP22ACAPcosCAP822,PC.21(本小题满分12分)(2019陕西联考)某市规划一个平面示意图为如右图五边形ABCDE的一条自行车赛道,ED,DC,CB,BA,AE为赛道(不考虑宽度),BE为赛道内的一条服务通道,BCDCDEBAE,DE4 km,BCCD km.(1)求服务通道BE的长度;(2)当AEB时,求赛道BA的长度解(1)连接BD,在BCD中,由余弦定理得,BD2BC2CD22BCCDcosBCD9,BD3.BCCD,CBDCDB,又CDE,BDE,在RtBDE中,BE5.故服务通道BE的长度为5 km.(2)在BAE中,BAE,BE5,AEB,由正弦定理得,即,得BA,故赛道BA的长度为 km.22(本小题满分12分)(2019乌鲁木齐二诊)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2,b2c.(1)若C30,求b;(2)求ABC的面积S的最大值解(1)a2,b2c,sinB1,B90,A60,b.(2)SABCabsinC2csinC2c,当c时,ABC的面积S有最大值.