1、高三数学单元练习题：函数（）一、选择题：1已知 是上的增函数，那么 a 的取值范围是（ ）A（0，1）B（0，） C， D2函数的定义域是（ ）A B C D3已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有 成立，且，则的值是（ ）A0 B1 C2006！ D（2006！）24偶函数 在 上单调递增，则 与 的大小关系是（ ）A B C D 5函数ylog（x26x17）的值域是（）ARB8， C（，3D3，6已知函数满足，对于任意的实数都满足，若，则函数的解析式为（ ）A BC D7在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意，（ ）. 恒成立”的只有（ ）A B C D8定义在（，+
2、）上的奇函数f（x）和偶函数g（x）在区间（，0上的图像关于x轴对称，且f（x）为增函数，则下列各选项中能使不等式f（b）f（a）g（a）g（b）成立的是（ ）Aab0Bab0Dab0，使对一切实数x均成立，则称为F函数给出下列函数：；是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有 其中是F函数的序号为_.16汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油耗油量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有所示的函数关系：“汽油的使用率最高”（即每千米汽油平均消耗量最小，单位：L/km），则汽油的使用率最高时，汽车速度是 （L/km）.三、解答题： 17设函数是奇函数
3、（都是整数，且，. （1）求的值；（2）当，的单调性如何？用单调性定义证明你的结论18（12分）已知二次函数 （1）若abc，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点； （2）在（1）的条件下，是否存在mR，使池f（m）= a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由； （3）若对，方程有2个不等实根，19设函数，且在闭区间0，7上，只有 （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论20对1个单位质量的含污物体进行清洗， 清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：为， 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供
4、选择， 方案甲: 一次清洗； 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响， 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是， 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是， 其中是该物体初次清洗后的清洁度 （1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量， 并比较哪一种方案用水量较少； （2）若采用方案乙， 当为某固定值时， 如何安排初次与第二次清洗的用水量， 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响21已知函数 （1）求证：函数是偶函数； （2）判断函数分别在区间、上的单调性， 并加以证明； （3）若， 求证: 22（14分）设f（x）是定义在0， 1上的函数，若存在
5、x*（0，1），使得f（x）在0， x*上单调递增，在x*，1上单调递减，则称f（x）为0， 1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 对任意的0，l上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法 （1）证明：对任意的x1，x2（0，1），x1x2，若f（x1）f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）f（x2），则（x*，1）为含峰区间； （2）对给定的r（0r0.5，证明：存在x1，x2（0，1），满足x2x12r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5r； （3）选取x1，x2（0， 1），x1x2，由（I）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1）
6、，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）参考答案（3）一、选择题1C；2B；3B；4D；5C；6D；7A；8A；9A；10C；11B；12A二、填空题13；14x；15；16（km/h）三、解答题17解：（1）由是奇函数，得对定义域内x恒成立，则对对定义域内x恒成立，即 （或由定义域关于原点对称得）又由得代入得，又是整数，得 （2）由（）知，当，在上单调递增，在上单
7、调递减.下用定义证明之. 设，则 ，因为， ，故在上单调递增 同理，可证在上单调递减. 18解:（1） 的图象与x轴有两个交点. （2）的一个根，由韦达定理知另一根为 在（1，+）单调递增，即存在这样的m使 （3）令，则是二次函数. 的根必有一个属于.19解：f（x）是R上的奇函数，且在0，+上是增函数，f（x）是R上的增函数。于是不等式可等价地转化为f（cos23）f（2mcos4m），即cos232mcos4m，即cos2mcos+2m20.设t=cos，则问题等价地转化为函数g（t）=t2mt+2m2=（t）2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g（t）在0，1上的最小值为正.当0
8、，即m0m1与m042m4+2，421，即m2时，g（1）=m10m1.m2.综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42.另法（仅限当m能够解出的情况）： cos2mcos+2m20对于0，恒成立，等价于m（2cos2）/（2cos） 对于0，恒成立当0，时，（2cos2）/（2cos） 42，m42。20解：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有=0.99，解得x=19. 由得方案乙初次用水量为3， 第二次用水量y满足方程: 解得y=4，故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.因为当，故方案乙的用水量较少. （2）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I
9、）得 ，（*） 于是+ 当为定值时， 当且仅当时等号成立.此时 将代入（*）式得 故时总用水量最少， 此时第一次与第二次用水量分别为 ， 最少总用水量是. 当，故T（）是增函数（也可以用二次函数的单 调性判断）.这说明，随着的值的最少总用水量， 最少总用水量最少总用水量.21解：（1） 当时， 则 当时， ， 则，综上所述， 对于， 都有，函数是偶函数。 （2）当时， 设， 则当时， ； 当时， ，函数在上是减函数， 函数在上是增函数。 （3）由（2）知， 当时， ，又由（1）知， 函数是偶函数， 当时， ，若， ， 则， ， 即.22（1）证明：设x*为f（x） 的峰点，则由单峰函数定义可知
10、，f（x）在0， x*上单调递增，在x*， 1上单调递减当f（x1）f（x2）时，假设x*（0，x2），则x1x2f（x1），这与f（x1）f（x2）矛盾，所以x*（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.当f（x1）f（x2）时，假设x*（ x2， 1），则x*x1f（x2），这与f（x1）f（x2）矛盾，所以x*（x1， 1），即（x1， 1）是含峰区间. （2）证明：由（I）的结论可知：当f（x1）f（x2）时，含峰区间的长度为l1x2；当f（x1）f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1x1；对于上述两种情况，由题意得 由得 1x2x11+2r，即x1x12r.又因为x2x12r，所以x2x1=2r， 将代入得x10.5r， x20.5r， 由和解得 x10.5r， x20.5r 所以这时含峰区间的长度l1l10.5r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5r （3）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1由条件x1x30.02，得x1（12x1）0.02，从而x10.34因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x10.34，x20.66，x3=0.32
