1、广州市培正中学 2018 年高一第二学期数学必修(四)综合测试题一 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的实体 1设集合 Mx|xk218045,kZ,Nx|xk418045,kZ,那么()AMN BN M CM N DMN 2在ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA(4,3),PQ(1,5),则BC等于()A(2,7)B(6,21)C(2,7)D(6,21)3已知角 的终边过点 P(8m,6sin 30),且 cos 45,则 m 的值为()A12 B.23 C 12 D.23
2、 4.若函数 yAsin(x)(A0,0,|2)在一个周期内的图象如图所示,M,N 分 别是这段图象的最高点和最低点,且OMON0(O 为坐标原点),则 A 等于()A.6 B.712 C.76 D.73 5已知|a|2|b|,|b|0 且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹角是()A6 B3 C.3 D.23 6 已知 sin 13,(2,2),则 sin(5)sin(32)的值是()A.2 29 B19 C2 29 D.19 7已知点 A(6,2),B(1,14),则与AB共线的单位向量为 ()A(513,1213)或(513,1213)B(513,
3、1213)C(1213,513)或(1213,513)D(513,1213)8在ABC 中,(BCBA)AC|AC|2,则ABC 的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 9实数且,则连接两点的 直线与圆心在原点上的单位圆的位置关系是()A相切 B相离 C相交 D不能确定 10已知函数 f(x)3sin 2xcos 2xm 在上有两个零点,则 m的取值范围是()A1,2)B(1,2)C(1,2 D1,2 11设 O 在ABC 的内部,D 为 AB 的中点,且OAOB2OC0,则ABC 的面积与AOC 的面积的比值为()A3 B4 C5 D6 12已知函数 f(
4、x)=f(x),且当时,f(x)=x+sinx,设 a=f(1),b=f(2),c=f(3),则()A.abc B.bca C.cba D.caB.其中正确的是_.(写出所有正确说法的序号)16已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA3PB|的最小值为_ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程 17已知 tan()13,tan()sin 22 4cos210cos2sin 2.(1)求 tan()的值;(2)求 tan 的值 18设函数()求;()若,且,求的值.()画出函数在区间上的图像(
5、完成列表并作图)。19如图,G 是OAB 的重心,P,Q 分别是边 OA、OB 上的动点,且 P,G,Q 三点共线(1)设PGPQ,将OG用,OP,OQ表示;(2)设OPxOA,OQyOB,证明:1x1y是定值 yx0872111218320已知 a(5 3cos x,cos x),b(sin x,2cos x),设函数 f(x)ab|b|232.(1)求函数 f(x)的最小正周期和对称中心;(2)当 x 6,2 时,求函数 f(x)的值域;(3)该函数 yf(x)的图象可由的图象经过怎样的变换得到?21已知向量,函数的最小值为 (1)当时,求的值;(2)求;(3)已 知 函 数为 定 义 在
6、 R 上 的 增 函 数,且 对 任 意 的都 满 足 问:是否存在这样的实数 m,使不等式+对所有 恒成立,若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.22已知函数()求函数的最小正周期;()将函数的图象向右平移个单位长度,再向下平移()个单位长度后得到函数的图象,且函数的最大值为 2 ()求函数的解析式;()证明:存在无穷多个互不相同的正整数,使得 参考答案 16 CBCBDC 712 ACBABD 13.3 2 14.Z 15 165 17解(1)tan()13,tan 13.tan()sin 22 4cos210cos2sin 2 sin 24cos210cos2sin 2 2s
7、in cos 4cos210cos22sin cos 2cos sin 2cos 2cos 5cos sin sin 2cos 5cos sin tan 25tan 132513 516.(2)tan tan()tantan 1tantan 516131 516133143.18解:()2 分()由()知 由得:,4 分 8 分(其他写法参照给分)()由()知,于是有(1)列表 x 0 y 1 0 1 0 11 分(2)描点,连线函数 12 分 来源:学。科 19(1)解 OGOPPGOPPQOP(OQOP)(1)OPOQ.(2)证明 一方面,由(1),得 OG(1)OPOQ(1)xOAyOB
8、;另一方面,G 是OAB 的重心,OG23OM2312(OAOB)13OA13OB.而OA,OB不共线,由,得 1x13,y13.解得 1x33,1y3.1x1y3(定值)20 解(1)f(x)ab|b|2325 3sin xcos x2cos2x4cos2xsin2x32 5 3sin xcos x5cos2x525 32 sin 2x51cos 2x2525sin(2x6)5.,(2)f(x)5sin(2x6)5.由6 x2,得2 2x6 76,12sin(2x6)1,当6 x2 时,函数 f(x)的值域为52,10(3)略 21.(1)令,则 当时,(2),(3)易证为上的奇函数 要使成立,只须,又由为单调增函数有,令,则,原命题等价于对恒成立;,即.由双勾函数知在上为减函数,时,原命题成立 22 解析:(I)因为 所以函数的最小正周期(II)(i)将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,再向下平移()个单位长度后得到的图象又已知函数的 最 大 值 为,所 以,解 得 所 以(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得,即 由知,存在,使得 由正弦函数的性质可知,当时,均有 因为的周期为,所以当()时,均有 因为对任意的整数,所以对任意的正整数,都存在正整数,使得 亦即存在无穷多个互不相同的正整数,使得