1、专题七解三角形本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019山西晋城一模)在ABC中，若AB8，A120，其面积为4，则BC()A2 B4C2 D4答案C解析SABCABACsinA4，故AC2；由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcosA84，故BC2.故选C.2(2019长春质量监测)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bacosCc，则角A为()A60 B120C45 D135答案A解析由bacos
2、CccosA可知cosA，A60.故选A.3(2019郴州模拟)在ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2bca2，bca2，则角C的大小是()A.或 B.C. D.答案A解析由b2c2bca2，得b2c2a2bc，则cosA，则A，由bca2，得sinBsinCsin2A，即4sin(CA)sinC，即4sin(CA)sinC4sinsinC，即4sinC2sin2C2sinCcosC，即(1cos2C)sin2Ccos2Csin2C，则cos2Csin2C0，则cos2Csin2C，则tan2C，即2C或，即C或.故选A.4(2019漳州质量监测)ABC的内角A，B，C的
3、对边分别为a，b，c，已知3acosAbcosCccosB，bc3，则a的最小值为()A1 B. C2 D3答案B解析在ABC中，3acosAbcosCccosB，3sinAcosAsinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA，即3sinAcosAsinA，又A(0，)，sinA0，cosA.bc3，两边平方可得b2c22bc9，由b2c22bc，可得92bc2bc4bc，解得bc，当且仅当bc时等号成立，a2b2c22bccosA，可得a2b2c2bc(bc)293，当且仅当bc时等号成立，a的最小值为.故选B.5(2019安徽联考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
4、已知acsinB10sinC，ab7，且cos，则c()A4 B5 C2 D7答案B解析acsinB10sinC.由正弦定理可得abc10c，即ab10.cos，cosC221，则c5.故选B.6(2019赣州中学模拟)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b.则SABC()A. B.C. D2答案C解析A，B，C依次成等差数列，B60，由余弦定理得b2a2c22accosB，得c2，由正弦定理得SABCacsinB.故选C.7(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB4csinC，cosA，则(
5、)A6 B5 C4 D3答案A解析asinAbsinB4csinC，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cosA，6.故选A.8(2019哈尔滨三中二模)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B2A，cosAcosBcosC0，则的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由cosAcosBcosC0，可知，三角形是锐角三角形，由正弦定理可知，sinBsin2A2sinAcosA，b2acosA，tanA，ABC180，B2A，3AC180，A6030，2A90，A(30，45)，tanA1，则a，所以BA，故B可以是锐角也可以是钝角，故ABC有两个解
6、；对于C，a5，b10，A30，则sinB1，B为直角，故ABC有唯一解；对于D，a12，b10，A135，则sinB，在ABC中，A135，故B为锐角，所以ABC有唯一解故选B.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2019吉林市第一次调研测试)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3b，c，且cosC，则a_.答案3解析a3b，c，且cosC，由余弦定理可得，cosC，解得b1，a3.14(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinAacosB0，则B_.答案解析bsinAacosB0，.由正弦定理
7、，得cosBsinB，tanB1.又B(0，)，B.15(2019河北衡水中学一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c4，a4sinA，且C为锐角，则ABC面积的最大值为_答案44解析因为c4，又4，所以sinC，又C为锐角，所以C.因为c2a2b22abcosCa2b2ab(2)ab，所以ab8(2)，当且仅当ab 时等号成立，即SABCabsinCab44，即当ab时，ABC面积的最大值为44.16(2019江苏省南通市模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a8，b10，ABC的面积为20，则ABC的最大角的正切值是_答案或解析20810sinC，sinC，
8、0C，C或，当C时，显然C是最大角，那么有tan，当C时，由余弦定理得c20，b3.18(本小题满分12分)(2019吉林市第一次调研)在ABC中，内角A，B，C的边长分别为a，b，c，且c2.(1)若A，b3，求sinC的值；(2)若sinAcos2sinBcos23sinC，且ABC的面积SsinC，求a和b的值解(1)ABC中，c2，A，b3；由余弦定理得，a2b2c22bccosA94232cos7，解得a.由正弦定理，得sinC.(2)由sinAcos2sinBcos23sinC，降幂得sinAsinB3sinC，化简得sinAsinB(sinAcosBcosAsinB)6sinC，
9、又sinAcosBcosAsinBsin(AB)sinC，sinAsinB5sinC，即ab5c10.又SabsinCsinC，得ab25.由解得ab5.19(本小题满分12分)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsinA.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sinAsinsinBsinA.因为sinA0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐
10、角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.20(本小题满分12分)(2019蚌埠二模)如图，等腰直角三角形ABC中，ACB90，AB4，点P为ABC内一点，且tanPAB，tanPBA.(1)求APB；(2)求PC.解(1)由条件及两角和的正切公式，得tan(PABPBA)1，而0PABPBA，所以PABPBA，则APB(PABPBA).(2)由(1)知，PABPBA，而在等腰直角三角形ABC中，CA2，CABCAPPAB，所以CAPPBA，则tanCAPtanPBA，进而可求得sinCAPsinPBA，cosCA
11、PcosPBA.在PAB中，由正弦定理，得PAAB4.在PAC中，由余弦定理，得PC2AC2AP22ACAPcosCAP822，PC.21(本小题满分12分)(2019陕西联考)某市规划一个平面示意图为如右图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，BCDCDEBAE，DE4 km，BCCD km.(1)求服务通道BE的长度；(2)当AEB时，求赛道BA的长度解(1)连接BD，在BCD中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcosBCD9，BD3.BCCD，CBDCDB，又CDE，BDE，在RtBDE中，BE5.故服务通道BE的长度为5 km.(2)在BAE中，BAE，BE5，AEB，由正弦定理得，即，得BA，故赛道BA的长度为 km.22(本小题满分12分)(2019乌鲁木齐二诊)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2，b2c.(1)若C30，求b；(2)求ABC的面积S的最大值解(1)a2，b2c，sinB1，B90，A60，b.(2)SABCabsinC2csinC2c，当c时，ABC的面积S有最大值.