1、广州市培正中学 2018 年高一第二学期数学必修(四)综合测试题一 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的实体 1设集合 Mx|xk218045，kZ，Nx|xk418045，kZ，那么()AMN BN M CM N DMN 2在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7)D(6，21)3已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30)，且 cos 45，则 m 的值为()A12 B.23 C 12 D.23
2、 4.若函数 yAsin(x)(A0，0，|2)在一个周期内的图象如图所示，M，N 分 别是这段图象的最高点和最低点，且OMON0(O 为坐标原点)，则 A 等于()A.6 B.712 C.76 D.73 5已知|a|2|b|，|b|0 且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有两相等实根，则向量 a 与 b 的夹角是()A6 B3 C.3 D.23 6 已知 sin 13，(2，2)，则 sin(5)sin(32)的值是()A.2 29 B19 C2 29 D.19 7已知点 A(6,2)，B(1,14)，则与AB共线的单位向量为 ()A(513，1213)或(513，1213)B(513，
3、1213)C(1213，513)或(1213，513)D(513，1213)8在ABC 中，(BCBA)AC|AC|2，则ABC 的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 9实数且，则连接两点的 直线与圆心在原点上的单位圆的位置关系是()A相切 B相离 C相交 D不能确定 10已知函数 f(x)3sin 2xcos 2xm 在上有两个零点，则 m的取值范围是()A1,2)B(1,2)C(1,2 D1,2 11设 O 在ABC 的内部，D 为 AB 的中点，且OAOB2OC0，则ABC 的面积与AOC 的面积的比值为()A3 B4 C5 D6 12已知函数 f(
4、x)=f(x),且当时，f(x)=x+sinx,设 a=f(1),b=f(2),c=f(3),则（）A.abc B.bca C.cba D.caB.其中正确的是_.（写出所有正确说法的序号）16已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程 17已知 tan()13，tan()sin 22 4cos210cos2sin 2.(1)求 tan()的值；(2)求 tan 的值 18设函数（）求；（）若，且，求的值.（）画出函数在区间上的图像（
5、完成列表并作图）。19如图，G 是OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA、OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线(1)设PGPQ，将OG用，OP，OQ表示；(2)设OPxOA，OQyOB，证明：1x1y是定值 yx0872111218320已知 a(5 3cos x，cos x)，b(sin x,2cos x)，设函数 f(x)ab|b|232.(1)求函数 f(x)的最小正周期和对称中心；(2)当 x 6，2 时，求函数 f(x)的值域；(3)该函数 yf(x)的图象可由的图象经过怎样的变换得到?21已知向量，函数的最小值为 （1）当时，求的值；（2）求；（3）已 知 函 数为 定 义 在
6、 R 上 的 增 函 数，且 对 任 意 的都 满 足 问：是否存在这样的实数 m，使不等式+对所有 恒成立，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由.22已知函数（）求函数的最小正周期；（）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为 2 （）求函数的解析式；（）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得 参考答案 16 CBCBDC 712 ACBABD 13.3 2 14.Z 15 165 17解(1)tan()13，tan 13.tan()sin 22 4cos210cos2sin 2 sin 24cos210cos2sin 2 2s
7、in cos 4cos210cos22sin cos 2cos sin 2cos 2cos 5cos sin sin 2cos 5cos sin tan 25tan 132513 516.(2)tan tan()tantan 1tantan 516131 516133143.18解：（）2 分（）由（）知 由得：，4 分 8 分（其他写法参照给分）（）由（）知，于是有（1）列表 x 0 y 1 0 1 0 11 分（2）描点，连线函数 12 分 来源:学。科 19(1)解 OGOPPGOPPQOP(OQOP)(1)OPOQ.(2)证明 一方面，由(1)，得 OG(1)OPOQ(1)xOAyOB
8、；另一方面，G 是OAB 的重心，OG23OM2312(OAOB)13OA13OB.而OA，OB不共线，由，得 1x13，y13.解得 1x33，1y3.1x1y3(定值)20 解(1)f(x)ab|b|2325 3sin xcos x2cos2x4cos2xsin2x32 5 3sin xcos x5cos2x525 32 sin 2x51cos 2x2525sin(2x6)5.,(2)f(x)5sin(2x6)5.由6 x2，得2 2x6 76，12sin(2x6)1，当6 x2 时，函数 f(x)的值域为52，10(3)略 21.（1）令，则 当时，（2），（3）易证为上的奇函数 要使成立，只须，又由为单调增函数有，令，则，原命题等价于对恒成立；，即.由双勾函数知在上为减函数，时，原命题成立 22 解析：（I）因为 所以函数的最小正周期（II）（i）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象又已知函数的 最 大 值 为，所 以，解 得 所 以（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即 由知，存在，使得 由正弦函数的性质可知，当时，均有 因为的周期为，所以当（）时，均有 因为对任意的整数，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得 亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得