1、3.1.2用二分法求方程的近似解主题 二分法及二分法求函数零点的步骤在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机,选手开始报价,选手说“800”,主持人说“高了”;选手说“400”,主持人说“低了”.1.如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗?提示:接下来应该猜“600”,即区间400,800的中点.2.通过这种方法能猜到具体价格吗?提示:可以,通过不断地缩小价格所在的区间,直至猜到手机的价格.3.同样,上节课我们已经知道f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(2,3)内,那么如何缩小零点所在区间(2,3)呢?
2、提示:取区间(2,3)的中点x0=2.5,验证f(2)f(2.5)0是否成立,若成立,则函数f(x)的零点在区间(2,2.5)内,否则在(2.5,3)内.结论:1.二分法的定义对于在区间a,b上_且_的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的_逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法.连续不断f(a)f(b)0两个端点2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间a,b,验证_,给定精确度.(2)求区间(a,b)的中点_.f(a)f(b)0c(3)计算f(c):若f(c)=0,则_就是函数的零点;若_,则令b=c(此时零点x0(_);若f(c)f(b
3、)0,则令_(此时零点x0(_).cf(a)f(c)0a,ca=cc,b(4)判断是否达到精确度:即|a-b|,则得到零点近似值_;否则重复(2)(4).a(或b)【微思考】1.所有函数的零点都可以用二分法求出吗?提示:不是,例如函数y=(x+)2的零点-就无法用二分法求出.2.当|a-b|时,为什么说区间a,b内的任意实数x都可以作为零点x0的近似值?提示:因为|x-x0|a-b|,所以以x作为零点x0的近似值满足精确度的要求.3.用二分法如何求方程f(x)=g(x)在区间a,b上的近似解?提示:构造:令F(x)=f(x)-g(x);定区间:确定区间a,b,使F(a)F(b)0;求解:用二分
4、法求F(x)在区间a,b上的零点的近似值.【预习自测】1.下列函数中,不能用二分法求零点的是()【解析】选B.观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续且在交点两侧函数值符号相异,则可用二分法求零点.2.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的零点时,其参考数据如下f(1.600 0)=0.200f(1.587 5)=0.133f(1.575 0)=0.067f(1.562 5)=0.003f(1.556 2)=-0.029f(1.550 0)=-0.060据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01)为()A.1.55B.1.56C.1.57D.1.58【解析】选
5、B.根据零点存在性定理,可知只有f(1.5562)f(1.5625)0,F(0)=-10,所以F(-1)F(0)0时,f(x)0;当x0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧函数值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.(2)选C.判断函数f(x)=2x-x2在各个区间两端点的符号,若满足条件f(a)f(b)0,f(1.0)=2.0-1.00,故排除A;由于f(1.4)2.639-1.960,f(1.8)3.482-3.240,故排除B;由于f(1.8)3.482-3.240,f(2.2)4.595-4.840,故可确定方程2x=x2一定有一个根位于区间(1
6、.8,2.2).【方法总结】利用二分法求函数零点必须满足的两个条件(1)图象:函数图象在零点附近是连续不断的.(2)函数值:函数在该点两侧的函数值符号相反.【巩固训练】1.如图所示,下列函数的图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是()2.用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得到f(1)0,f(1.25)0,则方程的根所在的区间为()A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定【解题指南】1.观察所给函数的图象,根据图象特点判断能否利用二分法求交点横坐标.2.按照二分法判断零点的方法,看函数值在哪个区间内符号相反.【解析】1.选A.因A
7、不满足二分法的条件,在零点的两侧函数值都是正值,故应选A.2.选A.由题意知f(1.25)f(1.5)0.1;不妨设根在(2,3)内,第二次等分,则根在区间(2,2.5)内或(2.5,3)内,此时精确度0.1;不妨设根在(2,2.5)内,第三次等分,则根在区间(2,2.25)内或(2.25,2.5)内,此时精确度0.1;不妨设根在(2,2.25)内,第四次等分,则根在区间(2,2.125)内或(2.125,2.25)内,此时精确度0.1;不妨设根在(2,2.125)内,第五次等分,则根在区间(2,2.0625)内或(2.0625,2.125)内,此时精确度0.1.满足题目要求,故至少要等分5次
8、.答案:5次【方法总结】利用二分法求方程近似解的过程步骤【巩固训练】用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度0.1)【解题指南】构造函数f(x)=2x3+3x-3,利用零点的存在性定理找出函数f(x)的正零点所在的区间,然后利用二分法求该函数的近似零点,即为原方程的近似解.【解析】令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-30,f(0)f(1)0,所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的
9、区间,如表:(a,b)中点cf(a)f(b)f (0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0(0.687 5,0.75)|0.687 5-0.75|=0.062 50.1由于|0.6875-0.75|=0.06250.1,所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.拓展类型:二分法的实际应用【典例】2017年1月18日,意大利中部发生4次5级以上地震.地震发生后,停水断电,交通受阻.已知A地到B地的电话线路发生
10、故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10km长的线路,每隔50m有一根电线杆,如何迅速查出故障所在?【解题指南】可以参照二分法求函数零点近似值的方法,以减少工作量并节省时间.【解析】如图,可首先从中点C开始检查,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段中点E检查,如此这般,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,经过7次查找,即可将故障范围缩小到50100m之间,即可迅速找到故障所在.【方法总结】(1)现实生活中,有很多问题可以用二分法来求解,例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄露等故障的查找,实验设计,资料查询等.(2)通过实际情景抽象出函数,将实际问题转化为用二分法求函数的最值.【课堂小结】1.知识总结2.方法总结(1)化归思想:把求方程f(x)=0的近似解转化为求函数y=f(x)的近似零点.(2)逼近思想:二分法是求函数零点的一种常用方法,是“逐步逼近”的数学思想的应用.
