1、高考资源网（） 您身边的高考专家6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理素养目标定方向素养目标学法指导1了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(直观想象)2能够灵活运用平面向量基本定理解决相关问题.(数据分析)1平面向量基本定理沟通了数与形，同时也进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些社会架构组成的基本单位等.2在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解.3要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量正交分解的理解.必备知识探新知知识点1平面向量的基本定理如果e1，e
2、2是同一平面内的两个_不共线_向量，那么对于这一平面内的_任一_向量a，_有且只有一对_实数1，2，使a_1e12e2_.知识点2基底若e1，e2_不共线_，我们把e1，e2叫做表示这一平面内_所有_向量的一个基底.知识解读对平面向量基本定理的理解(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.(2)基底给定时，分解形式唯一.1，2是被a，e1，e2唯一确定的数值.(3)e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，20；当a与e2共线时，10；当a0时，120(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基
3、底中的向量.关键能力攻重难题型探究题型一对基底概念的理解典例1(多选)如果e1、e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(BC)Aae1e2(、R)可以表示平面内的所有向量B对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个C若向量1e11e2与2e12e2共线，则D若实数、使得e1e20，则0分析应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解.解析由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当120或120时不一
4、定成立，应为12210故选BC归纳提升(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e10，e20且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1e2与2(e1e2)等，均不能构成基底.【对点练习】(1)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么(A)A若实数m、n使得me1ne20，则mn0B空间任一向量a可以表示为a1e12e2，其中1，2为实数C对于实数m、n，me1ne2不一定在此平面上D对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，
5、n，使ame1ne2(2)设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是_.(写出所有满足条件的序号)解析(1)选项B中应为“平面内任一向量”，C中me1ne2一定在此平面上，选项D中，m，n应是唯一的，只有A正确.(2)设e1e2e1，则无解，e1e2与e1不共线，即e1与e1e2可作为一组基底；设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则无解，e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1可作为一组基底；e12e2(4e22e1)，e12e2
6、与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不可作为一组基底；设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，无解，e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2可作为一组基底.题型二用基底表示向量典例2(1)D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的中点，且a，b，给出下列结论：ab；ab；ab；a.其中正确的结论的序号为_.(2)如图，已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试用a，b表示，.分析用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.解析(1)如图，bba，正确；ab，正确；ba，b(ba)ba，正确；a
7、，不正确.(2)因为DCAB，AB2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以a，b.babba.归纳提升用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义.(2)模型：【对点练习】如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则(A)Ax，yBx，yCx，yDx，y解析()OB.x，y.题型三平面向量基本定理的应用典例3如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN的值.解析设e1，e2，则3e2e1，2e1e2A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，
8、使得e13e2，2e1e2故(2)e1(3)e2而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM4，BPPN.归纳提升(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则(2)重要结论：设e1，e2是平面内一组基底，当1e12e20时恒有120若a1e12e2当20时，a与e1共线当10时，a与e2共线120时，a0【对点练习】(1)如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.(2)如图，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若m2m，则_.解析(1)设a，b，则ab，ab，又ab
9、，()，即，.(2)与共线，存在实数，使m2m.，m2m(m1)2m().与不共线，解得.易错警示忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例4已知a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？错解由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.a，b不共线，解得t.错因分析本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解.正解由上解可知，(k33k)a(2kt)b，若a，b共线，则t可为任意实数；若a，b不共线，则有解之得t.综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t.误区警示当条件不明确时要分类讨论.【对点练习】已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy等于_3_.解析e1，e2不共线，解得，xy3- 6 - 版权所有高考资源网
