1、第八节 二项分布、正态分布及其应用【知识梳理】1.条件概率(1)定义:设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)=_为在 _发生的条件下,_发生的条件概率.P(AB)P(A)事件A 事件B(2)性质:条件概率具有一般概率的性质,即0P(B|A)1;如果B,C是两个互斥事件,则P(BC|A)=_+_.P(B|A)P(C|A)2.相互独立事件(1)定义:设A,B是两个事件,若P(AB)=_,则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与_,_与B,与_也都相互独立.P(A)P(B)BAAB3.独立重复试验概率公式 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,若用
2、Ai(i=1,2,n)表示第i次试验的结果,则P(A1A2A3An)=_.P(A1)P(A2)P(A3)P(An)4.二项分布的定义 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次 试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=_,k=0,1,2,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作 XB(n,p),并称p为成功概率.kkn knC p(1 p)5.正态曲线的定义 函数,(x)=_,x(-,+),其中实数和(0)为参数,称,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.22(x)21e26.正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)=,(x)dx,则
3、称随机变量X服从正态分布,记作 N(,2).ba7.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴的_,与x轴不相交.(2)曲线是单峰的,它关于直线_对称.(3)曲线在_处达到峰值(4)曲线与x轴之间的面积为1.上方 x=x=1.2(5)当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变 化而沿_平移.(6)当一定时,曲线的形状由确定.越小,曲线越“_”,表示总体的分布越_;越大,曲线越“_”,表示总体的分布越_.x轴 瘦高 集中 矮胖 分散 8.3原则(1)P(-X+)=_.(2)P(-2X+2)=_.(3)P(-3X+3)=_.0.6826 0.9544 0.9974【特别提醒】1.“相互独立”和“事件互斥”的区
4、别 两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独立是一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立,不一定互斥.2.掌握常见五个事件的含义(1)A,B中至少有一个发生的事件为AB.(2)A,B都发生的事件为AB.(3)A,B都不发生的事件为(4)A,B恰有一个发生的事件为(5)A,B至多一个发生的事件为 AB.ABAB.ABABAB.3.二项分布是在独立重复试验中产生的,离开独立重复试验不存在二项分布.4.若XB(n,p),则当k由0增大到n时,P(X=k)先由小到大然后由大到小,且当k取不超过(n+1)p的最大整数时P(X=k)最大.【小题快练】链接教材 练一练 1.
5、(选修2-3P59习题2.2B组T1改编)甲、乙两人进行围 棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜出三局 则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲 以31的比分获胜的概率为()2386448A.B.C.D.278199【解析】选A.前三局中甲获胜2局,第四局甲胜,则 2232228PC()(1).333272.(选修2-3P58练习T1改编)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为_.11170 69 68，【解析】依题意得,加工出来的零件的正品率是 因此加工出来的零件的次 品率是 答案:11167(1)(1)(
6、1)70696870，6731.7070370感悟考题 试一试 3.(2015湖北高考)设XN(1,),YN(2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()2122A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)【解析】选C.由图可知12,012.选项 具体分析 结论 A 应为P(Y2)P(X1).错误 C 对任意正数t,P(Xt)P(Yt)是对的.正确 D 对任意正数t,P(Xt)P(Yt)与C相反,是错的.错误 4.(2015全国卷)投篮测试中,每人投3次,至少投中 2次才能通过测试.已知某同学每次
7、投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试 的概率为()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【解析】选A.根据独立重复试验公式得,该同学通过测 试的概率为 0.620.4+0.63=0.648.23C5.(2016济宁模拟)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为 .【解析】由题意可得所求概率=0.80.9=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.72 6.(2016临沂模拟)在一次高三数学模拟考试中,第22 题和23题为选做题,规定每位考生必须且只
8、需在其中选 做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为 ,则其中 甲、乙两名学生选做同一道题的概率为 .12【解析】设事件A表示“甲选做第22题”,事件B表示“乙选做第22题”,则甲、乙两名学生选做同一道题的 事件为“AB ”,且事件A,B相互独立,所以 答案:AB11111P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B)(1)(1).2222212考向一 条件概率与正态分布【典例1】(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A：“取到的2个数之和为偶数”,事件B：“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()1121A.B.C.D.8452(2)(2015山东高考)已知某批零件的长度误差
9、(单位：毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%(真题溯源：本题源自A版选修2-3P75习题2.4A组T2)【解题导引】(1)先求出事件A与AB的概率,再由条件概 率公式P(B|A)=计算.(2)因为=0,=3,所以利用正态曲线对称性可先计算 P(-33),P(-66)的一半,然后求解.P(AB)P(A)【规范解答】(1)选B.P(A)=P(AB)=由条件概率计算公式,得P(B|A)=223225CC42C105，2225C1.C101P(AB)110.4P(A)410【一题多解】
10、解答题(1),还可以用如下方法:(1)选B.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,取到两个数之和为偶数的事件个数为n(A)=取到的两个数均为偶数的事件个数为n(B)=1,故所求事件的概率P=2232CC4,22Cn(B)1.n(A)4(2)选B.由正态分布的对称性可得P(03)=68.26%=34.13%,P(06)=95.44%=47.72%,P(31)=p,则P(-10)=P(1)=P(-1)=p,所以P(-10)=P(0)-P(-1)=-p.12122.(2016厦门模拟)根据历年气象统计资料,宜都三月 份吹东风的概率为 ,下雨的概率为 ,既吹东风又下 雨的概率为 ,则在吹东风的条件下
11、下雨的概率为 ()31011308309828A.B.C.D.119511【解析】选B.设事件A表示宜都三月份吹东风,事件B表 示三月份下雨,根据条件概率计算公式可得在吹东风的 条件下下雨的概率P(B|A)=8830.3910【加固训练】1.如图,EFGH是以点O为圆心,半径为1的 圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔 到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方 形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=_.【解析】由题意可得，事件A发生的概率P(A)=事件AB表示“豆子落在EOH 内”，则P(AB)=故 答案:EFGH2OS222.S1正方形圆2EOH2O1 1
12、S12.S12圆P(AB)P(B|A)P(A)112.24 142.(2016贵阳模拟)袋中有5个球,其中3个白球,2个黑球,现不放回地每次抽取1个球,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率为 .【解析】方法一:记第二次取到白球为事件B,则P(B)=方法二:第一次取到白球为事件A,第二次取到白球为事件B,则 P(B|A)=答案:21.422325A33P(A)P(AB),5A10，3P(AB)110.3P(A)25123.设随机变量服从正态分布N(,2),函数f(x)=x2+4x+没有零点的概率是 ,则等于_.【解析】根据题意,函数f(x)=x2+4x+没有零点时,=16-44,根据
13、正态曲线的对称性,当函数 f(x)=x2+4x+没有零点的概率是 时,=4.答案:4 1212【典例2】(1)(2016黄冈模拟)位于直角坐标系原点 的一个质点P按下面规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 ,向 右移动的概率为 ,则质点P移动五次后位于点(1,0)的 概率是()1323484080A.B.C.D.243243243243(2)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓 三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每 盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次 音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐 则扣除200
14、分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的 概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立.12设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?【解题导引】(1)移动5次可转化为5次独立重复试验,并将其中一个方向作为成功概率进行求解.(2)将P(X=-200),P(X=10),P(X=20),P(X=100)转化为二项分布,利用二项分布列求解.先求出现音乐的概率,再根据对立事件的概率公式求解.【规范解答】(1)选D.由题意得,质点P移动五次后位于 点(1,0),则这五次移动中必有某两次向左移动,另三次 向右移动,因此所求的概率等于 22351280C()().332
15、43(2)X的可能取值有-200,10,20,100.根据题意,有 P(X=-200)=P(X=10)=P(X=20)=P(X=100)=0033111C()(1)228，1123113C()(1)228，2213113C()(1)228，3303111C()(1).228所以X的分布列为 由知:每盘游戏出现音乐的概率是 则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是 P1=1-X-200 10 20 100 P 183818383317P.8888003377511C()(1).88512【规律方法】1.独立重复试验的实质及应用 独立重复试验的实质是相互独立事件的特例,应用独立重复试验公式可以简化
16、求概率的过程.2.判断某概率模型是否服从二项分布Pn(X=k)=pk(1-p)n-k的三个条件(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且每次试验的结果是相互独立的.(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.knC【变式训练】(2016兰州模拟)甲、乙两人各进行3次 射击,甲每次击中目标的概率为 ,乙每次击中目标的 概率为 .求(1)甲恰好击中目标2次的概率.(2)乙至少击中目标2次的概率.(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.1223【解析】(1)设X为甲击中目标的次数，则XB(3,)，故甲恰好击中目标2次的概率为P
17、(X=2)=(2)设Y为乙击中目标的次数，则YB(3,)，故乙至少击中目标2次的概率为P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=1223313C().282322333321220C()C().33327(3)记“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，包含以 下2个互斥事件，设B1为事件“乙恰好击中目标2次且 甲恰好击中目标0次”，则P(B1)=设B2为事件“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1 次”，则P(B2)=于是P(A)=P(B1)+P(B2)=，即乙恰好比甲多击中目标2次的概率 为 2203332111C()C()33218，331333211C()C()329，11118961.6【加
18、固训练】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率.(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率.(3)求比赛局数的分布列.【解析】(1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比 赛中获胜的概率都是 .记“甲以4比1获胜”为事件A,则P(A)=12334 341111C()().2228(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B，乙以4比2获胜的概率为 乙以4比3获胜的概率为P2=所以P(B)=P1+P2=335 3151115PC()()22232，336 361115C()()222
19、32，5.16(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4，5，6，7.P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=444112C()28，334 3411112C()()2224，335 3511152C()()22216，336 3611152C()().22216比赛局数的分布列为 X 4 5 6 7 P 1814516516考向三 相互独立事件同时发生的概率【典例3】党的十八大报告提出:要提高人民健康水平,改革和完善食品、药品安全监管体制.为加大监督力度,某市工商部门对本市的甲、乙两家小型食品加工厂进行了突击抽查,从两个厂家生产的产品中分别随机抽取10件样品,测量该产品中某种
20、微量元素的含量(单位:毫克),所得测量数据如图.食品安全法规定:优等品中的此种微量元素含量不小于15毫克.(1)从甲食品加工厂抽出的上述10件样品中随机抽取4件,求抽到的4件产品优等品的件数的分布列.(2)若从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件,求甲、乙食品加工厂抽到的优等品的件数恰好相同的概率.【解题导引】(1)根据茎叶图中甲厂样品的数据将样品分为优等品和非优等品,确定优等品的件数的取值,进而利用超几何分布的概率计算公式,求解分布列.(2)先根据茎叶图计算乙厂样品中的优等品的件数,然后确定两厂优等品的件数相同时的取值,将待求事件转化为相互独立事件积事件的和事件进而求得概率.【
21、规范解答】(1)由茎叶图知,从甲食品加工厂抽出的 10件样品中,优等品有8件,非优等品有2件,故抽取的4 件样品中至少有2件优等品,所以的可能取值为2,3,4.所以的分布列为 223140828282444101010C CC CC C281P(2)P(3)P(4).C15C15C3 ，2 3 4 P 21581513(2)甲食品加工厂抽取的样品中优等品有8件,乙食品加工厂抽取的样品中优等品有7件.故从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件,则优等品的件数相同时,可能为1件、2件或3件.优等品同为3件的概率P1=优等品同为2件时的概率P2=30308273331010C CC C4
22、9CC360；21218273331010C CC C49;CC200优等品同为1件时的概率P3=故所求事件的概率为P=P1+P2+P3=12128273331010C CC C7.CC60049497707.3602006001 800【规律方法】1.利用相互独立事件求简单事件概率的解题思路(1)将待求简单事件转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.(2)将已知(已求)各个概率代入求积.2.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和.(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.(3)代入概率
23、的积、和公式求解.【变式训练】(2016滨州模拟)郑州市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球,用完后放回.(1)设第一次训练时取到的新球个数为,求的分布列.(2)已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球,求第二次训练时恰好取到1个新球的概率.【解析】(1)的所有可能取值为0,1,2.设“第一次训练时取到i个新球(即=i)”为事件Ai(i=0,1,2).因为集训前共有6个篮球,其中3个是新球,3个是旧球,所以P(A0)=P(=0)=P(A1)=P(=1)=2326C1C5，113326C C
24、3C5，P(A2)=P(=2)=所以的分布列为 2326C1.C5 0 1 2 P 151535(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件B,则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B,而事件A0B,A1B,A2B互斥,所以P(A0B+A1B+A2B)=P(A0B)+P(A1B)+P(A2B).由条件概率公式,得 P(A0B)=P(A0)P(B|A0)=P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=所以P(A0B+A1B+A2B)=所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 113326C C1133,5C5525112426C C3388,5C5 1525111526C C1111,5C531538138,2525157538.75【加固训练】(2016广州模拟)国庆节放假,甲去北京旅游的概率 为 ,乙、丙去北京旅游的概率分别为 ,假定三人 的行动相互之间没有影响,那么这段时间内三人同去北 京旅游的概率为()13141559311A.B.C.D.605260【解析】选D.因甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分 别为 且三人的行动相互独立，故三人同去北京 旅游的概率为 1 1 13 4 5，1111.34560
