1、三水中学高二级20152016学年度上学期期中考试数学（理科）试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，总分为150分 2.将试卷答案写在答题卷对应位置处参考公式: 球的体积公式，其中R表示球的半径.锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高一. 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1.若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A平行 B相交 C异面 D以上均有可能2.在空间中，下列命题正确的是() A经过三点确定一个平面. B垂直于同一个平面的两条直线互相平行. C平行于同一直线的两个平面平行. D垂直于同一条直线的两条直线互相平行.3. 若直线l1，l
2、2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确4.已知用斜二测画法得到它的直观图是一个直角边长为的等腰直角三角形，则的面积是（ ）A B C D5.设、是不同的直线，、是三个不同的平面，以下四个命题中为正确命题的序号是（ ） 若，则； 若，则； 若，则； 若，则.A B C D 6. 如图，三棱锥中，每个侧面与底面所成的二面角均相等， 且，垂足为O，则点O是的（）A垂心 B重心 C内心 D外心7.如图，正四棱柱中，则异面直线 与所成角的余弦值为（）ABCD8.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，
3、则在原来的正方体中()AABCD BAB与CD相交CABCD DAB与CD所成的角为609. 如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD 底面 ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）A.ACSBB.AB平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.B. C. D. 11. 与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线 的距离相等
4、的点( )A.有且只有1个 B.有且只有2个C.有且只有3个 D.有无数个12. 已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )A . B. C. D. 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.点(，)到原点的距离是 .14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示（矩形宽为1，长为1+1）,则其表面积等于 . 15. 如下图所示，在正方体中，为的中点，则在该正方体各个面上的射影可能是 .BOACD16如图，多面体OABDC，AB=2，BC=，AC=，且OA，OB，OC两两垂直，BD/CO,给出下列 5个结论： OABC
5、三棱锥OABC的体积是定值； 球面经过点O、A、B、C四点的球的直径是； 二面角ABDO等于600； 其中正确的结论的序号是_。三.解答题（本大题共5小题。共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本题满分12分)在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，是中点（1）在棱上求一点，使得平面，并证明；（2）求PC与平面所成角.18. (本题满分14分)已知四棱锥直观图及其正视图如图所示，是正方形，面,是侧棱上的动点(1)请在所给的方框里画出四棱锥的侧（左）视图和俯视图，标出相应尺寸；(2)不论点在何位置，是否都有？试证明你的结论19. (本题满分14分)PABDCO如图所示，已知为
6、圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且点在圆所在平面上的正投影为点，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值20. (本题满分16分) 如图，等腰梯形的底角为， 为边上一点，且将沿折起，使平面平面（1）求证：平面；（2）若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值；（3）在侧棱上有一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比，求的长 21. (本题满分14分)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.(1)求证：平面BCF平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试
7、求cos的取值范围三水中学高二级20152016学年度上学期期中考试答案数学（理科）一.选择题（每小题5分，共60分.）1-12 DBBCAC DDDADB二.填空题（每小题5分，共20分.）13.1 14.6+2 15. 16. 三.解答题（本大题共5小题。共70分）17（12分）解:（）当为棱中点时，平面.-2分（辅助线错扣1分）证明如下：分别为中点， -3分又平面，平面平面. -5分（）连结，为中点，, ，. -7分同理, ，.又,. -8分,平面 -9分PCO是PC与平面ABC所成角 -10分在RtPOC中，PO=OC=1，PCO=450，PC与平面ABC所成角是450 -12分18.
8、(14分)(1) 解: 侧（左）视图和俯视图如右图，6分（每个图各3分，若不标尺寸各扣1分）(2) 解: 不论点E在何位置，都有BDAE，7分证明如下：连结AC，ABCD是正方形，BDAC 8分PC底面ABCD，且BD平面PAC，BDPC 10分，又ACPCC，且AC平面PAC，PC平面PAC BD平面PAC. 13分 不论点E在何位置，都有AE平面PAC，不论点E在何位置，都有BDAE. 14分 19.（14分）解：（1）连接，由知，点为的中点，又为圆的直径，由知，为等边三角形，从而-3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面，-5分由得，平面，又平面， -6分（注：证明平面时，也可以由
9、平面平面得到，酌情给分）-6分（2）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接 -7分PABDCOE由（1）知平面，又平面，又，平面，又平面，-9分为二面角的平面角 -10分设，由得，由余弦定理得，可知，则，在中，即二面角的余弦值为 -14分法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系 -8分（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分）设，由，得，由平面，知平面的一个法向量为-10分PABDCOyzx设平面的一个法向量为，则，即，令，则， -12分设二面角的平面角的大小为，则 -13分二面角的余弦值为 -14分20. （16分）（1）
10、证明：依题意知，又，又平面平面，平面平面，平面 4分 （2）由知平面，如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则易得各点的坐标为，故的中点的坐标为故又所以异面直线和所成的角的余弦值为 10分（3）解：， 11分又由知平面，又设到平面的距离为，则 14分又，故 16分21. （14分）(1)证明:在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，AB2，AC.AB2AC2BC2.BCAC. 2分平面ACFE平面ABCD， 3分平面ACFE平面ABCDAC， 4分BC平面ABCD， 5分BC平面ACFE. 6分(2)解:由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM(0)， 7分则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0，1,0)，M(，0,1)(，1,0)，(，1,1) 8分设n1(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，由得取x1，则n1(1，)9分n2(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，10分cos11分0，当0时，cos 有最小值当时，cos有最大值 13分cos. 14分
