1、专题1.15二次根式（常考考点专题）（巩固篇）一、单选题【类型一】定义与概念的理解【考点一】二次根式概念二次根式复合二次根式1下列式子中是二次根式的是（）ABCD2化简为（）ABCD1【考点二】最简二次根式概念判断化简求参数3下列二次根式中，是最简二次根式的是（）ABCD4下列实数中是无理数是（）ABCD【考点三】同类二次根式概念判断化简求参数5下列根式中与是同类二次根式的是（）ABCD6如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（）A1B2C4D10【考点四】分母有理化化简求值7已知，则的值为（）A2B2C2D-28已知a，b2+，则a，b的关系是（）A相等B互为相反数C互为倒数D互为有理化因
2、式【类型二】二次根式的性质双重非负性【考点一】二次根式二次根式的意义9x取下列各数时，使得有意义的是（）A0BCD10已知，化简二次根式的值是（）ABCD【考点二】二次根式二次根式的化简11已知，则二次根式化简后的结果为（）ABCD12已知实数a满足，那么的值是（）A2023B2022C2021D2020【类型三】二次根式的运算【考点一】二次根式运算二次根式的乘法13的一个有理化因式是（）ABCD14在中，则的面积是（）A5BC10D【考点二】二次根式运算二次根式的除法15下列各式计算正确的是（）ABCD16若与互为相反数，则的值是（）ABCD【考点三】二次根式运算二次根式的乘除法17下列各式
3、正确的是 ()A 9B(4)28CD7418计算2的结果是（）ABCD【考点四】二次根式运算二次根式的加减法19计算：的结果为（）A1B2C3D20已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（）ABC2D1【考点五】二次根式运算二次根式的混合运算21估计的值应在（）A和之间B和之间C和之间D和之间22下列计算正确的是（）ABCD【类型四】二次根式的化简求值【考点一】二次根式化简求值直接化简求值23已知时，则代数式的值（）A1B4C7D324若x4，则代数式x2+8x16的值为（）A25B11C7D25【考点二】二次根式化简求值条件式化简求值25若+（a4）20，则化简的结果是（）ABCD26已知，
4、则的值为（）ABCD【考点三】二次根式化简求值比较大小27估算的值应在（）A4和5之间B5和6之间C6和7之间D7和8之间28比较大小错误的是（）AB21C6D|1|1【类型五】二次根式的应用【考点一】二次根式的应用几何问题古代问题29如图，长方形内，两个小正方形的面积分别是18，2，则图中阴影部分的面积为（）A4B9C6D30九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数
5、除以除数得结果，即出南门里见到树，则若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）A里B里C里D里【考点二】二次根式的应用规律问题最值问题31如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2022行从左向右数第2021个数是（）A2021BCD32代数式的最小值是（）A0B3CD不存在二、填空题【类型一】定义与概念的理解【考点一】二次根式概念二次根式复合二次根式33已知点的坐标满足，且，则点的坐标是_34化简的结果为_【考点二】最简二次根式概念判断化简求参数3
6、5下列各式： 是最简二次根式的是:_（填序号）36若和都是最简二次根式，则m+n_【考点三】同类二次根式概念判断化简求参数37若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是_38若最简二次根式和能合并，则_【考点四】分母有理化化简求值39解不等式：的解集是_40当时，代数式的值是_【类型二】二次根式的性质双重非负性【考点一】二次根式二次根式的意义41当x_时，代数式有意义42已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为_.【考点二】二次根式二次根式的化简43当时，化简：_44若，则_【类型三】二次根式的运算【考点一】二次根式运算二次根式的乘法45计算：=_46当时，化简的结果是_【考点二
7、】二次根式运算二次根式的除法47的倒数是_48化简的结果是_【考点三】二次根式运算二次根式的乘除法49计算结果是_50设，用含的代数式表示，结果为_【考点四】二次根式运算二次根式的加减法51已知是的整数部分，是的小数部分，则_52若与是可以合并的二次根式，则这两个二次根式的和是_【考点五】二次根式运算二次根式的混合运算53不等式的解集是_54的整数部分为，小数部分为，则_【类型四】二次根式的化简求值【考点一】二次根式化简求值直接化简求值55若，则的值为_56若x1，则x_【考点二】二次根式化简求值条件式化简求值57已知，那么的值为_.58已知x，则的值等于_【考点三】二次根式化简求值比较大小5
8、9比较大小：_60满足不等式的整数m的个数是_【类型五】二次根式的应用【考点一】二次根式的应用几何问题古代问题61已知，为三个正数，当代数式取最小值时_62我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦秦九韶公式若，则此三角形的面积为_【考点二】二次根式的应用规律问题最值问题63已知一列数：，认真观察发现其中的规律，用含有（正整数）的代数式表示第个数是_64已知aa+1（a为正整数），是整数，当b取最小值时，则ab_参考答
9、案1C【分析】利用二次根式的定义进行解答即可解：A、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、中当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；D、中被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C【点拨】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如()的式子叫做二次根式2C【分析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值解：.故选C.【点拨】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数3C【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可解：A. ，故A不符合题意；B. ，故B不符合题
10、意；C. 是最简二次根式，故C符合题意；D. ，故D不符合题意故选：D【点拨】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的特点被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解答本题的关键4B解：，所以是无理数，其余的都是有理数，即是无理数故选：B【点拨】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键5C【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可解：A. ，与不是同类二次根式，不符合题意；B. ，与不是同类二次根式，不符合题意；C. ，与是同类二次根式，符合题意；D. ，与不是同类二次根式，不符合题意故选：C【点拨】本题主
11、要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键6A【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可解：，最简二次根式与能够合并，故选：A【点拨】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键7B【分析】根据所给字母的值，直接代入求值即可解：，故选：B【点拨】本题考查代数式求值，涉及到分母有理化及实数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键8A【分析】求出a与b的值即可求出答案
12、解：a+2，b2+，ab，故选：A【点拨】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型9A【分析】根据二次根式有意义求出x的取值范围，即可得出答案解：由题意得，解得：，只有A选项符合题意，故选：A【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数10C【分析】根据二次根式有意义的条件求出，求出、的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可解：由二次根式有意义的条件求出，故选：C【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键11D【分析】由题意可得，再根据二次根式的性质化简即可解：
13、由题意可得：故选：D【点拨】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质12A【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得解：由题意得：，即，则，故选：A【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键13A【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题解：A，就是的一个有理化因式，故A符合题意；B，不是的一个有理化因式，故B不符合题意；C，不是的一个有理化因式，故C不符合题意；D，不是的一个有理化因式，故D不符合题意；故选：A【点拨】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化
14、的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键14A【分析】根据勾股定理的逆定理可以判定ABC是直角三角形，再求出其面积就可解决问题解：，AB2+BC2=，AC2=25，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，B=90，故选：A【点拨】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是已知三角形三边，利用勾股定理的逆定理可以判断三角形形状，属于中考常考题型15B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可解：，选项不正确，不符合题意；B，选项正确，符合题意；C，选项不正确，不符合题意；D，选项不正确，不符合题意故选：B【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地
15、进行计算是解题的关键16A【分析】先利用相反数的含义可得，再利用非负数的性质求解、从而可得答案.解：与互为相反数，且解得：，故选：A【点拨】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，二次根式的除法运算，利用非负数的性质求解，是解本题的关键.17D【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可解：A3，故该选项错误；B(4)232，故该选项错误；C=3，故该选项错误；D4，7，即47，74，故选：D【点拨】本题考查了二次根式的运算和求算数平方根，熟悉相关性质是解题的关键18C【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案解：原式=3=故选C【点拨】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键
16、是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型19D【分析】根据实数的运算法则计算即可解：故选：D【点拨】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则20C【分析】估算无理数的大小，得到m，n的值，代入代数式求值即可得出答案解：，故选：C【点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的加减运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键21A【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出的近似值，进而得解解：，估计的值应在和之间故选：A【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键22B【分析】根据二次根式加法法则计算并
17、判定A；根据二次根式乘法法则计算并判定B；根据二次根式性质化简并判定C；根据二次根式混合运算法则计算并判定D解：A和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；B，故本选项符合题意；C，故本选项不符合题意；D，故本选项不符合题意；故选：B【点拨】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键23C【分析】先把变形得到，再两边平方可得到，最后整体代入计算即可解：，即，.故答案为：【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握整体代入的思想是解答本题的关键24A【分析】将已知变形，得到，即可得到答案解：，即，故选：A【点拨】本题考查与二次根式相关的代数式求
18、值，将已知变形，得到是解题的关键25A【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得解：由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：，解得，则，故选：A【点拨】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键26A【分析】把原式化简为含ab、a-b的形式，再整体代入计算解：，(a+1)(b1)=aba+b1=ab(ab)1= (21)1=.故选A.【点拨】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.27D【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与比较，即可得到解答解：原式=且49
19、5464，即，故选D【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键28D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可解：A、由于57，则，故正确；B、由于26+2=8，而8=9-11，则21，故正确；C、由于，则，故正确；D、由于，故错误故选：D【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键29A【分析】由两个小正方形的面积分别为18、2，得出其边长分别为和，则阴影部分的长等于（），宽等于的长方形，从而可得答案解：面积为18的正方形的边长为：，面积为2的正方形的边长为：，则阴影部分面积为：4，故选：A【点
20、拨】本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大30D【分析】根据题意得出，进而可得出EFGFAGBE10，结合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可解：因为1里=300步，则由图知步=4里，步=2.5里，由题意，得，则，所以该小城的周长为，当且仅当时等号成立故选D【点拨】本题考查基本不等式的实际应用，考查数学运算和直观想象的能力，属于中档题31C【分析】经观察发现，第n行共有2n个数，且第n行的第个数为，从而得出答案解：经观察发现，第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n，第2022行从左向右数第2022个数是2022，第2022行从左向右数第2021个数是故选：C【点
21、拨】本题考查了二次根式的性质，探索规律，发现第n行的第n个数为是解题的关键32B【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解解：若代数式+有意义，则，解得：x2，由，都随x的增大而增大，当x2时，代数式的值最小，即+1+0+23故选：B【点拨】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围33【分析】先根据二次根式求出y,再根据要求求出x即可.解：y=4，x=-3P为.【点拨】本题考查的是坐标，熟练掌握绝对值和二次根式是解题的关键.34【分析】先把化为平方的形式，再根据
22、化简即可求解解：原式故答案为：【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键35【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案解： 是最简二次根式，故答案为【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式366【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值解：由题意可得：解得：m+n6故答案：6【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为
23、137【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，解：由题意可得：，解得的平方根为故答案为：【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键385【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可解：最简二次根式和能合并，最简二次根式和是同类二次根式，故答案为：5【点拨】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到是解题的关键39【分析】按照解不等式的一般步骤求解即可解：，即，故答案为：.【点拨】本题考查了解不等式，和分母有理化，掌握分母有理
24、化是解题的关键.405【分析】把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可解：，故答案为：【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握41【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行解答即可解：由题意得：，解得：，故答案为：【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是要注意x应同时满足这两个条件4215【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可解：，解得：，若等腰三角形ABC的三边分别为，则，不能构成三角形；若等腰三角形ABC的三边分别
25、为，则此三角形周长为，故答案为：【点拨】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握基础知识点是解本题的关键431【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质计算即可解：，故答案为：1【点拨】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟记：是解题的关键442021【分析】根据二次根式有意义得，再由绝对值的性质化简得到，把a的值代入所求的式子求解即可解：要使有意义，则，解得，故答案为：2021【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、实数的运算，理解二次根式的被开方数是非负数是解题的关键45#【分析】先把原式写成，然后再运用积的乘方法则的逆用运算即可解：，故答案为
26、：【点拨】本题考查了二次根式的乘法和乘方运算，灵活运用积的乘方和同底数幂的乘法法则是解答本题的关键46【分析】根据二次根式乘法公式得到，再根据二次根式的性质化简即可得到结论解：，故答案为：【点拨】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决问题的关键47#【分析】根据倒数的定义解答即可解：，的倒数是故答案为【点拨】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键48#【分析】根据二次根式的除法法则计算即可解：故答案为：【点拨】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键49【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可解
27、：=故答案为【点拨】本题考查了二次根式乘除运算，掌握二次根式乘除混合运算法则是解答本题的关键50【分析】将化简后，代入a，b即可解：，故答案为：【点拨】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，解题的关键是将化简变形，本题属于中等题型51【分析】根据有理数的估算可知的整数部分是，小数部分是，进而得出的值，代入计算即可解：，的整数部分是，的整数部分是，是的整数部分，是的小数部分，故答案为：【点拨】本题考查了无理数的估算，实数的运算，根据题意得出相应式子的整数部分和小数部分是解本题的关键52【分析】先根据同类二次根式的定义确定p的值，然后再确定两个二次根式，最后合并即可解：是二次根式，解得，+=故答案
28、为【点拨】本题主要考查了同类二次根式的定义、二次根式的性质等知识点，根据同类二次根式的定义确定p的值是解答本题的关键53#【分析】通过移项，合并，系数化1，根据不等式的性质即可求出的解集解：故答案为：【点拨】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型54【分析】先把化简为，然后根据夹逼法求出a，b的值，最后代入计算即可解：，的整数部分为1，小数部分为，即整数部分为1，小数部分为，故答案为：【点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，把化简为，然后根据夹逼法求出a，b的值是解题的关键552023【分析】根据完全平方公式把原式变形，把a
29、的值代入计算即可解：，故答案为：2023【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，熟记完全平方公式是解题的关键562-【分析】代入代数式，展开化简计算解：x1，x=2-，故答案为：2-【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，正确进行完全平方公式的展开是解题的关键57【分析】根据已知条件求出的值，再由：，即可得出答案解：解:，得：，故答案为：.【点拨】本题考查完全平方公式的变形运用，能利用已知条件求出，再将化为平方形式，再化回来是关键584【分析】先求出x、的值，再代入代数式即可解：故答案为：4【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是先化简再代入，这是代数式求值的一般步骤59【分析】先求出与
30、的倒数，然后进行大小比较解：而，故答案为：【点拨】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小607【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数解：，m，3.312m10.472，3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，整数m的个数是7，故答案为：7【点拨】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式61#【分析】根据题意得，再根据非负数的性质得，求出、的值，代入计算即可解：代数式取最小值，代数式，解得：，a，为三个正数，故答案为：【点拨】本题考查了二次根式的应用、非负数的性质，掌握这二个知
31、识点的综合应用，其中根据题意列出等式是解题关键62【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可解：，三角形的面积=故答案为：【点拨】本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握（a0，b0）是解题的关键63【分析】将这一列数转化为，归纳分母及分子中根号下数字的变化规律，即可得解解：第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，第5个数为，所以第n个数为故答案为：【点拨】本题主要考查了数字的变化规律，灵活运用二次根式的性质进行二次根式化简的逆运算是解题关键642【分析】先计算，再根据取值范围即可判断a的值，化简，即可找到符合题意得b值，即可求解解：由题意，a为正整数a2，且是整数故b的最小值为0ab2故答案为：2【点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，确定的取值范围是求出a值的关键.
