1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 4 月联考试题（乙卷）文（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ax|2x8，BxZ|x2
2、5x60，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A(0，2 a)，a(1，ba)，P 为 C 右支上一点，当|PA|PF1|取得最小值时，PA a，则 C 的离心率为 A.5 B.2 C.2 D.3 12.已知函数 f(x)22x2exe2xx(x0，e 为自然对数的底数)，g(x)lnxaxx(aR)，若函数 F(x)f(x)g(x)有零点，则 a 的取值范围为 A.(0，)B.e，)C.2 1e，)D.(，2 1e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 x，y 满足约束条件xy 10 x2y 102xy30 ，则 zx3y 的最小值为 。14.已知函数 f(
3、x)ex2x，过点(1，2)作曲线 yf(x)的切线，则函数的切线方程为 。15.已知椭圆 E：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，过坐标原点的直线交 E于 P，Q 两点，且 PF2F2Q，且2PQFS 12a2，|PF2|F2Q|4，则椭圆 E 的短轴长为 。16.已知三棱柱 ABCA1B1C1，侧棱 AA1底面 ABC，E，F 分别是 AB，AA1的中点，且 ACBC2，ACBC，AA14，过点 E 作一个截面与平面 BFC1平行，则截面的周长为 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第
4、 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校 100 名性别不同的学生进行了调查。得到如下列联表。(I)请将上述列联表补充完整；(II)判断是否有 99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关?(III)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽 6 人，现从这 6 名学生中随机抽取 2 人，求恰好有 1 名男生喜爱某种食品的概率。附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中 nabcd。18.(12 分)如图，在四棱锥 SABCD 中，SD平面 ABCD，底
5、面 ABCD 是菱形，E，F 分别为 SB，AD 的中点。(I)证明：EF/平面 SCD；(II)若BAD60，SD4，AB2，求三棱锥 CDEF 的体积。19.(12 分)在递增等差数列an中，a2a48，a1，a3，a7成等比数列。(I)求数列an的通项公式；(II)设数列nn 13a a 的前 n 项和为 Tn，证明：Tn 32。20.(12 分)已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点与抛物线 x28y 的焦点相同，且点(1，6)在椭圆上。(I)求椭圆的标准方程；(II)设过点(0，3)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且 A，B 与坐标原点 O 构成三角形，求AOB 面
6、积的最大值。21.(12 分)已知函数 f(x)mexx，(mR)。(I)当 m1 时，求 f(x)的单调区间；(II)若 f(x)有两个零点 x1，x2，当 x24x1时，不等式21xx112xmeme1 3a xax恒成立，求 a 的取值范围。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cosy2sin(为参数)，直线 l 的直角坐标方程为 xy20。(I)求曲线 C 和直线 l 的极坐标方程；(II)直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，点 P 是曲线 C 上的一个动点，求ABP 的面积的最大值。23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)|x2|x1|。(I)解不等式 f(x)20；(II)对任意的 xR，f(x)m22m 恒成立，求 m 的取值范围。
