1、专题05 9月第二次周考（第二章 函数、导数及其应用测试三单元测试）测试时间： 班级： 姓名： 分数： 试题特点：本套试卷重点考查函数的概念、函数的基本性质、函数与导数的综合运用等.在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第1,4题考查简单对数不等式、二次不等式的解法及集合的运算；注重数形结合能力和运算求解能力的考查，如第11，19，20题等。讲评建议：评讲试卷时应注重对函数概念的理解及导数在解决函数的单调性和极值等方面的运用.常见的题型有求函数的定义域（如第1题）、解函数不等式、分段函数的求值、求参数的取值范围。解答这类问题常用的数学方法有图像
2、法、分类整合、函数方程、数形结合、等价转化与化归的数学思想和方法等（如第1，6，9，19，20题）等。试卷中第11，12，17，19，21各题易错，评讲时应重视。一、填空题（每题5分,共70分）1函数的定义域为_.【答案】【解析】由题设可得可得,即,故答案为.2函数在点处的切线方程为_.【答案】3. 已知是上的奇函数，且，当时，则_【答案】【解析】因,故应填答案.4已知函数f（x），若f（f（1）=2，在实数m的值为_【答案】 【解析】 5已知关于的不等式的解集为,若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】若,则,不合题设；若,则由得,即,由题设可得,解之得,故实数的取值范围是.6已知函数是奇
3、函数，当时，.若不等式（且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因,则,故,即,在同一坐标系下画出函数,结合函数的图象可以看出:当时不等式成立 应填.7设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为_【答案】8已知函数，若x1,x2R，x1x2，使得f (x1)f (x2)成立，则实数a的取值范围是 【答案】(,4)【解析】试题分析：当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：存在，且，使得成立，当，即时，若存在，且，使得成立，则，解得：，综上所述：实数a的取值范围是.9已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围是_【答案】10设二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为
4、【答案】【解析】试题分析：设为在上的零点，则即，则点在直线上，表示点到原点的距离，所以，即，又因为，则，所以，则；11若偶函数,，满足，且时,，则方程在内的根的个数为_.【答案】8【解析】12. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：函数有三个不同零点方程有三个不同的解函数与函数有三个不同的交点，作出函数与函数的图象，由图象可知，在区间上两个函数有且只有一个公共点，两个函数有三个公共点，则这两个函数在必定有两个不同的公共点.两个函数图象在区间有一个或无公共点，令，在区间上，函数单调递增，在区间，函数单调递减，所以，由得，所以当函数与函数在有两个不同的公共点时，
5、.13已知a，t为正实数，函数f(x)x22xa，且对任意的x0，t，都有f(x)a，a若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为 【答案】(0，1)2【解析】当时，即，此时，即，因此，所以值域为.14已知函数满足，当时，若在区间内，函数与轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意知，在区间内，函数与x轴有三个不同的交点，函数与在区间内有三个不同的交点，作函数与在区间内的图象如下：结合图象可知，当直线与相切时，解得：；此时；当直线过点时，；故. 二、解答题（共6个题,总分90分）15. 已知函数 在上单调递增,(1)若函数有实数零点，求满
6、足条件的实数的集合；(2)若对于任意的时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1) ;（2）.【解析】（1）函数级单调递增区间是，因为在上单调递增，所以；令 ，则 函数有实数零点，即： 在上有零点，只需：方法一解得方法二解得综上： ，即法一当时，即不符合题意当时，即，只需得从而当，即，只需得或，与矛盾法二得综上知满足条件的的范围为16.（本小题满分15分）某地拟建一座长为米的大桥，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩、造价总共为万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中），中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为万元.（1）试将桥的总造价表示为的函数；（2）为使桥的总造价最
7、低，试问这座大桥中间(两端桥墩、除外)应建多少个桥墩？第17题【答案】（1），；（2）7.【解析】（2）先对函数进行求导，利用导函数求出函数在区间的单调性，即可求出函数的最小值，并得到此时的值，进而求出此时这座大桥中间(两端桥墩、除外)应建多少个桥墩.试题解析：（1）由桥的总长为米，相邻两个桥墩的距离为米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价，即（）（2）由（1）可求，整理得，由，解得，（舍），又当时，；当 时，所以当，桥的总造价最低，此时桥墩数为17.（本小题满分15分）已知函数的定义域为,若在上为增函数, 则称 为“一阶比增函数” ；若在上为增函数, 则称 为“二阶比增函数” ；我们把所有“一
8、阶比增函数” 组成的集合记为,所有“二阶比增函数” 组成的集合记为.（1）设函数.求证：当时, ； 若,且,求实数的取值范围；（2）对定义在上的函数,若,且存在常数,使得,求证：.【答案】(1)见过程；(2)见过程试题分析：(1)运用题设中定义的新概念进行推理和论证即可获解；(2)借助题设中定义的新的概念进行推理和论证，运用转化与化归的数学思想即可获解.【解析】（1）证明: 当时, 则在上为增函数；在上为增函数, ；解：,在上为增函数, 则,在上为增函数, 在上恒成立,.（2）证明：假设存在使得,记,因为,所以为“二阶比增函数” , 即是增函数, 所以当时, ,即,所以一定存在,使得成立, 这
9、与对任意的成立矛盾, 所以对任意的都成立；再证明在上无解, 假设存在,使得；为“二阶比增函数” , 即是增函数, 所以一定存在当, 使得成立, 这与上述的证明结果矛盾.所以,在上无解, 综上所述, 当时, 对任意的,都有成立.18. （本小题满分15分）已知函数满足，且当时，当时，的最大值为（1）求实数a的值；（2）设，函数，若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围【答案】（1）a = - 1；（2），或；【解析】试题解析：（1）当x(0，2)时，由条件，当x - 4(-4，-2)，的最大值为 - 4， 所以的最大值为 - 1 因为，令，所以 因为，所以当x(0，)时，是增函数；当x(，2)时
10、，；是减函数则当x =时，取得最大值为所以a = - 1 （2）设在的值域为A，在的值域为B，则依题意知AB因为在上是减函数，所以A = 又，因为，所以 b 0时， 0，g(x)是增函数，B = 因为AB，所以解得 b 0时， 0，g(x)是减函数，B = 因为AB，所以由，知，或19. 已知函数，（）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（）当时，恒成立，求整数的最大值；（）证明： 【答案】()；（）；（）证明见解析.（）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证. 由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，即不恒成立.因此整数的最大值为2. （）由，令，即，即由此可知，当时，当时，
11、当时，当时，. 综上：. 即.x 20. （本小题满分15分）设函数,(其中,是自然对数的底数）若函数没有零点,求实数的取值范围；若函数的图象有公共点,且在点有相同的切线,求实数的值；若在恒成立,求实数的取值范围【答案】；【解析】试题分析：由得,利用得：；设它们的公共点为,则由此结论可得,；由题意易得. 故不等式恒成立等价于在上恒成立,令,则,再设,则,结合,分, , 三种情况讨论单调性,使最大值小于0,最终得实数的取值范围是. 试题解析：解由得,显然,都不是此方程的根,当时,没有实根,则,由得：,故当时,函数没有零点； 当时,无解；当时,；由题得在上恒成立,因为,故,所以在上恒成立,故在上恒成立,所以,. 解法一：不等式恒成立等价于在上恒成立,令,则,再设,则,同时,当时,则在上单调递减, 在上单减, 即在上恒成立,当时,因为,所以,则在上单调递减, 在上单减,即在上恒成立,当时,若,则,即在上单调递增,所以即在上也单调递增,即,不满足条件.综上,在上恒成立时,实数的取值范围是. 当时,故函数是上的增函数所以,所以函数是上的增函数,所以当时,即,与在上恒成立不符,当时,故函数是上的减函数所以,函数是上的减函数,所以当时,即在上恒成立,当时,当时,故函数是上的增函数所以在上,所以函数是上的增函数,所以当时,即,与在上恒成立不符,综上可得,使在上恒成立实数的取值范围是
