1、高三数学（理）一轮复习 教案 第十一编 概率统计 总第58期11.5 古典概型基础自测1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 .答案 2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为 .答案 3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是 .答案 4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 .答案 5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N：“至少一次正面朝上” .则P(M)= ,P(N)= .答案 例题精讲 例1
2、 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.解 （1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2
3、），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是109=90种，即基本事件总数是90.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断
4、题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为64=24.P（A）=.（2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为43=12.由古典概型概率公式，得P（B）=,由对立事件的性质可得P（C）=1-P（B）=1-=.例3 （14分）同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不
5、同的结果.7分（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P=.10分（2）方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率P=.14分方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P=，所以至少有一个5点或6点的概率为1-=.14分巩固练习 1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有
6、如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=. 故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.2.（2008山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.（1）求
7、A1被选中的概率；（2）求B1和C1不全被选中的概率.解 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间=(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2, B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1), (A3,B3,C2)由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因
8、此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M=(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)事件M由6个基本事件组成，因而P（M）=.（2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于=（A1,B1,C1）,(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)，事件有3个基本事件组成，所以P（）=，由对立事件的概率公式得P（N）=1-P（）=1-=.3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率:（1）A:取出的两
9、球都是白球；（2）B：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.取出的两个球全是白球的概率为P（A）=.（2）从袋中的6个球中任取两个，其中1
10、个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个.取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率P（B）=.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则P10 P1（填“”“”或“=” ）.答案 =2. 采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体
11、a被抽到的概率为 .答案 3.有一个奇数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 .答案 4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .答案 5.设集合A=1，2，B=1，2，3，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a,b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2n5，nN），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为 .答案 3和46.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点
12、P在直线x+y=5下方的概率是 .答案 7.（2008江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 .答案 8.（2008上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.答案 二、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率P（A）；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P1=.（2
13、）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共54=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P2=.（3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有32=6种基本事件，P3=.（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4=.10. 箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有A种方法，从a个正品
14、中不放回抽样3次共有A种方法，可以抽出3个正品的概率P=.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有C种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有C种方法，可以取出3个正品的概率P=.两种方法结果一致.（2）从a+b个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b种方法，所以共有（a+b）3种不同的方法，而3个全是正品的 抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率P=.11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球
15、的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.解 （1）设袋中有n个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是.从袋中任取2个球的所有可能的结果数为=21.由题意知=，n（n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2).故袋中原有3个白球.（2）记“取球2次终止”为事件A，则P（A）=.（3）记“甲取到白球”的事件为B， “第i次取到白球”为Ai，i=1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球.所以P（B）=P（A1+A3+A5）.因此A1，A3，A5两两互斥，P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5）=+=+=.12.（2008海南、宁夏文，19）为了
16、了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解 (1)总体平均数为(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P（A）=.
