1、2021年河南省开封市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1设a，bR，A1，a，B1，b，若AB，则ab（）A1B2C2D02设复数z满足|z|zi|1，且z的实部大于虚部，则z（）ABCD3“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（）Am（，1）（1，+）Bm（，2）（1，+）Cm（，2）Dm（1，+）42021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成
2、雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A甲的物理成绩领先年级平均分最多B甲有2个科目的成绩低于年级平均分C甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5已知，则cos2（）ABCD06设函数，若f（x）的极小值为，则a（）ABCD27设数列an满足a11，若，则n（）A4B5C6D78已知函数（0，0）的部分图象如图所示，则（）AB1C2D9某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：体积可能是；体积可能是；AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为；在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对其中所有正确结论
3、的编号是（）ABCD10三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加，甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人若由甲开始发球（记为第一次传球），则第四次仍由甲传球的概率是（）ABCD11若2a5bzc，且，则z的值可能为（）ABC7D1012已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知an为等差数列，且3a52a7，则a1 14已知向量，若在方向上的投影
4、为，则实数t 15ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且ABC的外接圆半径为1，则ABC的面积为 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”如图，是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17在ABC中，D为BC边上一点，且BD3（1）求AD；（2）若，求
5、sinC18如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAD平面ABCD；（2）若PAPDABCD2，APD90，求点C到平面BDP的距离19人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5为非常优秀，测试值在区间（5，10为优秀某校500名同学参加了听力测试，从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图：（1）从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10内的概率；（2）已知样本中听力非常优秀的学生有4人，估计总体中听力为优秀的学生人数；（3）现选出一名同学参加另一项测试，
6、测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中集合a1，a2，a3，a41，2，3，4记Y|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y2的概率20已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足（1）求抛物线C的方程；（2）已知斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，成等差数列，求该数列的公差21已知函数f（x）lnxmx有两个零点（1）求m的取值范围；（2）设x1，
7、x2是f（x）的两个零点，证明：f（x1+x2）0（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|PA|+|PB|的取值范围23已知函数，g（x）|x1|（1）求函数yf（x）+g（x）的最小值；（2）已知0，2），求关于的不等式的解集参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1设a，bR，A1，a，B1，b
8、，若AB，则ab（）A1B2C2D0解：a，bR，A1，a，B1，b，AB，考试a1，b1,所以ab0,故选：D2设复数z满足|z|zi|1，且z的实部大于虚部，则z（）ABCD解：设za+bi，（a，bR），复数z满足|z|zi|1，1，1，即x2+y21，x2+y22y0，解得y，x，z的实部大于虚部，x，z+i，故选：B3“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（）Am（，1）（1，+）Bm（，2）（1，+）Cm（，2）Dm（1，+）解：方程为双曲线时，（m+2）（m1）0m（，2）（1，+），（，2）（1，+）（，1）（1，+），“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为m（，1）（1，
9、+）故选：A42021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A甲的物理成绩领先年级平均分最多B甲有2个科目的成绩低于年级平均分C甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），C选项错，故选：C5已知，则cos2（
10、）ABCD0解：因为，所以cos，则cos22cos212故选：B6设函数，若f（x）的极小值为，则a（）ABCD2解：，令f（x）0得，x1a，x1a时，f（x）0；x1a时，f（x）0，f（x）在x1a处取得极小值，解得故选：B7设数列an满足a11，若，则n（）A4B5C6D7解：根据题意，数列an满足a11，则数列an是首项a11，公比为的等比数列，若，即a1（a1q）（a1q2）（a1qn1）（a1）n，解可得：n6或5（舍），故选：C8已知函数（0，0）的部分图象如图所示，则（）AB1C2D解：由f（0）0得：4cos0，又0，由图象可知，y4cos（x+）的周期为2，T2，2，故
11、选：C9某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：体积可能是；体积可能是；AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为；在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对其中所有正确结论的编号是（）ABCD解：由三视图可画出直观图如下图：如图1，故正确；如图2，故正确；如上图，AB和CD在直观图中所对应的棱分别为EF和FG，由EFG为正三角形，可知AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为，故正确；如上图，平面ABCD平面B1C1D1，面ADD1面BCC1B1，面ABB1面DCC1D1，面AB1D1面BC1D，故正确，故选：D10三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球
12、爱好者在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加，甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人若由甲开始发球（记为第一次传球），则第四次仍由甲传球的概率是（）ABCD解：所有传球方法共有：甲乙甲乙；甲乙甲丙；甲乙丙甲；甲乙丙乙；甲丙甲乙；甲丙甲丙；甲丙乙甲；甲丙乙丙则共有8种方法第四次仍由甲传球有2情况，第四次仍由甲传球的概率P故选：A11若2a5bzc，且，则z的值可能为（）ABC7D10解：设2a5bzck，则alog2k，blog5k，clogzk，+logk2+logk5logk（25）logk10logkz，z10，故选：D12已知椭圆（ab0）的左、右焦点分
13、别为F1（c，0），F2（c，0）若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（）ABCD解：在PF1F2中，由正弦定理知，e，即|PF1|e|PF2|，又P在椭圆上，|PF1|+|PF2|2a，联立得|PF2|（ac，a+c），即aca+c，同除以a得，1e1+e，得1e1椭圆C的离心率的取值范围为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知an为等差数列，且3a52a7，则a10解：设等差数列an的公差为d，由3a52a7，得2a5+a52（a5+2d），则a54d；又a5a1+4d，所以a10故答案为：014已知向量，若在方向上的投影为，则实数t2解：向量，
14、在方向上的投影为，即：，解得t2，故答案为：215ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且ABC的外接圆半径为1，则ABC的面积为解：由正弦定理及外接圆公式可得，其中R为ABC的外接圆半径，则a2RsinA2，由余弦定理可得，b2+c22bccosAa2，则，bc1，则ABC的面积为，故答案为：16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”如图，是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为.解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而
15、成，正四面体的棱长为3，如图，在棱长为3的正四面体SABC中，取BC的中点D，连接SD，AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，则，该六面体的体积为，当该六面体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OESD，则OE就是球的半径，SOODSDOE，该球体积的最大值为故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17在ABC中，D为BC边上一点，且BD3（1）求AD；（2）若，求sinC解：（1）在ABD中，因为，BD3，由余弦定理得A
16、D2AB2+BD22ABBDcosB，所以（2）在ABC中，因为，由正弦定理得，所以18如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAD平面ABCD；（2）若PAPDABCD2，APD90，求点C到平面BDP的距离【解答】（1）证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD，由ABCD，故CDAP，又因为APPDP，AP，PD平面PAD，所以CD平面PAD，又CD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD；（2）解：设E为AD中点，连接PE，由PAPD，所以PEAD，由（1）知，平面PAD平面ABCD，所以PE平面ABCD，因为ABCD，ABCD，所以ABCD是
17、平行四边形，由（1）知，CD平面PAD，AD平面PAD，所以CDAD，所以ABCD是矩形，由APD90，所以，连接EB，在PEB中，所以，在PBD中，PD2，所以BPD90，所以，设点C到平面PBD的距离为h，因为VCPBDVPBCD，所以，所以，故点C到平面PBD的距离为19人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5为非常优秀，测试值在区间（5，10为优秀某校500名同学参加了听力测试，从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图：（1）从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10内的概率；（2
18、）已知样本中听力非常优秀的学生有4人，估计总体中听力为优秀的学生人数；（3）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中集合a1，a2，a3，a41，2，3，4记Y|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y2的概率解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间（0，10内的频率为1（0.06+0.08+0.02）510.80.2，以频率估计概率，故从总体的
19、500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10内的概率为0.2；（2）样本中听力为优秀的学生人数为0.25046，所以估计总体中听力为优秀的学生人数为；（3）当a11时，序号a1，a2，a3，a4的情况为6种，分别记为（1，2，3，4），（1，2，4，3），（1，3，2，4），（1，3，4，2），（1，4，2，3），（1，4，3，2），同理，当a12，3，4时，序号a1，a2，a3，a4的情况也分别为6种，所以序号a1，a2，a3，a4所有的情况总数为24种，当Y0时，a11，a22，a33，a44，当Y|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|2时，a1，a2，a3，a4的取值
20、为：a11，a22，a34，a43或a11，a23，a32，a44，或a12，a21，a33，a44，所以Y2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，所以20已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足（1）求抛物线C的方程；（2）已知斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，成等差数列，求该数列的公差解：（1）由题可知，设点P（x0，y0），因为，即，所以，y02，代入y22px，得4p2，又因为p0，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x（2）设直线l：y2x+m，则消去y可得4x2+（4m4）x+m20，满足（4m4）216m232m+160，即设点
21、A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x21m，若，成等差数列，则，即x1+x2+24，即3m4，即m1此时直线l与抛物线C联立方程为4x28x+10，即x1+x22，又因为公差d满足，因为，所以，即21已知函数f（x）lnxmx有两个零点（1）求m的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：f（x1+x2）0解：（1），当m0时，f（x）0，所以f（x）在（0，+）上单调递增，至多有一个零点；当m0时，时，f（x）0，f（x）在上单调递增，时，f（x）0，f（x）在上单调递减，所以f（x）在处取得最大值，由，得，此时，f（1）m0，由零点存在性定理可知，f（x）在和上各有
22、一个零点，综上，m的取值范围是；（2）证明：因为x1，x2是f（x）的两个零点，不妨设x1x20，则lnx1mx10，lnx2mx20，得lnx1lnx2mx1mx2，所以，要证f（x1+x2）0，即证，即证，即证，即证，令，设，所以（t）在t1时单调递增，所以（t）（1），又（1）0，所以（t）0，所以f（x1+x2）0（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，
23、2），若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|PA|+|PB|的取值范围解：（1）曲线C的极坐标方程为，整理得2+22sin23，根据，整理得x2+3y23，化简得曲线C的直角坐标方程为（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程得：（tcos）2+3（2+tsin）23，化简得（1+2sin2）t2+12tsin+90，则，且144sin236（1+2sin2）0，2sin210，则有，则，令，有，所以|PA|+|PB|的取值范围为23已知函数，g（x）|x1|（1）求函数yf（x）+g（x）的最小值；（2）已知0，2），求关于的不等式的解集解：（1）由已知可得，当且仅当即时等号成立，所以函数yf（x）+g（x）的最小值为（2）由已知，原不等式可化为，当时，原不等式化为sincos2，此时无解，当时，原不等式化为sin+cos1，即，所以，综上所述，不等式的解集为（，）
