1、第04讲二次根式的化简与应用(核心考点讲与练)一二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰二二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法一二次根式的化简求值（共10小题）1（会宁县期末）已知a+2，b2，则a2+b2的值为（）A4B14CD14+4【分析】根据二次根式的混合运算法则分别求出a+b，ab，根据完
2、全平方公式把原式变形，代入计算即可【解答】解：a+2，b2，a+b（+2）+（2）2，ab（+2）（2）1，a2+b2（a+b）22ab（2）22（1）14，故选：B【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键2（杭州期末）若a+1，b1，则a2ab+b25【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案【解答】解：a+1，b1，a+b+1+12，ab（+1）（1）211，原式a2+2ab+b23ab（a+b）23ab（2）231835故答案为：5【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型3（奉
3、化区校级期末）已知x2，则代数式（x+1）26（x+1）+9的值为2【分析】利用完全平方公式得到原式（x2）2，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：（x+1）26（x+1）+9（x+1）32（x2）2，因为x2，所以原式（）22故答案为2【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰4（永嘉县校级期中）若|a2|+b2+4b+4+0，则2【分析】利用非负数的性质得到a20，b+20，c0，解得a2，b2，c，然后根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算【解答】解
4、：根据题意得|a2|+（b+2）2+0，a20，b+20，c0，解得a2，b2，c，所以原式2212故答案为2【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰5（西湖区校级期末）已知：y+5，化简并求的值【分析】根据二次根式有意义的条件得到x4，则y5，再利用约分得到原式+，然后通分得到原式，最后把x、y的值代入计算即可【解答】解：x40且4x0，x4，y5，原式+4【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值也考查了二次根式有意义
5、的条件也考查了根式有意义的条件6（上城区校级期中）已知a，b，求ab的值为1【分析】a，b易得ab1即可【解答】解：a，b，ab（）（）321故答案为：1【点评】本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值7（余杭区模拟）已知x2+，则代数式（74）x2+（2）x的值为2【分析】将x2+代入代数式（74）x2+（2）x，先利用完全平方公式和平方差公式化简计算，再进行实数的混合运算即可得出答案【解答】解：x2+，（74）x2+（2）x（74）（2+）2+（2）（2+）（74）（7+4）+（43）4948+12故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和
6、平方差公式及二次根式的混合运算法则是解题的关键8（永嘉县校级期末）已知a+b3，ab2，则的值为【分析】根据a+b3，ab2，可以判断出a0，b0，将所求数字化简，然后a+b3，ab2代入即可解答本题【解答】解：，a+b3，ab2，a0，b0，原式，故答案为：【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法9（永嘉县校级期末）已知x，其中a是正整数，那么所有使得x为整数的a的取值之和为14【分析】首先利用二次根式有意义的条件得到a178；然后50，列举出满足条件的a的整数值，求和即可【解答】解：根据题意知，500解得a178因为a是正整数，且使得x为正整数，所以是
7、正整数当a178时，50，则在1、2、3、178中，满足14的倍数，即14n（n是正整数），同时又能整开方的数，只有14，即和为14故答案是：14【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，此题的难点是根据二次根式有意义的条件求得a的取值范围，结合条件确定a的取值10（永嘉县校级期末）已知x+1，y1，则x25xy+y2+67【分析】根据已知条件先求出xy和xy的值，再把要求的式子变形为（xy）23xy+6，然后代值计算即可【解答】解：x+1，y1，xy+1（1）2，xy1，x25xy+y2+6（xy）23xy+6223+67；故答案为：7【点评】此题考查了二次根式的化简求
8、值，用到的知识点是完全平方公式和平方差公式，关键是对要求的式子进行变形二二次根式的应用（共8小题）11（鄢陵县期末）方程的解为（）ABCD【分析】两边同时除以后即可求得方程的解【解答】解：方程两边同时除以得：x，故选：B【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是能够进行分母有理化，难度不大12（奉化区校级期末）已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x9时，max81当max时，则x的值为（）ABCD【分析】直接利用已知分别分析得出符合题意的答案【解答】解：当max时，解得：x，此时xx2，符合题意；x2，解得：x；此时xx2，不合题意；x，xx2，不合题意；故只有x时，max故选：C【
9、点评】此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键13（锡山区期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为24cm2【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案【解答】解：两个小正方形面积为8cm2和18cm2，大正方形边长为：+2+35（cm），大正方形面积为（5）250（cm2），留下的阴影部分面积和为：5081824（cm2）故答案为：24cm2【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键14（余姚市期末）如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影
10、部分的面积为（）A83B93C33D32【分析】根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解【解答】解：两个相邻的正方形，面积分别为3和9，两个正方形的边长分别为，3，阴影部分的面积（3）33故选：C【点评】本题考查了有理数的乘方，正方形的性质，是基础题，熟记概念并求出两个正方形的边长是解题的关键15（盂县月考）阅读与计算：古希腊的几何学家海伦，在他的著作度量一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p（a+b+c），则三角形的面积为：SABC（海伦公式），若ABC中，BC4，AC5，AB6，请利用上面公式求出AB
11、C的面积【分析】先求出p，再代入海伦公式中计算即可【解答】解：BC4，AC5，AB6，p（4+5+6），S【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是读懂题意，理解公式的意思16（天河区校级月考）若矩形的长a，宽b（1）求矩形的面积和周长；（2）求a2+b220+2ab的值【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案【解答】解：（1）矩形的长a，宽b矩形的面积为：（+）（）651；矩形的周长为：2（+）4；（2）a2+b220+2ab（a+b）220（+）220（2）22024204【点评】此题主要考查了二次根式的混
12、合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键17（永嘉县校级期末）解方程：，得x【分析】去分母、移项，据此求出方程的解是多少即可【解答】解：去分母得：3x+4x，移项得：x，故答案为：【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法和二次根式的乘法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为118（乌苏市期末）矩形相邻两边长分别为，则它的周长是6，面积是4【分析】利用矩形的周长和面积计算公式列式计算即可【解答】解：矩形的周长是2（+）2（+2）6，矩形的面积是4故答案为：6，4【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握矩形的周长和面积计算方法是解决问题的关键题组A 基础过
13、关练一选择题（共6小题）1（诸暨市月考）将一组数据，3，2，3，按下面的方法进行排列：，3，2，；3，2，3，；若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的数的位置记为（）A（5，2）B（5，3）C（6，2）D（6，5）【分析】根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到3所在的位置【解答】解：由题意可得，每五个数为一行，3，90330，3056，故3位于第六行第五个数，位置记为（6，5），故选：D【点评】本题考查的是二次根式的性质，掌握二次根式的性质、正确找出规律是解题的关键2（越城区模拟）已知a+，b，那么a、b的关系为（）Aa+bBab0Ca
14、b1D2【分析】利用a、b的值分别计算出它们的和、差和积，然后对各选项进行判断【解答】解：a+，b，a+b2，ab2，ab321，（+）25+2故选：C【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰3（温州期中）若x2，则代数式x24x+7的值为（）A7B6C6D7【分析】先移项得到x2，两边平方得到x24x1，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：x2，x2，（x2）23，x24x+43，即x24x1，x24x+71+76故选：B【点评】本题考查了二次根式的化简求
15、值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰4（鹿城区校级期中）已知a3，b2+，则代数式（a26a+9）（b24b+4）的值是（）A20B16C8D4【分析】先将（a26a+9）（b24b+4）变形为（a3）（b2）2，再将a3，b2+，代入求值即可【解答】解：（a26a+9）（b24b+4）（a3）2（b2）2（a3）（b2）2当a3，b2+时，原式（33）（2+2）2（2）24故选：D【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练运用完全平方公式是解题的关键5（镇海区期末）已知直角三角形的两条直角边
16、的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（）A16B8C163D【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别为：和，这个直角三角形的面积为：故选：D【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键6（椒江区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么图中阴影部分的面积为（）ABCD【分析】设两个正方形的边长是x、y（xy），得出方程x23，y29，求出x，y3，代入阴影部分的面积是（yx）x求出即可【解答】解：设两个正方形的边长是x、y（xy），则x23，y29，x，y3，则阴影部分的面积是（yx）x（3）33
17、，故选：B【点评】本题考查了算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力二填空题（共4小题）7（天台县期末）已知x+1，y1，则x2y2【分析】先分解因式，再代入比较简便【解答】解：x2y2（x+y）（xy）224【点评】注意分解因式在代数式求值中的作用8（西湖区期末）已知a2，则+a0【分析】根据二次根式的性质即可求出答案【解答】解：当a2时，原式|a|+aa+a0；故答案为：0【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型9（温州期中）当x时，二次根式的值是2【分析】把x代入已知二次根式，通过开平方求得答案【解答】解：把x代入中，得2，故答案为：2【点评】本
18、题考查了二次根式的化简求值此题利用代入法求得二次根式的值10（奉化区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为33【分析】设两个正方形的边长是x、y（xy），得出方程x24，y29，求出x2，y3，代入阴影部分的面积是（yx）x求出即可【解答】解：设两个正方形的边长是x、y（xy），则x23，y29，x，y3，则阴影部分的面积是（yx）x（3）33，故答案为：33【点评】本题考查了算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力三解答题（共3小题）11（越城区校级月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点（1）用二次根式表示点
19、P与点A的距离；（2）当x4，y时，连接OP、PA，求PA+PO；（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式yx+1，求+的值【分析】（1）利用两点间的距离公式进行解答；（2）利用两点间的距离公式求得OP、PA，然后求PA+PO；（3）把yx+1代入所求的代数式进行解答【解答】解：（1）点P与点A的距离：；（2）x4，y，P（x，y），A（1，0），P（4，），PA2，PO3，则PA+PO2+3；（3）点P位于第二象限，x0，y0，又yx+1，+|x|+|y|x+yx+x+11即+的值是1【点评】本题考查了二次根式的应用熟记两点间的距离公式是解题的难点12（临海市期末）计算：（1）+|；（2）
20、已知x+1，求代数式x22x+3的值【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案【解答】解：（1）+|2+3；（2）当x+1时，x22x+3x22x+1+2（x1）2+25+27【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、合并同类二次根式的法则是解题的关键13（二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板（1）求剩余木料的面积（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条【分析】（1）根据二次根式的性
21、质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答【解答】解：（1）两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，剩余木料的面积为（43）36（dm2）；（2）434.5，12，从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键题组B 能力提升练一选择题（共3小题）1（铁东区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）A16cm2B40 cm2C8c
22、m2D（2+4）cm2【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2162416+16+24162416（cm2）故选：A【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键2（永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示则图中两块阴影部分的周长和
23、是（）A4cmB16cmC2（+4）cmD4（4）cm【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y，则图中两块阴影部分周长和是2+2（42y）+2（4x）2+444y2x2+162（x+2y）2+16216（cm）故选：B【点评】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键3（宁波自主招生）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（）A3BC2D【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（xa）0，a（ya）0，xa0，ay0，推出a0，a0，得到a0，代
24、入即可求出yx，把yx代入原式即可求出答案【解答】解：由于根号下的数要是非负数，a（xa）0，a（ya）0，xa0，ay0，a（xa）0和xa0可以得到a0，a（ya）0和ay0可以得到a0，a只能等于0，将a0代入等式得0，xy，即：yx，由于x，y，a是三个不同的实数，x0，y0将xy代入原式得：原式故选：B【点评】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键二填空题（共6小题）4（永嘉县校级期中）若，则6【分析】对变形，得，因为各项均为非负数，故可求得x、y、z的值，代入中即
25、可【解答】解：根据题意，即，得x2，y6，z3；所以【点评】本题考查的是非负数的性质及二次根式的化简和求值5（萧山区期末）已知x+1，则代数式x22x+1的值为2【分析】根据x的值和完全平方差公式可以解答本题【解答】解：x+1，x22x+1（x1）2（+11）2（）22，故答案为：2【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法6（浙江自主招生）设ab2+，bc2，则a2+b2+c2abacbc15【分析】将ab2+和bc2相加，得到ac4，再将a2+b2+c2abacbc转化成关于ab，bc，ac的完全平方的形式，再将ab2+，bc2和ac4整体代入即可【解答
26、】解：ab2+，bc2，两式相加得，ac4，原式a2+b2+c2abbcac15【点评】此题考查了对完全平方公式及整体代入的掌握情况，有一定的综合性，但难度不大7（锦江区校级期中）若，则m3，n2【分析】将已知的等式的左边被开方数中的5变形为2+3，根据平方根的定义将2变为，3变为，同时将2化为2，符合完全平方公式的特点，利用完全平方公式变形后，再利用二次根式的化简公式|a|化简后，根据大于，利用绝对值的代数意义化简，与等式右边比较，即可求出m与n的值【解答】解：，即0，|，又，则m3，n2故答案为：3；2【点评】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：平方根的定义，二次根式的化简公式，完
27、全平方公式，以及绝对值的代数意义，其技巧性较强，灵活变换等式左边的被开方数是解本题的关键8（绍兴期中）求当a1+，b时，代数式2a2+b24a+2的值为12【分析】原式配方变形后，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：原式2（a22a+1）+b22（a1）2+b2，当a1+，b时，原式10+212，故答案为：12【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键9（台州期中）若a3，则a26a+9的值为7【分析】将a的值代入a26a+9（a3）2计算可得【解答】解：当a3时，a26a+9（a3）2（33）2（）27，故答案为：7【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的
28、关键是掌握完全平方公式和二次根数的运算顺序及运算法则三解答题（共6小题）10（鄞州区月考）已知a（1）求a24a+4的值；（2）化简并求值：【分析】（1）先将a化简，然后通过配方法将原式化简，最后代入a求值（2）将原式先化简，然后代入a的值求解【解答】解：（1）a2，a24a+4（a2）2，将a2代入（a2）2得（）23（2），（a1），a2，a110，原式a1+21+2+3【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握因式分解与分式化简的方法，掌握分母有理化的方法11（仙桃校级模拟）（1）计算：（2）已知x22x+15，求代数式的值【分析】（1）根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值可以解
29、答本题；（2）根据完全平方公式可以将所求式子化简，然后根据x22x+15，可以得到x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（1）2+929；（2）x2+2x+2（x22x+2）x2+2x+2x2+2x24x，由x22x+15，可得x13，x25，当x3时，原式12；当x5时，原式20【点评】本题考查二次根式的化简求值、负整数指数幂、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法12（镇海区期末）计算：（1）；（2）已知|a|+0，求a22+2+b2的值【分析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；（2）根据|a|+0，可以得到a、b的值，然后将所求式子变形，再将a、b的值
30、代入即可解答本题【解答】解：（1）4+24+24+；（2）|a|+0，a0，b20，a，b2，a22+2+b2（a）2+b2（）2+2202+40+44【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法13（长岭县期末）已知x2，y2+，求x2+xy+y2的值【分析】先分别求出x+y，xy的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可，【解答】解：x2，y2+，x+y4，xy431，x2+xy+y2（x+y）2xy42115【点评】本题考查了二次根式的性质和完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力14（西湖区校级期中）（1）计算（）+；（2）
31、已知x，y2，求3x22xy+3y2的值【分析】（1）先化简各二次根式，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）先计算出x+y和xy的值，再代入原式3（x+y）28xy计算可得【解答】解：（1）原式（2）+6（+）6+6（+）6+6+67；（2）x，y2，x+y2，xy13x22xy+3y23（x2+2xy+y22xy）2xy3（x+y）28xy3（2）28（1）44【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则15如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形ABC，点D是边AB的中点，中柱CD2，AB2，求ABC的周长及面积【分析】根据点D为AB的中点，三角形ABC为等腰三角形，可得CDAB，并且求出AD和BD的长度，在RtACD中求出AC的长度，同理可求出BC的长度，继而以求得ABC的周长及面积【解答】解：在等腰三角形ABC中，点D是边AB的中点，CDAB，ADBD，在RtACD中，AD，CD2，AC3，同理可得，BC3，则ABC的周长为3+3+28，面积为226【点评】本题考查了二次根式的应用以及勾股定理的应用，解答本题的关键是得出CD为三角形ABC的高，并且运用勾股定理求出等腰三角形的腰长，难度一般
