1、常州市教育学会学业检测高二数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（ ）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】利用分步计
2、数原理即可求解.【详解】先安排2名同学在两端，有种方法，2名老师内部全排有种方法，2名老师不相邻，需剩余同学排两个老师中间，根据分步计数原理，共有种方法，故选：B2. 疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）附：随机变量服从正态分布N（，2），则P（）0.6826，P（22）0.9544，P（33）0.9974A. 14B. 16C. 30D. 32【答案】B【解析】【分析】根据题意，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，所以，得到，进而计算可得答案.【详解】设同
3、学中每天学习的人数，根据正态分布，得，所以，所以，同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为故选：B3. 现有4名医生分别到A，B，C三所医院支援抗疫，每名医生有且只能去一所医院且每所医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】基本事件总数，甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得解【详解】解：今4名医生分别到、三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，基本事件总数，甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为故
4、选：A4. 已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】首先求的值，再根据法向量的夹角与二面角大小的关系，判断选项.【详解】，所以，又因为二面角大小与法向量夹角相等或互补，所以二面角的大小可能是或.故选：C5. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）A. B. C. D. 【答案
5、】D【解析】【分析】利用古典概型分别求出，根据条件概率公式可求得结果.【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，.故选：D.6. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 40【答案】D【解析】【分析】【详解】令x=1得a=1.故原式=的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，故选D7. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值
6、为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,，,设(x，y，z)，,，则(x，y，z)(0,0,2)0，z0，(x，y，z)(1，2,2)，y-x，令x1，则y-，u(1,-,0)，异面直线D1E与CC1的距离为d，P在D1E上运动，P到直线CC1的距离的最小值为d.故选：A.【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是
7、解题关键.8. 数列an满足a11，若，b1，且数列bn满足bn1bn（nN*），则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，且求得实数的取值范围.【详解】解：由得，则，由，得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，由，得， 因为数列满足，即，所以，又，由，得，得，综上：实数的取值范围是.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为
8、研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140m140m不喜欢n8080n合计140n80m220mn若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数，则（ ）A. 列联表中n的值为60，m的值为120B. 随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动C. 有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关D. 没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关【答案】ACD【解析】【分析】根据题意分别计算的值，填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论【详解】解：因为男性
9、喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，所以，解得，又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，所以，解得，所以选项A正确；计算，所以随机对一路人进行调查，有的可能性对方喜欢冰雪运动，选项B错误；填写列联表为：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140120260不喜欢6080140合计200200400由表中数据，计算，所以有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，选项C正确；因为，所以没有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，选项D正确故选：ACD附：（其中nabcd）P（23.841）0.05，P（26.635）0.0110. 已知Sn是等差数列an的前n项和，且S5S6，S6S7，S7S8，则（
10、 ）A. S5S9B. 该数列的公差d0C. a70D. S110【答案】BC【解析】【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可.【详解】解：由可得， 得，由得，所以等差数列的公差，故选项B正确.所以为正，从第8项起均为负. 故选项C正确.所以，故选项A不正确.，故选项D不正确.故选：BC11. 盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D则（ ）A.
11、 A与B互为对立事件B. A与C相互独立C. C与D互斥D. B与C相互独立【答案】ABD【解析】【分析】根据对立事件，互斥事件的定义可判断AC；根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断BD.【详解】对于A，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与B互为对立事件，故A正确；对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C与D可能同时发生，故C错误；对于BD， ，所以，所以A与C相互独立，B与C相互独立，故BD正确；故选：ABD12. 已知正四棱锥PABCD的棱长均为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱PA，PB的中点，则（ ）
12、A. PAOMB. 直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为C. 平面OMN平面PCDD. 四棱锥PABCD的外接球的体积为【答案】AC【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到由三线合一得到A选项正确；B选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；C选项，由线线平行证明面面平行；D选项，根据A选项的分析得出四棱锥PABCD的外接球的球心即为O点，半径为，代入公式求出外接球体积.【详解】如图1，连接OP，则OP底面ABCD，因为平面ABCD，所以POAO，由勾股定理得：因为AP=1，所以因为M为AP的中点，由三线合一得：OMAP，A正确； 如图2，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在
13、直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面OMN的法向量为，则，令，则，所以，设直线AP与平面OMN所成的角为，则，而，所以直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为，B错误；如图3，因为O为AC中点，M为PA中点，所以OM是三角形ACP的中位线，所以OMPC，因为平面PCD，平面PCD，所以OM平面PCD，同理可知：ON平面PCD，因为，平面OMN，平面OMN，所以平面OMN平面PCD，C正确；通过A选项的分析，可得：，所以四棱锥PABCD的外接球的球心即为O点，半径为，则体积为，D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知数列an是等比数列，
14、且a1a2a31，a2a3a43，则a6a7a8_【答案】243【解析】【分析】设等比数列为，根据等比数列性质求解可得，进而得到a6a7a8【详解】由题意，设等比数列为，则，故，所以故答案为：14. 如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有_种【答案】48【解析】【分析】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色.【详解】按照分步计数原理，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方
15、法；所以不同的涂色种数有种故答案为：4815. 已知四棱锥中，四边形是边长为1的正方形，平面，以P为球心为半径的球面与底面的交线长为_【答案】#【解析】【分析】设为球面与底面的交线上任意一点，由得到球面与底面的交线为以为圆心，半径为1的四分之一圆，再求交线长即可.【详解】设为球面与底面的交线上任意一点，则，又平面，平面，则，又，则，又四边形是边长为1的正方形，则的轨迹为以为圆心，半径为1的四分之一圆，故球面与底面的交线即为以为圆心，半径为1的四分之一圆，则交线长为.故答案为：.16. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，
16、则5次传球后球在甲手中的概率为_.【答案】#0.3125【解析】【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值.【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，设“次传球后球在甲手中”，则，则即，所以，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，所以5次传球后球在甲手中的概率为故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知正整数n2，（x3）n的展开式为anxna1xa0（1）若（x3）n的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；（2）若n2022，且ak是an，a
17、n1，a1，a0中的最大值，求正整数k的值【答案】（1）5 （2）505【解析】【分析】（1）令可得的展开式中各项系数和，再结合二项式系数和为求解可得n（2）根据二项式展开式的通项公式，再根据最大项满足大于等于前后两项，进而列式求解即可【小问1详解】令得的展开式中各项系数和为，二项式系数和为，由题意可知：，所以，解得或（舍去），所以；【小问2详解】二项式的通项公式为：令，解得，因此因为是中的最大项，所以18. 已知数列满足a13，a25，且，nN*（1）设bnan1an，求证：数列是等比数列；（2）若数列an满足（nN*），求实数m的取值范围【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1
18、）构造证明即可；（2）根据是等比数列，利用累加法与等比数列的求和公式可得，再根据的最大值分析即可【小问1详解】因为，所以即，又因为，所以，则，所以，数列是等比数列【小问2详解】由（1）数列是首项为2公比为的等比数列，则所以，则经检验时也符合，则又因为，所以19. 小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：m2）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i1，2，20），并计算得2400，220，42000，8400（1）求y关于x的回归直线方程；（2）已知服装店每天的经济效益Wkmx（k0，m0），该商场现有80170
19、 m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?附：在线性回归方程x中，其中，为样本平均值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据最小二乘法的公式求线性回归方程即可；（2）根据题意构造出经济效益和面积的函数关系，利用函数的性质求最值及取得最值时变量的取值即可.【小问1详解】由已知可得，所以回归直线方程为【小问2详解】根据题意得，设，令所以则，当，即时，取最大值又因为k，所以此时Z也取最大值因此，小李应该租的商铺20. 已知数列的前项和为，且（1）求，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列前项的和【答案】（1），； （2）【解析】
20、【分析】（1）取可算出，将递推关系多列一项后作差，得到新的关于的递推关系即可；（2）分组求和，前一段利用等差数列求和公式，后一段利用裂项求和，两者相加即可.【小问1详解】由题可知，解得在中令，得，解得；因为，所以，由-得：，即，所以所以数列是首项与公差都为2的等差数列，所以【小问2详解】由题可知，当时，所以当时，所以，所以综上：21. 小李下班后驾车回家的路线有两条路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立（1）若小李下班后选
21、择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由【答案】（1） （2）小李应选择路线1；理由见解析【解析】【分析】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，由对立事件概率公式计算概率；（2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则，由二项分布的期望公式得期望，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，依独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得期望，比较可得【小问1详解】
22、设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，所以至少遇到一个红灯的事件为，由对立事件概率公式，得，所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为【小问2详解】设路线1累计增加时间的随机变量为，则，所以，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则，所以因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线122. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且AA1C60，平面AA1C1C平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点（1）求证：AA1CD
23、；（2）棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角BA1MB1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析； （2）存在点M为棱中点或者为靠近端的八等分点.【解析】【分析】（1）取棱的中点O，由题可得，进而可得平面，即得；（2）利用坐标法，设，利用二面角的向量求法列出方程，即得.【小问1详解】取棱的中点O，连接因为四边形是菱形，所以，又因为，所以为等边三角形，所以因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以【小问2详解】因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系不妨设，则点设为平面的一个法向量，则由及，得，不妨取得假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，令得，设为平面的一个法向量，则由及，得，不妨取，得由，解得或，所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点
