1、四川省泸县第一中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 文（含解析）第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】D【解析】试题分析：因为是纯虚数，所以，所以，故选D考点：1、复数的概率；2、复数的运算2.已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，故选.3.“”是“直线与圆相切”的A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简直
2、线与圆相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线与圆相切，所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知点 P(3,4) 在角的终边上，则的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求出答案.【详解】因为点 P(3,4) 在角的终边上,所以,故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,三角函数诱导公式,属于基础题.5.函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
3、析】若要函数在区间上单调递增，只要导函数在区间上恒成立即可得解.【详解】对函数进行求导可得：，由题意可得在区间上恒成立，分离参数可得：，因，所以.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，考查了恒成立思想，属于中档题.6.设，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：设在上恒成立，由，故选C.考点：实数的大小比较7.若圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）A. 相交且过圆心B. 相交但不过圆心C. 相切D. 相离【答案】B【解析】【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不
4、在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心到直线的距离，得到直线与圆的位置关系为相交【详解】根据题意，圆参数方程为（为参数），则圆的普通方程为，其圆心坐标为，半径为2.直线的方程为（为参数），则直线的普通方程为，即，圆心不在直线上.圆心到直线距离为，即直线与圆相交.故选A.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.8.为使关于x的不等式|x1|x2|a2a1(aR)的解集在R上为空集，则a的取值范围是（）A. (0, 1)B. (1, 0)C. (1, 2)D. (, 1)【答案】B【解析】由绝对值几何意义可知，最小值为
5、1，则当，即时，满足题意9.已知a，b为正实数，向量=（a，a-4）向量=（b，1-b）若，则a+b的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】根据即可得出a（1b）b（a4）0，整理即可得出，并且a，b都是正数，从而，根据基本不等式即可得出，从而得出a+b的最小值【详解】；a（1-b）-b（a-4）=0；a+4b=2ab；，且a，b为正实数； ，当且仅当时取“=”；a+b的最小值为故选D【点睛】考查平行向量的坐标关系，根据基本不等式求最值的方法10.若是函数的极值点，则的极大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为是函数的极值点，故函数在上单
6、调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值 故选D.11.在中，角、所对的边分别为、，若，且，则下列关系一定不成立的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理，得，由正弦定理，得，或当时，为直角三角形，且，所以C，D可能成立；当时，所以，即A可能成立，因此一定不成立的是选项B考点：正弦定理与余弦定理的应用12.设函数，若时，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意变形整理为，设，利用导数求在上的最小值，求解即可.【详解】时，即，对成立.令，则令，即，解得.令，即，解得在上减函数，在上是增函数.故选：B【点睛】本题考查利用
7、导数研究函数的最值，求参数的取值范围，属于难题.第II卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：使用年限（单位：年）维修费用（单位：万元）根据上表可得回归直线方程为，据此模型预测，若使用年限为年，估计维修费约为_万元【答案】【解析】【详解】，则中心点为，代入回归直线方程可得，.当时，（万元），即估计使用14年时，维修费用是18万元.故答案为：18.14.设是曲线（为参数，）上任意一点，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：曲线曲线可化为，可得曲线表示以为圆心，半径为的圆，又是曲线上一点，则，即点两点连线的斜率，当的坐
8、标为时，有最小值为，当的坐标为时，有最大值为，所以的取值范围为考点：简单的线性规划的应用，圆的参数方程【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数与普通方程的联系，两者可进行互化，可根据实际情况选择不同的方程进行求解，同时考查简单的线性规划求最值，体现了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中求出圆的普通方程，利用的几何意义，转化为圆上的点与坐标原点之间连线的斜率问题，求出直线的斜率的范围，即可得到结论15.已知集合M(x，y) ，则在集合M中任取一点P，则点P到直线xy0的距离不小于的概率为_【答案】【解析】依题意，设P(x，y)，则，故xy1或xy1，故形成的区域如图阴影部分所示，故所求概
9、率P.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16.设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为_【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义可得，是等边三角形，由的面积为可得从而得进而可得结果.【详解】因为以为圆心，为半径的圆交于两点，由抛物线的定义可得，是等边三角形，的面积为，到准线的距离为此抛物线的方程为，故答案为.点睛：本题主要考查抛
10、物线的标准方程、定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.某班主任对全班50名学生学习积极性和对待工作的态度进行了调查，统计数据如下所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积
11、极性一般61925合计242650（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：有多大把握认为学生的学习积极性与对班级工作的态度有关系？并说明理由.本题参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828【答案】（1）； （2）有的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关，理由见解析【解析】【分析】（1）根据给数据，代
12、入古典概型的概率计算公式即可；（2）计算出的值，对照表中数据，即可得出结论.【详解】解：（1）抽到积极参加班级工作的学生的概率为抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是（2）因，因此我们有的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关.【点睛】本题考查了古典概率的计算以及独立性检验的应用，考查了计算能力，属于中档题.18.已知函数，（1）求函数的单调区间;（2）求函数的极值.【答案】（1）当时，在递增；当时，在递增，在递减；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，对函数求导后，对进行分类讨论，解含参不等式得到函数的单调区间；（2）利用（1）的结果，得到函数的图象特征，
13、进而计算函数的极值【详解】（1）函数的定义域为，因为，当时，在恒成立，所以的单调递增区间是，当时，所以的单调递增区间是，所以的单调递减区间是（2）由（1）得：当时，的单调递增区间是，所以无极值，当时，的极小值为，无极大值【点睛】函数与导数问题中，要注意定义域优先法则的应用，同时在分进行分类讨论时，要对简单的情况先讨论，拿到基本分，再去讨论复杂的情况.19.如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，是的三等分点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求多面体的体积【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).【解析】分析：（1）连接BD交AC于点G,连接EG，易证，从而得到平面；（2）推证，从而
14、证得平面，故平面平面；（3）利用割补思想，转求与.详解：（1）连接BD交AC于点G,连接EG，因为E为FD的中点，G为BD的中点，所以,又因为,，所以平面.(2)平面,.，,. （3）,因为E为PD的三等分点，,所以点E到平面ADC的距离是,即,所以.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求
15、解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值20.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹（1）求轨迹的方程；（2）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）面积最大为【解析】【分析】（1）设出点的坐标，由为线段的中点得到的坐标，把的坐标代入圆整理得线段的中点的轨迹方程；（2）联立直线和椭圆，求出的长；设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值【详解
16、】设，由题意，为线段的中点，即又在圆上，即，所以轨迹为椭圆，且方程为.联立直线和椭圆，得到，即即有设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，将代入椭圆方程得：由相切的条件得解得，则所求直线为或，故与直线的距离为，则的面积的最大值为.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题21.已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入，求出函数解析式，可得的值，利用导数求出的值，可得在点处的切线方程；（2
17、）求出函数的导函数，结合a的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.【详解】解：（1）,，则，故所求切线方程为；（2），当时，对恒成立 ，则在上单调递增，从而，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ，当时， 对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点 ，综上，a的取值范围为（0，1）.【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲
18、线，以原点为极点、轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为.，曲线的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）由曲线的参数方程能求出曲线的直角坐标系方程，从而根据能求出曲线的极坐标方程；由得到代入圆：，化简可得曲线的直角坐标方程（2）将代入，得，根据极坐标的几何意义，. 分别表示点，的极径，因此求得，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再设两点对应的参数为，根据韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）已知曲线的参数方程为（为参数），消去参数得.又 ，即曲线的极坐标方程为.
19、又由已知得代入得曲线的直角坐标方程为.（2）将代入，得.又直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，分别记两点对应的参数为，则，.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，曲线的伸缩变换，直线的参数方程的应用以及极坐标的几何意义的应用问题，其中解答中熟记曲线的伸缩变换，直线参数方程中参数的几何意义以及极坐标几何意义的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（）ab+bc+ac；（）.【答案】（）证明见解析；（II）证明见解析.【解析】【详解】（）由，得：，由题设得，即，所以，即.（）因为，所以，即，所以.本题第（）（）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
